2021-2022学年重庆市七校高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年重庆市七校高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设复数，则在复平面中对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，则至少有一人命中目标的概率(    )

A.  B.  C.  D.

3. 现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这组数的方差是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，是异面直线，，，且，则

5. 已知圆锥的母线长为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某指挥中心接到在其北偏东相距海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里小时，则乙船需要航行小时(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，在平行四边形中，记，，若，交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某人用下述方法证明了正弦定理：直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，记与方向相同的单位向量为，，，进而得，即：，即：，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线与锐角的边，分别相交于点，，设，，，，则与的边和角之间的等量关系为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各个，一次任意取出个小球，则与事件“个小球都为红球”互斥而不对立的事件有(    )

A. 个小球恰有个红球 B. 个小球不全为黑球
C. 个小球至少有个黑球 D. 个小球都为黑球

10. 已知向量，，，则下列命题正确的是(    )

A. 若，则
B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量
D. 在上的投影向量为

11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的一个对称中心为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为
 

12. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是(    )

A. 当为中点时，直线面
B. 当为中点时，直线与所成的角为
C. 若是棱上的动点，且，则平面平面
D. 当在上运动时，直线与平面所成的角的最大值为
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 复数为纯虚数，则______．
14. 北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从只“冰墩墩”，只“雪容融”和个北京年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了只，则为______．
15. 在中，角，，所对的边分别为，，若，且，则的值为______ ．
16. 一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如图所示，托盘由边长为的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图所示，球心到托盘底面的距离为，则球的体积为______．
     

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知向量，满足，，．
    求向量与的夹角；
    求．
18. 本小题分
    将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
    求函数的解析式及最小正周期；
    在中，若，，，求的面积．
19. 本小题分
    正三棱柱中，，，点，分别为，的中点．
    求证：面；
    求三棱锥的体积．
20. 本小题分
    某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组名同学的成绩记录如下：甲：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽取了乙组名同学的成绩，将成绩分成，，，，五组，并画出了其频率分布直方图．
    根据以上记录数据求甲组名同学成绩的中位数和第百分位数；
    估计乙组名同学成绩的平均分同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替；
    现从甲乙两组同学的不低于分的成绩中任意取出个人的成绩，求取出的个人的成绩不在同一组的概率．

21. 本小题分
    如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．
    求证：面面；
    点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．

22. 本小题分
    为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为百米，按照设计要求，取圆弧上一点，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
    当，求四边形的面积；
    当为何值时，线段最长并求最长值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在复平面中对应的点在第一象限，
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出对应点的坐标得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：至少有一人命中目标的概率为．
故选：．
先转化对立事件，根据独立事件概率乘法公式以及对立事件概率公式求解，即得结果．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：设个数为，，，则，
，
故选：．
根据平均数、方差公式直接计算．
本题考查了统计特征数字的计算，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对选项，如图，在正方体中，设底面为平面，正侧面为平面，为直线，
则满足，，但不满足，选项错误；
对选项，如图，在正方体中，设底面为平面，正侧面为平面，为直线，
则满足，，但不满足，选项错误；
对选项，如图，在正方体中，设底面为平面，正侧面为平面，为直线，
则直线为直线，，但，不平行，选项错误；
对选项，，是异面直线，，，又且，
设直线，，的方向向量分别为，，
则，，又，，与不共线，
，，选项正确．
故选：．
对，，选项可分别在正方体中举出反例排除，对可用线面垂直判定定理证明．
本题考查空间中线面关系，面面关系，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：圆锥的母线长为，母线与底面所成的角为，
圆锥底面圆半径，
该圆锥的侧面积．
故选：．
先求出圆锥底面圆半径，由此能求出该圆锥的侧面积．
本题考查圆锥的侧面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意作出图形，如图所示，
乙船所在位置为，甲船所在位置为，
由题意知，，，
在中，由余弦定理可得，
所以，故乙船需要航行小时．

故选：．
根据题意作出图形，在中，由余弦定理可得，求解即可．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可知，
，，，
故∽，
故，
故；
故选：．
由图可知∽，从而可得，进而可得，再利用线性运算化简即可．
本题考查了平面向量线性运算的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
即．
故选：．
根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式能求出结果．
本题考查向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各个，一次任意取出个小球，
对于，个小球恰有个红球与事件“个小球都为红球”是互斥不对立的事件，故A正确；
对于，个小球不全为黑球与事件“个小球都为红球”是对立事件，故B错误；
对于，个小球至少有个黑球与事件“个小球都为红球”是对立事件，故C错误；
对于，个小球都为黑球与事件“个小球都为红球”是互斥而不对立的事件，故D正确．
故选：．
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，，，
故A错误；
对于，，，
，，，
由知，，，故B正确；
对于，与共线的单位向量为，故C正确；
对于，在上的投影为，由于向量的模为，故投影向量为，D正确．
故选：．
利用向量垂直的充分必要条件可判断选项A，中所给的等式两侧平方可得的值，求解向量的单位向量可得与共线的单位向量，求解向量的投影，然后计算投影向量可得在上的投影向量．
本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量的投影向量的计算，向量的模的计算等知识，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，故，故，
，即，，而，故，
所以，
对于，，故A错误；
对于，，取得了的最大值，故B正确；
对于，，则，中一个是最大值点，一个是最小值点，则的最小值为半个周期，故C正确；
对于，当时，，作出，上的图象，
当在或位置时，方程在区间上只有一个根，
此时，最大值为，，
故的取值范围为，故D正确．
故选：．
先根据图象求出解析式，然后结合对称中心即函数的零点、对称轴对应函数的最值、相邻最值点间的横向距离为半个周期等性质、以及换元法逐项求解．
本题考查三角函数的据图求式问题的思路，同时考查了三角函数图象与性质间的联系，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
设，，

