湖南省株洲市建宁实验中学2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题(word版含答案)

2021-2022学年湖南省株洲市天元区建宁实验中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列冬奥会会徽图案中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 据统计，观山湖区月日至日每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是
C. 平均数约是 D. 日至日最高气温下降幅度最大

5. 关于，方程组的解也是方程的解，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若的展开式中不含项，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，把绕点逆时针旋转得到，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点、处，交于点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，，都是正数，如果，，那么，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不确定

10. 如图，点、、、分别在长方形的边上，点、在上，若正方形的面积等于，图中阴影部分的面积总和为，则正方形的面积等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共8小题，共32分）

11. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______．
12. 已知：，则的值为______ ．
13. 某中学为了选拔一名运动员参加区运会短跑比赛，有甲、乙、丙名运动员备选，他们短跑的平均成绩和方差如下表所示如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派______去．

14. 若，，则的值等于______．
15. 如果是一个完全平方式，则常数 ______ ．
16. 若，则______．
17. 如图，已知梯形中，，点和分别在和上，和相交于点，和相交于点，，，则阴影部分的面积为______．

18. 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19. 解下列二元一次方程组：
    ；
    ．
20. 分解因式：
     
21. 先化简，再求值：，其中，．
22. 如图，已知，说明的理由．
    解：因为已知
    所以______ ______ ______
    所以______
    又因为已知
    所以______
    又因为已证
    所以______

23. 我校开展“认领一片菜土活动”“，李老师为了考察黄瓜的生长情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上的黄瓜根数，用得到的数据绘制了统计图和图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
    Ⅰ本次接受随机抽样调查的黄瓜的株数为______株，图中的的值为______；
    Ⅱ抽取的黄瓜根数的众数______，中位数______；
    Ⅲ补全统计图；
    Ⅳ求这个新品种黄瓜平均每株结多少根黄瓜结果取整数．
     

24. 如图，在中，、分别是、上的点，、是上的点，连接、、，，．
    说明：；
    若是的平分线，，求的度数．

25. 某电器超市销售每台进价为元、元的、两种型号的电风扇．如表所示是近周的销售情况：进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本．

求、两种型号电风扇的销售单价；
超市销售完、两种型号的电风扇共台，能否实现利润为元的目标？请说明理由；
一家公司打算花费元同时购买、两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．

26. ，直线交于点，交于点，点在上，点在直线右侧、且在直线和之间，连接、．
    写出，，之间的关系，并说明理由；
    如图，连接，若平分，，，求的度数；
    如图，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据合并同类项法则，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据合并同类项法则，，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据幂的乘方，，那么C错误，故C不符合题意．
D.根据同底数幂的乘法，，那么D正确，故D符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法解决此题．
本题主要考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故本选项符合题意；
B.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.

，故本选项不符合题意；
D.，，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义和因式分解的方法逐个判断即可．
本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法平方差公式和完全平方公式，十字相乘法等．
 

4.【答案】 

【解析】解：、个数据中出现次数最多的为，所以众数为，正确，不符合题意；
B、个数排序后为，，，，，，，位于中间位置的数为，所以中位数为，正确，不符合题意；
C、平均数为，正确，不符合题意；
D、观察统计图知：日至日最高气温下降幅度较大，错误，符合题意，
故选：．
分别确定个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
考查了统计的知识，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、众数及平均数，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：、满足方程组和方程，
联立，
解得，
将其代入，
得，，
，
故选：．
联立，解出、的值后代入，即可得到答案．
本题考查了二元一次方程组解的问题，关键在于能够联立出新的方程组进而求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：

．
的展开式中不含项，
．
．
故选：．
根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，
，
故选：．
由旋转的性质知，即可解决问题．
本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
由折叠得：
，
，
故选：．
根据矩形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义求出，再利用折叠的性质可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设，，
，，，都是正数，
，
则，
  ，
，
而，
，
．
故选A．
首先设辅助字母简化计算过程，然后利用多项式乘法法则计算即可解决问题．
本题主要考查了多项式的乘法计算，计算有点麻烦，解题要有耐心．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形的面积等于，
，
设，
，
，
，
阴影部分的面积总和为，
，
，
解得或舍去，
，
正方形的面积．
故选：．
根据正方形的面积可得正方形的边长，设，可得，，然后利用图中阴影部分的面积总和为，列出等式可得的值，进而可得正方形的面积．
本题考查了正方形的性质以及矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．正方形的性质：
     正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
     正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
     正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
     两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
移项得，，
系数化为得，．
故答案为：．
将看作常数，解关于的一元一次方程即可．
本题主要考查解二元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由可得，
．
故答案为：．
由可得，根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

