2022聊城高二下学期期末考试数学试题含解析

2021—2022学年度第二学期期末教学质量抽测

高二数学试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，若，则m的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合交集的性质，结合一元二次方程的解法分类讨论进行求解即可.

【详解】当时，，显然，不符合题意，

当时，，因为，

所以必有，

当时，，显然，不符合题意，

故选：C

2. 第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 24

【答案】A

【解析】

【分析】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分两种情况抽取即可.

【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：

第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种.

第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种.共计6种赠送方案.

故选：A.

3. 已知的图像如图所示，则的解析式可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除A、D，再利用特殊值排除B.

【详解】解：由图可知函数的定义域为，且函数图象关于原点对称，即为奇函数，

令，则，故为偶函数，

令，则，故为奇函数，

令，则，故为偶函数，

所以、均为偶函数，故A、D错误；

故、均为奇函数，

对于B：，，，故B错误；

故选：C

4. 某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为，则小张第2天去乙餐厅的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.

【详解】设 “第1天去甲餐厅用餐”，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，

根据题意得，，，

由全概率公式，得，

因此，小张第天去乙餐厅用餐的概率为.

故选：D.

5. 的展开式的常数项为，则展开式中含项的系数为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】首先写出展开式的通项，令，求出，即可求出展开式的常数项，从而求出，再代入计算可得；

【详解】解：二项式展开式的通项为，

令，解得，所以展开式的常数项为，解得，

令，解得，所以展开式中项为，

当时项的系数为，当时项的系数为.

故选：C

6. 甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（    ）

A. 30种 B. 54种 C. 84种 D. 120种

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人即可

【详解】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人，则所有排列的情况有

故选：B

7. 已知随机变量，， ，且，又，则实数（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用二项分布的方差计算公式得出，即的值，根据正态分布的对称性，可得实数．

【详解】由题意，，则，

又，则，解得

故选：A

8. 已知，，，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系.

【详解】由题意知：，，；

设，则，

当时，，在上单调递增，

，即，又，，即；

设，则；

令，则，

当时，，在上单调递增，

当时，，，

在上单调递减，，

即，，即；

综上所述：.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将变形后，转化为函数的不同函数值大小关系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，若，则实数a的值可以为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】ACD

【解析】

分析】根据分段函数，分别以，，讨论，求解方程可得答案.

【详解】解：因，，所以

当时，，所以，

所以，解得，所以满足；

当时，，所以，

所以，解得，满足题意；

当时，，所以，

所以，解得，满足题意；

故选：ACD.

10. 对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是（    ）

A. 若两变量、具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点

B. 变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强

C. 用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用回归直线的相关知识可判断A选项；利用相关系数与线性相关程度的关系可判断B选项；利用残差平方和与模型的拟合效果的关系可判断C选项；利用相关指数与回归模型的拟合效果的关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，若两变量、具有线性相关关系，则回归直线过样本中心点，但不一定过样本点，A错；

对于B选项，若变量、的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强，B对；

对于C选项，用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C对；

对于D选项，用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为，D对.

故选：BCD.

11. 已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.

【详解】由知， ，故，A正确；

由得，，所以，即，故B错误；

因为指数函数为单调减函数，故，

由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C正确；

根据, 对数函数 为单调减函数,

故，故D错误，

故选：AC

12. 一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（    ）

A. 若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为

B. 若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为

C. 若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为

D. 若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为

【答案】ABD

【解析】

【分析】从盒中随机有放回的取球，取到白球、红球的概率分别为，分别求出其概率可判断A、C；由古典概型的概率可判断B；由条件概率的公式可判断D.

【详解】从盒中随机有放回任取2个球,则取到白球、红球的概率分别为，取到的球颜色相同的概率为，所以A正确；

从盒中随机不放回任取2个球，则有种取法，取到的球颜色不同有种，所以，颜色不相同的概率为，所以B正确；

从盒中随机有放回任取4个球，取到白球、红球的概率分别为：，所以其中有白球的概率为，所以C不正确；

从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球为事件，另一个也是白球为事件，则，所以D正确.

故选：ABD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖规则中规定，抛掷一枚硬币n次，若正面向上的次数为0或n，则获得一等奖.为使顾客获得一等奖的概率不超过1%，则n的最小值为___________.

【答案】8

【解析】

【分析】先表示出顾客获得一等奖的概率，根据题意列出不等式即可求解.

【详解】由题，抛掷一枚硬币正面向上的概率为，

所以抛掷一枚硬币n次，正面向上的次数为0的概率为，正面向上的次数为n的概率为,

所以顾客获得一等奖的概率为，

由题，则，

因为，则可解得，即，

所以n的最小值为8.

