2022年中考数学真题汇编：锐角三角函数(含解析)

这是一份2022年中考数学真题汇编：锐角三角函数(含解析)，共51页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学真题分类练习：锐角三角函数
一、选择题
1.（2022福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）

A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
2.（2022云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
3.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
4.（2022北部湾）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）

A. B. C. D.
5.（2022贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）

A. B. C. D.
6.（2022安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A. B. 4 C. D. 5
7.（2022北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8（2022毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　）

A. B. C. D.
9.（2022贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）

A. B. C. D.
10.（2022毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）

A. 3 B. C. D.
11.（2022黔东南）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）

A. B. C. D. 以上答案都不对
12.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题
13.（2022广东）sin30°的值为_____．
14.（2022玉林）计算：=_____．
15.（2022甘肃武威）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm．

16.（2022安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．A，B两点间的距离为 ．参考数据：，，．

17.（2022黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45°，点的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，参考数值：，）

三、解答题
18.（2022北京）计算：


19.（2022贵港）（1）计算：；
（2）解不等式组：


20.（2022黔东南）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．


21.（2022贺州）如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F．

（1）求证：EC是的切线；
（2）若BC平分，求AD的长．


22.（2022福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．


23.（2022贵港）图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．


（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径及的长．


24.（2022毕节）如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）若，求直径．


25.（2022安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．


26.（2022贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）



27.（2022梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B，，， ，求AB的高度．（精确到）（参考数据：﹐﹐，）



28.（2022海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．

（1）填空：___________度，___________度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度．


29.（2022贵阳）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．


（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）


30.（2022甘肃武威）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．



31.（2022玉林）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．


（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．


32.（2022百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F

（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长


33.（2022甘肃武威）已知正方形，为对角线上一点．

（1）【建立模型】如图1，连接，．求证：；
（2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，，交于点．
①判断的形状并说明理由；
②若为的中点，且，求的长．
（3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：．


34.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．

（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．


35.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．

（1）问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．

2022年中考数学真题分类练习：锐角三角函数参考答案
一、选择题
1.（2022福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）

A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm
【答案】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，
∴．
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm．
故选：B．
2.（2022云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．
∴，
∴．
故选：B．
3.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）

A. 96 B. C. 192 D.
【答案】解：依题意为平行四边形，
∵，，AB＝8，．

∴平行四边形的面积=
故选B
4.（2022北部湾）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，
故选：B．
5.（2022贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
6.（2022安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】解：连接，过点作于点，如图所示，

则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
7.（2022北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
8（2022毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　）

A. B. C. D.
【答案】∵，，
∴，
解得：，
则．
故选：A．
9.（2022贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，

∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
10.（2022毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）

A. 3 B. C. D.
【答案】连接BF，与AE相交于点G，如图，

∵将沿折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故选 D
11.（2022黔东南）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）

A. B. C. D. 以上答案都不对
【答案】解：如图：连接OB，过点O作OH⊥AB于点H，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=r，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=r，∠OAB=60°，
在中，，
∴，
∴正六边形的面积，
∵⊙O的面积=πr2，
∴米粒落在正六边形内的概率为：，
故选：A．
12.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】解：连结OA
∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=．
故选A．

二、填空题
13.（2022广东）sin30°的值为_____．
【答案】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．
14.（2022玉林）计算：=_____．
【答案】原式

15.（2022甘肃武威）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为_________cm．

【答案】解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4，
，，AO=OC=AC=2
，
，
，
故答案为：8．
16.（2022安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．A，B两点间的距离为 ．参考数据：，，．

【答案】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
17.（2022黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45°，点的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，参考数值：，）

【答案】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④．
故答案为①③④．

三、解答题
18.（2022北京）计算：
【答案】解：

．
19.（2022贵港）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
20.（2022黔东南）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）


；
（2）



∵，
∴原式=．
21.（2022贺州）如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F．

（1）求证：EC是的切线；
（2）若BC平分，求AD的长．
【答案】
（1）证明：连接OC．
，
．
，
．
是的直径，
．
．
，即．
又是的半径，
是的切线．

