贵州省2022-2023学年高三上学期开学联合考试 文科数学试题及答案

贵州省高三年级联合考试

数学(文科)

考生注意：

1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分, 共150分。考试时间120分钟。

2. 请将各题答案填写在答题卡上。

3. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。

第 I 卷

一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合, 则

2. 已知复数, 且是纯虚数, 则

3. 目前, 全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后,考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.某校高三年级选择“物理、化学、生物”,“物理、化学、政治”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200,320,280. 现采用分层抽样的方法从上述学生中选出 40 位学生进行调查, 则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是

4. 为了得到函数的图象, 只需将函数 的图象

5. 已知 , 则

6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点, 若, 则为坐标原点)的面积是

7. 从这五个景点中选择两个景点游玩, 则景点都没被选中的概率是

8. 已知 , 则

9. 在正方体中, 是棱的中点,在棱上, 且 是正方形 的中心, 则异面直线与所成角的余弦值是

10. 已知函数的最小值为, 则

11. 已知双曲线的左焦点为 , 点在双曲线的右支上, . 若 的最小值是 9 , 则双曲线的离心率是

12. 已知函数 若关于的不等式恒成立, 则的取值范围是

第 II 卷

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知, 若, 则向量夹角的余弦值是_____.

14. 已知实数满足约束条件 则的最小值为_____.

15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一, 也称陀罗.图1是一种木陀螺,可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体, 其直观图如图2所示, 其中分别是上、下底面圆的圆心, 且,则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的体积的比值是_____.

16. 已知的内角对应的边分别是, 内角的角平分线交边于点, 且 .若, 则面积的最小值是_____.

三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 22 、23题为选考题, 考生根据要求作答.

(一) 必考题: 共 60 分.

17. (12 分)

在数列中, .

(1) 求的通项公式;

(2)若, 求数列的前项和.

18. (12 分)

某校举办传统文化知识竞赛, 从该校参赛学生中随机抽取 100 名学生, 根据他们的竞赛成绩(满分: 100 分), 按分成五组, 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该校学生成绩的中位数;

(2)若竞赛成绩不低于 80 分, 定为竞赛成绩优秀, 否则为非优秀. 已知样本中竞赛成绩优秀的女生有 6人, 根据题中频率分布直方图完成下列列联表,并判断是否有的把握认为是否优秀与性别有关.

参考公式: , 其中.

参考数据：

19. (12 分)

如图,在直四棱柱中,四边形是菱形, 分别是棱的中点.

(1) 证明:平面平面.

(2) 若, 求求点到平面的距离.

20.（12 分)

已知椭圆的离心率是, 点在椭圆 上.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过点的直线与椭圆交于两点, 求为坐标原点)面积的最大值.

21.（12 分)

已知函数.

(1) 求的最小值;

(2) 证明: .

(二)选考题: 共10分. 请考生在第 22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22. [选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)

在平面直角坐标系中, 曲线的参数方程为(为参数), 以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是.

(1) 求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;

(2) 若直线与曲线交于两点,点，求的值.

23. [选修 4-5: 不等式选讲] (10 分)

已知函数.

(1) 求不等式的解集;

(2) 若恒成立,求的取值范围.

贵州省高三年级联合考试

数学参考答案(文科)

17. 解: (1)因为

所以当 时,

所以 , 所以

当 时, 满足上式. 则 .

(2) 由 (1) 可得, 则 ,

从而 ,

故 .

18. 解: (1)因为 ,

所以中位数在[70,80)内.

设中位数为, 则 , 解得=75.

(2) 由图可知优秀的人数为，则非优秀人数为100-32=68.

因为优秀的女生人数为6人，所以优秀的男生人数为32-6=26人。

所以非优秀的男生人数为60-26=34，非优秀的女生人数为40-6=34.

则列联表如下

由表中数据可得

因为8.854>6.635，所以有99%的把握认为是否优秀与性别有关。

19. (1)证明 : 连接BD.

因为四边形是菱形, 所以 .

由直四棱柱的定义可知平面, 则.

因为平面平面, 且 , 所以平面.

由直四棱柱的定义可知 .

因为分别是棱 的中点, 所以,

所以四边形 是平行四边形, 则 .

故 平面.

因为平面, 所以平面平面.

(2) 解: 连接 , 作 , 垂足为, 易证 平面 .

因为 , 所以 .

因为 的面积 , 则三棱锥的体积

设点到平面的距离为,

因为 , 所以 , 所以的面积.

则三棱锥的体积

因为 , 所以 , 解得 .

20. 解: (1) 由题意可得 ，解得故椭圆C的标准方程为

(2) 由题意可知直线的斜率存在, 设直线 .

联立 整理得

, 所以, 即 ,

则

故

点到直线的距离 , 则 的面积

设 , 则 ,

故 , 当且仅当时,等号成立,

即面积的最大值为.

21. (1) 解: 由题意可得 ,

则函数 在 上单调递增, 且.

由, 得 ; 由, 得.

则在上单调递减, 在上单调递增,

故 .

(2) 证明: 要证 ， 即证 .

由 (1) 可知当 时, 恒成立.

设 , 则 .

由 , 得 ; 由 , 得 .

则在 上单调递增, 在 上单调递减,

故 , 当且仅当时, 等号成立.

综上, .

22. 解: (1) 由 (为参数), 得,

故曲线的普通方程为.

由, 得,

故直线的直角坐标方程为

(2) 由题意可知直线的参数方程为 (为参数).

将直线的参数方程代人曲线的普通方程并整理得,

设对应的参数分别是 ,

则 ,

故 .

23. (1) 等价于 或 解得 , 即不等式的解集为 .

(2) 恒成立, 即 恒成立.

因为 ,

所以 , 解得 或 .

即的取值范围是 .