故答案为：8.

14. 同时满足性质：①；②；③当时，的函数的一个解析式为___________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据性质依次得出结论可写出.

【详解】由①，即，则是偶函数，

由②，可得可以是幂的形式，

由③当时，可得在单调递减，

综上，可得的一个解析式可以为.

故答案为：（答案不唯一）.

15. 数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.

【答案】12

【解析】

【分析】讨论百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果.

【详解】当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600；

当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510；

当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402；

当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312；

当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222；

当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132；

综上，共有12个“吉祥数”.

故答案为：12

16. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为a，b，c，d，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】画出图象，根据二次函数的对称性可得，结合对数的运算可得，进而化简原式为，再根据图象分析得，利用基本不等式结合单调性与最值求解即可

【详解】如图，根据题意有，，即，解得，故.又，当时有，故.故，当且仅当，即时取等号.又当时，；当时，，故的取值范围为

故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 对于函数，

（1）若函数为奇函数，求a的值；

（2）若的展开式的各二项式系数的和为，试解不等式.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数定义得解；（2）根据二项式的展开式的各二项式项系数和计算a，解不等式即可.

【详解】解：（1）因为函数为奇函数，所以.

则，即，所以.

（2）由的展开式的各二项式项系数和为，得，

所以.

由，得，则，所以.

故的解集为.

18. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.

（1）根据以上数据，判断与哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程；

（2）分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.

参考数据（其中，，，，.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】（1）   

（2）两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下

【解析】

【分析】（1）对于非线性回归方程先通过换元法将变化为线性回归方程，

再代入参考数据得到

(2) 将代入回归方程得到，

故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

【小问1详解】

由表中数据可得更适宜.

，

令，设y关于t的线性回归方程为，

则

则，

故y关于x的回归方程为

【小问2详解】

由回归方程可知，随x的增大，y逐渐减少，

当时，，

故两年后网络诈骗月报案数能降至75件以下.

19. 已知函数，在处切线的斜率为-2.

（1）求的值及的极小值；

（2）讨论方程的实数解的个数.

【答案】（1），极小值为；（2）答案见解析．

【解析】

【分析】（1）由函数在处切线的斜率为-2，可得，解方程得出的值；对函数求导，列表格判断出单调性，进而可得函数的极小值；

（2）由（1）的单调性以及极限趋势，分类讨论的范围，可得实数解的个数．

【详解】解：（1），

因为在处切线的斜率为-2，所以，则.

，令，解得或，

当x变化时，，变化情况如下：

故的极小值为.

（2）由（1）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.当时，；当时，.

当或时，方程有1个实数解；

当或时，方程有2个实数解

当时，方程有3个实数解.

20. 某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动.该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领.认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有.某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了100份有效问卷，部分统计数据如下表：

（1）请将上述列联表补充完整，试依据小概率值的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；

（2）为了更详细的了解情况，在100份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性4名，女性3名.从观摩小组中选取3人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为X，求X的分布列及数学期望.

附：，.

下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

【答案】（1）列联表答案见解析，认为男性比女性更愿意参与活动   

（2）分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】（1）根据数据完善列联表，再计算卡方进行独立性检验即可；

（2）根据超几何分布的分布列求解概率与分布列，再根据数学期望公式求解即可

【小问1详解】

列联表补充完整如下

零假设为：参与意愿与性别无关联，

根据列联表的数据可得，

对照附表，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以认为参与意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.

【小问2详解】

X的可能取值为0，1，2，3，

，，

，.

所以X的分布列为：

根据超几何分步的数学期望有.

21. 某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，假设甲，乙两人是否投中互不影响.

（1）若，，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率；

（2）若，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）甲，乙两人累计得分之和为4共有3种情况，甲投中2次乙没投中，甲投中1次乙投中1次，甲没投中乙投中2次，然后利用互斥事件的概率公式求解即可，

（2）根据题意，可得他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为，整理后将代入化简可求得其最大值

【小问1详解】

由题意得甲，乙两人累计得分之和为4的概率为

【小问2详解】

他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为

，

因为，所以，

令，由，及，得，

，

当时，P的最大值为.

故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.

22. 设函数.（为自然常数）

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为   

（2）

【解析】

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；（2）先根据定义域得到，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

当时，，定义域为，

，令，解得：，令，解得：，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.

【小问2详解】

在区间上有意义，故在上恒成立，可得，

依题意可得：在上恒成立，

设，

，易知上单调递增，故，

故在上单调递减，最小值为，

故只需，设，其中，

由可得：在上为减函数，

又，故.

综上所述：a的取值范围为.

【点睛】已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与0的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高.