（2）解：平分，
．
，
.
又，
．
又是的直径，
．
在中，
，
．
．
在中，，
．
，AB是的直径，
．
在中，，
．
22.（2022福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．

（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
【答案】
（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：

（2）解：根据题意，作出图形如下：

设，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又，
∴四边形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值为．
23.（2022贵港）图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．


（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径及的长．
【答案】
（1）证明：如图，作，垂足为H，连接，


∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴，即是的平分线，
∵O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如（1）图，∵在中，，
∴可设，
∴，
则，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得，又，
∴，
在中，由勾股定理得：．
24.（2022毕节）如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）若，求直径．
【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：

∵AC为圆O的切线，
∴∠AEO=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠F=∠DEO，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠F=∠ODE，
∴BD=BF．
（2）5
25.（2022安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
【答案】
（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30
∴CD=2⋅ OC=2
∴
∴
（2）证明：∵DC与⊙O相切
∴OCCD
即∠ACD+∠OCA=90
∵OC= OA
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠ACE
∴∠OAC+∠ACE=90
∴∠AEC=90
∴CEAB
26.（2022贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）

【答案】设，
在中，
，得．
在中，
，得．
．
解方程，得．
．
答：烟囱AB的高度为53.2米
27.（2022梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B，，， ，求AB的高度．（精确到）（参考数据：﹐﹐，）

【答案】解：设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ACB=52°，
∴BC=，
在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴BD=，
又∵CD=200m，BC=CD+BD，
∴，
解得，
答：AB的高度约为984m．
28.（2022海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．

（1）填空：___________度，___________度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度．
【答案】
（1）过点A作于点E，

由题意得：
∴

（2）由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
（3）作于点G，交于点F，

则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
29.（2022贵阳）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．


（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
【答案】
（1）
四边形是平行四边形

四边形是矩形，

在中，

在中，


答：，两点之间的距离为760米；
（2），
小汽车从点行驶到点未超速．
30.（2022甘肃武威）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG=DE）．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）．
参考数据：sin266°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

【答案】解：设BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF•tan35°≈0.7x（m），
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=（8.8+x）m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°= ≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
31.（2022玉林）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．


（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；
（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】
（1）∵的对称轴为，
∴，即b=2，
∵过B点(2,0)，
∴，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：；
（2）△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，


∵当x=0时，，
∴C点坐标为(0,4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO=DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，
∴P点坐标为(,1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
（3）∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，
即OC=4，
∵B点(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时，，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1,4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，


∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P点坐标为(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P点在第一象限，
∴a=，
∴，
此时P点坐标为()；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()．
32.（2022百色）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F

（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】
（1）设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
．
当点M在线段BD上时，此时，，

，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或．
33.（2022甘肃武威）已知正方形，为对角线上一点．

（1）【建立模型】如图1，连接，．求证：；
（2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，，交于点．
①判断的形状并说明理由；
②若为的中点，且，求的长．
（3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：．
【答案】
（1））证明：∵四边形为正方形，为对角线，
∴，.
∵，
∴，
∴.
（2）①为等腰三角形.理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，
∴.
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形.
②如图1，过点作，垂足为.
∵四边形为正方形，点为的中点，，
∴，.
由①知，
∴，
∴.
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴.
在中，.
（3）如图2，∵，
∴.
在中，，
∴.
由（1）得，
由（2）得，
∴.

34.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．

（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
【答案】
（1）解：∵在抛物线上，
∴，解得，
∴，即；
（2）在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）①连接交于点，如图1所示：

∵与关于轴对称，
∴，，
设，则，
，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，连接，，如图2所示：

∵，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，最小，最小为，
过作，垂足为，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴

，
即的最小值为．
35.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．

（1）问题解决：
如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
（2）问题探究：
如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；
（3）拓展延伸：
当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
【答案】
（1），
是等边三角形，

四边形平行四边形，
，
，
为边上的高，
，
（2），，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，为底边上的高，则
点在边上，
当时，取得最小值，最小值为；
（3）如图，连接，


，则，
设， 则，，
折叠，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
延长交于点，如图，


，
，
，
，
，
在中，，
，
．