辽宁省锦州市2022届高三数学第一次质量检测试卷及答案

 高三数学第一次质量检测试卷

一、单选题

1．已知全集，集合，，则集合（　　）

A． B．

C． D．

2．已知复数，则复数z的虚部为（　　）

A．3 B．-3 C．3 D．-3

3．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．

4．若，则向量与的夹角为（　　）

A． B． C． D．

5．若，，则x，y，z的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的焦点为F，点P是C上一点，且，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则（　　）

A．2 B．2或4 C．4 D．4或6

7．2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（　　）

A． B． C． D．

8．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知，满足，则p可以是（　　）

A．23 B．31 C．32 D．19

二、多选题

9．关于直线与圆，下列说法正确的是（　　）

A．若直线l与圆C相切，则为定值

B．若，则直线l被圆C截得的弦长为定值

C．若，则直线l与圆C相离

D．是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件

10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（　　）

A．

B．在上为减函数

C．点是函数的一个对称中心

D．方程仅有个实数解

11．假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：

在该市场中任意买一部智能手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B表示买到的是优质品，则（　　）

A． B．

C． D．

12．如图，在直四棱柱中，，，，，点P，Q，R分别在棱，，上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是（　　）

A．任意点P，都有

B．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形

C．存在点P，使得平面APQR

D．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形

三、填空题

13．在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则　     　.

14．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是　           　.

15．已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，点 ， 在椭圆上，且满足 ， ，则椭圆 的离心率为　     　． 

16．已知函数的图象关于直线对称，若对任意，总存在，使得，则的最小值为　     　，当取得最小值时，对恒成立，则的最大值为　     　.

四、解答题

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边AC上，BM平分，△ABM的面积是△BCM面积的2倍.

（1）求；

（2）若，，求△ABC的面积.

18．某市为了解某年十一期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市甲､乙､丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到如下统计表（单位：人）：

（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；

（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲､乙､丙三个景点，从全市十一期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取3人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）如果王某要去甲､乙､丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由.

19．已知等比数列的公比，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）在①，，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的最小值；若k不存在，说明理由.

问题：设数列的前n项和为，________，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得？

20．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点.

（1）求证：直线平面SAC；

（2）求二面角的余弦值；

（3）判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.

21．已知复数 在复平面内对应的点为 ，且 满足 ，点 的轨迹为曲线 . 

（1）求 的方程； 

（2）设 ， ，若过 的直线与 交于 ， 两点，且直线 与 交于点 .证明： 

（i）点 在定直线上；

（ii）若直线 与 交于点 ，则 .

22．已知函数.

（1）若在上是增函数，求a的取值范围；

（2）若是函数的两个不同的零点，求证：.

答案解析部分

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】B

4．【答案】A

5．【答案】A

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】A,B,D

10．【答案】C,D

11．【答案】A,C,D

12．【答案】A,C

13．【答案】0.3

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】2；

17．【答案】（1）解：，，

因为，，所以，

由正弦定理可得.

（2）解：由（1）知，由余弦定理，又，，

所以，所以，，

因为，且，可得，

所以.

18．【答案】（1）解：设事件A：从样本中任取1人，这人没去丙景点，

由表格中所给数据可知，去甲，乙，丙旅游的人数分别为19，39，42，

故.

（2）解：由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，3

从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取1人，此人去乙景点的概率为，则，

，

，

故X的分布列为：

所以.（或）

（3）解：由题干所给表格中数据可知，报团游､自驾游的总人数分别为52，48，

得分为10分的报团游､自驾游的总人数分别为31，25，得分为5分的报团游､自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分的报团游､自驾游的总人数分别为9，9，

所以从满意度来看，报团游满意度的均值为，

自驾游满意度的均值为，

因为，所以建议王某选择报团游.

19．【答案】（1）解：在等比数列中，且，，

则，解得或（舍），

∴.

（2）解：选择条件①，，，

当时，，

可得，整理得，

∴数列为常数列，又，所以，

，

，

令，则在上恒成立，

则在上单调递增，即在上为递增数列，

又，，

∴存在k，使得，k的最小值为7；

选择条件②，，当时，，得，

当时，，

可得，即，得，

∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，则，，

因为时，，所以，

故不存在正整数k，使得.

20．【答案】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC，BD的中点，且，

因为三棱锥是正三棱锥，，O为BD的中点，所以，

又，所以平面SAC.

（2）解：作平面BCD于H，则H为正三角形BCD的中点，H在线段OC上，且，，，.

如图，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，C.，D.，，，，

所以，，，

设是平面EBF的法向量，

则，

则，

设是平面DBF的法向量，

则，取，

所以，

又因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.

（3）解：直线SA与平面BDF平行.

理由如下：

连接OF，由（1）知O为AC的中点，又F为SC的中点，所以，

又因为平面BDF，平面BDF，所以直线平面BDF.

（或者用向量法证明直线SA与平面BDF平行：

由（2）知是平面BDF的一个法向量，

又，，所以，

所以，

所以，

又因为平面BDF，所以直线平面BDF.

设点A与平面BDF的距离为h，则h即为直线SA与平面BDF的距离，

因为，是平面DBF的一个法向量，

所以，

所以点A与平面BDF的距离为，

所以直线SA与平面BDF的距离为.

21．【答案】（1）由题意可知： ， 

所以点 到点 与到点 的距离之差为2，且 ，

所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支，

设其方程为 ，其中 ， ，

所以 ， ，

所以 ，所以曲线 的方程为 .

（2）（i）设直线 的方程为 ， ， ，其中 ， . 

联立 ，消去 ，可得 ，

由题意知 且 ，

所以 ， .

直线 ： ，直线 ： ①，

由于点 在曲线 上，可知 ，所以 ，

所以直线 ： ②.

联立①②，消去 可得 ，

即 ，

所以 ，

所以 ，所以 ，

所以点 在定直线 上.

（ii）由题意，与（i）同理可证点 也在定直线 上.

设 ， ，

由于 在直线 ： 上， 在直线 ： 上，

所以 ， ，

所以

，

又因为 ， ，

所以 ，所以 .

22．【答案】（1）解：函数，所以，

①若，则都有，所以在为增函数，符合题意.

②若，因为在为增函数，所以，恒成立，

即，恒成立，令，则，

所以函数在上单调递增，，所以，

这与矛盾，所以舍去.

综上，a的取值范围是.

（2）解：是函数的两个不同的零点，所以，，

显然，，则有，，

所以，

不妨令，设，

于是得，，

要证，

只需证，即，令，，

则，所以函数在上单调递增，

所以，于是得，

又，要证，

只需证，即，

而，即证，即，即，

令，，则，

所以函数在上单调递减，

所以，即有，

综上，.