天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷及答案

天津市十二校联考2022届高三下学期数学一模试卷

一、单选题

1．设集合 .则 （　　）  

A． B．

C． D．

2．“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．过点作圆的切线，则的方程为（　　）

A． B．或

C． D．或

4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（　　）

A．1 B． C． D．

5．设正实数，，分别满足，，则a，，c的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

6．已知函数，则下列说法中，正确的是（　　）

A．的最小值为-1

B．的图像关于点对称

C．在区间上单调递增

D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到

7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且相交于，两点，直线AF交抛物线于另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．3

8．已知，则的值为（　　）

A．1 B．0 C．-1 D．2

9．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点M在边CD所在直线上，则的最大值为（　　）

A． B．-24 C． D．-30

二、填空题

10．设，则　     　.

11．在的二项展开式中，的项的系数是　     　.（用数字作答）

12．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为　     　.

13．若，则的最小值为　     　.

14．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为　                 　.

15．①数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为　     　；②数据1，5，9，12，13，19，21，23，28，36的第50百分位数是　     　.

三、解答题

16．在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， . 

（I）求 的值；

（II）求 的值.

17．菱形ABCD中，平面，，，

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）线段上是否存在点使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.

18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，F为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与y轴的交点，线段AP的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线AP的方程.

19．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和为；

（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．

20．已知，

（1）求在处的切线方程以及的单调性；

（2）对，有恒成立，求的最大整数解；

（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】B

6．【答案】C

7．【答案】D

8．【答案】C

9．【答案】A

10．【答案】1

11．【答案】70

12．【答案】

13．【答案】4

14．【答案】

15．【答案】28；16

16．【答案】（Ⅰ）解：由 ，及 ，得 .  

由 ，及余弦定理，得 .

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入 ，得 .

由（Ⅰ）知，A为钝角，所以 .于是 ，

，故

17．【答案】（1）证明：建立以D为原点，分别以，（T为BC中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），

则，，，

，，.

证明：，，

设为平面EAB的法向量，

则，即，

可得，

又，可得，

又因为直线平面EAB，所以直线平面EAB；

（2）解：，，，

设为平面BFC的法向量，

则，即，可得，

设为平面的法向量，

则，即，可得，

所以，

所以二面角的正弦值为；

（3）解：设，则，

则，，

设为平面BDM的法向量，

则，即，

可得，

由，得，

解得或（舍），所以.

18．【答案】（1）解：依题意知：，，，，，

则，又，，

椭圆的标准方程为.

（2）解：由题意，设直线的斜率为，直线AP方程为

所以，设，中点为，

由消去得

中垂线方程为：

令得.

，

解得.

直线的方程为，

即

19．【答案】（1）解：由题意，设等比数列的公比为，

由已知，得，即，解得，所以；

又数列的前项和为，满足，，

所以是首项为，公差为的等差数列，

所以，则，

则，

又也满足上式，所以，；

（2）解：由（1）可得，，

所以

，

令①

则②，

①②得，

所以，

因此；

（3）解：由（1）可得数列前项和，数列的前项和；

①当时，；

②当，

（i）当时，，

（ii）当时，；

时，也满足该式，所以；

③当，

；

综上．

20．【答案】（1）解：

所以定义域为

；

；

所以切线方程为；

，

令解得

令解得

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）解：等价于；

，

记，，所以为上的递增函数，

且，，所以，使得

即，

所以在上递减，在上递增，

且；

所以的最大整数解为.

（3）解：，得，

当，，，；

所以在上单调递减，上单调递增，

而要使有两个零点，要满足，

即；

因为，，令，

由，，

即：，

而要证，

只需证，

即证：

即：由，只需证：，

令，则

令，则

故在上递增，；

故在上递增，；

.