13.【答案】乙 

【解析】解：观察表格可知，甲、乙的平均数小于丙的平均数，即甲、乙的短跑的平均成绩较好，
只要比较甲、乙的方差就可得出正确结果，
甲的方差大于乙的方差，
乙的成绩优秀且稳定．
故答案为：乙．
选择平均数较小，方差较小的人参赛即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了平均数．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是对完全平方公式的考查，熟记公式结构是解题的关键，完全平方公式：根据完全平方公式变形得到，再代入计算即可．
【解答】
解：，，
．
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：或
利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
则且，
解得，．
．
故答案是：．
先利用完全平方公式把，变为，利用非负数的性质得出、的数值，进一步代入求得答案即可．
本题考查了配方法的应用，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
，，

；
同理：
．
故答案为：．
连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，进而得到等底等高的两三角形面积相等易证的面积与的面积，即可解决．
此题主要考查三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，解题的关键是注意到面积与面积的关系．
 

18.【答案】秒或秒 

【解析】解：存在．分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
；
旋转到与都在的右侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
旋转到与都在的左侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
 

19.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为；
方程组整理得：，
得：，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用代入消元法求出解即可；
方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

20.【答案】解：原式；

原式
． 

【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解可得；
先提取公因式，再利用平方差公式分解可得．
本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解．
 

21.【答案】解：

，
当，时，原式． 

【解析】先根据单项式乘多项式，完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】    内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等  两直线平行，同位角相等  等量代换 

【解析】解：因为，已知
所以  ，内错角相等，两直线平行
所以，两直线平行，内错角相等
又因为，已知
所以两直线平行，同位角相等
又因为 已证
所以  等量代换
故答案为：，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，等量代换．
根据可得到，再根据两直线平行，内错角相等可得，首先根据可得到，再由中证出的可利用等量代换得到．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理．
 

23.【答案】       

【解析】解：Ⅰ，
，
的值为．
故答案为：；．
Ⅱ出现次数最多的数是根，故众数为根；
抽取的黄瓜根数从小到大排列，排在中间的两个数均为，故中位数为根；
故答案为：，．
Ⅲ根黄瓜的株树为，
根黄瓜的株树为，
补全统计图：

Ⅳ根，
答：这个新品种黄瓜平均每株结根黄瓜．
Ⅰ用根黄瓜的株树除以即可求出总数，用根黄瓜的株树除以总数可得的值；
Ⅱ根据众数和中位数定义可得；
Ⅲ求出根黄瓜的株树和根黄瓜的株树，补全即可；
Ⅳ根据加权平均数的定义解答即可；
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

24.【答案】证明：由题意可知，
，，
，
，
即，
．
解：是的平分线，且，
，
，
，
，
． 

【解析】证明平行，找角相等．
求的度数，利用的结论和新的条件．
本题考查三角形内角和定理和平行线的判定和性质，灵活利用题目的已知信息是关键．
 

25.【答案】解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元．
不能实现利润为元的目标，理由如下：
设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，
依题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
不符合题意，舍去，
即不能实现利润为元的目标．
设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，
依题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
该公司共有种购买方案，
方案：购买台种型号电风扇，台种型号电风扇；
方案：购买台种型号电风扇，台种型号电风扇；
方案：购买台种型号电风扇，台种型号电风扇． 

【解析】设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
不能实现利润为元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共台且共获得元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为元的目标；
设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：，理由如下：
如图，延长交于，

，
，
是的外角，
；
如图，连接，

，
，
由知：，
，．
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
解得；
平分，
可设，
，
，
在四边形中，，
，
是的外角，
，
又平分，
，
即，
整理可得，． 

【解析】延长交于，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到；
连接，由已知条件可得，结合的结论可得，由平行线的性质及角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求解的度数；
根据平分，可设，根据四边形内角和可得，依据是的外角，可得，最后依据，即可得到与之间的数量关系．
本题考查的是平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．