当是中点时，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，，
平面，平面，故A正确；
，
当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；
若，则，，
，，，，
则，，，，
设平面 的一个法向量为，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，
平面平面，故C正确；
，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
则当时，取最大值为，
直线与平面所成角的最大值为，故D正确．
故选：．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：为纯虚数，
，解得，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，解得．
故答案：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由于：，
则：，
整理得：，
故：，
由于：，
故：，
因为：，由正弦定理可得：，
可得：．
故答案为：．
由已知整理可得，利用余弦定理可求，结合范围，可求，由，根据正弦定理可得，进而根据正弦定理化简所求即可求解．
本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：设球的半径为，经过三个顶点，，的球的截面圆，半径为，
作，，的射影，，，

由点，，三点在底面上的射影分别是三边中点，，，
与全等且所在的面平行，
故的截面圆与的截面圆相等，
由题意知：的边长为，
其外接圆半径为：，
，
又到平面的距离为，
球心到托盘底面的距离为，
，
，
球的体积为
故答案为：．
设球的半径为，经过三个顶点，，的球的截面圆，作，，的射影，，，根据是边长为的正三角形，即可求出其外接圆半径，即可求解．
本题考查了球的体积计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，，
所以，
因为，所以，解得．
而，所以，
又，所以．
因为，，，
所以，
所以． 

【解析】由，，解得，再由向量的数量积，即可得出答案．
，由向量的数量积，即可得出答案．
本题主要考查平面向量的夹角的计算，向量的模的计算等知识，属于基础题．
 

18.【答案】解：将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以的最小正周期．
，因为，所以，
所以，解得，
又，，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以． 

【解析】利用三角函数的图象变换可求得的解析式，再由周期公式求出最小正周期；
结合中结论可求得，再利用余弦定理求出，再由三角形面积公式求解即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，考查余弦定理及三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：如图所示，取的中点，连接，．
又，分别是线段，的中点．
，，
四边形为平行四边形．
，平面，平面，
平面；
解：取的中点，是正三角形，
，又平面平面，平面平面，
平面，
，． 

【解析】如图所示，取的中点，连接，利用三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理即可得出．
利用，即可得出．
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
 

20.【答案】解析：甲组名同学成绩的中位数是，
，甲组名同学成绩的第百分位数为；
由频率分布直方图可知：乙组名同学成绩的平均数分为：分，
甲组名同学的成绩不低于分的有个，乙组名同学的成绩不低于分的有个，
记事件为“取出的个成绩不是同一组”，任意选出个成绩的所有样本点共个，其中两个成绩不是同一组的样本点共个，
． 

【解析】根据中位数和百分位数的定义计算即可；根据平均数的定义计算即可；根据古典概型公式计算即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

21.【答案】证明：在中，，，
因此，是中点，可得：，
同理：，，面
又因为面，所以面面．
解：因为，又是中点，所以，进而，
又因为是的中点，所以，同理：，
所以二面角的平面角，
在中，，所以，在中，，分别是中点，所以，
在中，是中点，是三等分点，所以，
在中，，是三等分点，所以，
在中，，所以，
所以，
． 

【解析】由题意利用线面关系首先证得线面垂直，然后利用线面垂直证明面面垂直即可；
首先找到二面角的平面角，然后利用余弦定理求得二面角的余弦值，最后利用同角三角函数基本关系可得
二面角的平面角的正弦值．
本题主要考查面面垂直的证明，二面角的计算等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：在中，
由余弦定理得，
于是四边形的面积为：
平方百米．
在中，由余弦定理得：
，
，
在中，由正弦定理得，
即，
又，所以为锐角，
，

，
在中，由余弦定理得：


，
，时，的最大值为百米． 

【解析】在中，由余弦定理得，于是四边形的面积为：，据此可得四边形的面积；
在中，由余弦定理得：，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得：，据此整理计算可得时，的最大值为百米．
本题主要考查解三角形的实际应用，正弦定理、余弦定理的应用等知识，属于中等题．