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江苏省泰州市兴化市大垛中心校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份江苏省泰州市兴化市大垛中心校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省泰州市兴化市大垛中心校七年级（下）
期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
2．（3分）不等式2x﹣5＞1的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞﹣2 C．x＜3 D．x＞3
3．（3分）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
5．（3分）用加减法解方程组时，②﹣①得（ ）
A．﹣8y＝9 B．6x﹣4y＝11 C．8y＝﹣5 D．﹣2y＝5
6．（3分）下列说法：①对顶角相等；②如果a＞0，b＜0，那么ab＜0；③两点之间，线段最短；④若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．（3分）在方程x﹣2y＝5中，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ ．
9．（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 ．
10．（3分）若是二元一次方程3x+y＝6的一个解，则m的值为 ．
11．（3分）不等式3x＞4x﹣1的解集为 ．
12．（3分）命题：“如果a＞b，那么a﹣b＞0”的逆命题是 命题（填“真或假”）．
13．（3分）计算：2ab•（ ）＝﹣6a2bc．
14．（3分）如图，△ABC≌△DBE，AB＝6，AC＝9，BE＝5，则△ABC的周长为 ．
15．（3分）已知关于x的方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，则k的最小值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）计算：
（1）﹣14+（3﹣π）0+3﹣2；
（2）x•x5+（2x2）3﹣x8÷x2．
18．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝﹣1，b＝4．
20．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
21．（10分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）图中AE、BD有怎样的关系？试证明你的结论．
22．（10分）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
23．（10分）已知关于x、y的方程组．
（1）求方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足条件x＜0，且y＞0，求m的取值范围．
24．（10分）兴化市大润发超市分两次购进甲、乙两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
甲
乙
第一次
10
30
1700
第二次
30
10
1900
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（要求用二元一次方程组求解）
（2）超市决定甲种商品以每件80元出售，乙种商品以每件60元出售．为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共500件．现将两种商品全部售出，若总利润不低于11400元，则该超市至少购进多少件甲种商品？
25．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
26．（14分）已知关于x、y的方程组（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为，
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
2021-2022学年江苏省泰州市兴化市大垛中心校七年级（下）
期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）不等式2x﹣5＞1的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞﹣2 C．x＜3 D．x＞3
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：2x﹣5＞1，
2x＞6，
x＞3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
3．（3分）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【分析】先根据∠CBD＝70°求出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠CBD＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠A＝∠ADE﹣∠ABD＝150°﹣110°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．
4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．
【解答】解：A，D选项没有写成积的形式，故A，D不符合题意；
B选项，不是整式，故B选项不符合题意；
C选项，4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
5．（3分）用加减法解方程组时，②﹣①得（ ）
A．﹣8y＝9 B．6x﹣4y＝11 C．8y＝﹣5 D．﹣2y＝5
【分析】②﹣①得，2y﹣（﹣6y）＝﹣5，整理即可．
【解答】解：②﹣①得，2y﹣（﹣6y）＝﹣5，
整理得8y＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
6．（3分）下列说法：①对顶角相等；②如果a＞0，b＜0，那么ab＜0；③两点之间，线段最短；④若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据对顶角的定义、实数的乘法法则、两点之间线段最短、线段的中点的定义判断即可．
【解答】解：①对顶角相等，那么①正确．
②如果a＞0，b＜0，那么ab＜0，那么②正确．
③根据两点之间，线段最短，那么③正确．
④若AB＝BC，则B在线段AC的垂直平分线上，即B不一定是线段AC的中点，那么④错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查对顶角、实数的乘法法则、两点之间线段最短、线段垂直平分线的逆定理，熟练掌握对顶角的定义、两点之间线段最短、线段垂直平分线的逆定理是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．（3分）在方程x﹣2y＝5中，用含x的代数式表示y，则y＝ （x﹣5） ．
【分析】先移项，再把y的系数化为1即可．
【解答】解：移项得，﹣2y＝5﹣x，
y的系数化为1得，y＝（x﹣5）．
故答案为：（x﹣5）．
【点评】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ 33° ．
【分析】根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠A＝114°，∠B＝∠C，
∴114°+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝33°，
故答案为：33°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
9．（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）若是二元一次方程3x+y＝6的一个解，则m的值为 3 ．
【分析】利用二元一次方程的解的意义将方程的解代入解答即可．
【解答】解：∵是二元一次方程3x+y＝6的一个解，
∴3+m＝6，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的意义是解题的关键．
11．（3分）不等式3x＞4x﹣1的解集为 x＜1 ．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可求出不等式的解集．
【解答】解：3x＞4x﹣1，
移项得：3x﹣4x＞﹣1，
合并同类项得：﹣x＞﹣1，
两边同时乘以﹣1得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的一般步骤．
12．（3分）命题：“如果a＞b，那么a﹣b＞0”的逆命题是 真 命题（填“真或假”）．
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：“如果a＞b，那么a﹣b＞0”的逆命题是“如果a﹣b＞0，则a＞b”，是一个真命题．
故答案为：真．
【点评】本题考查的是互逆命题的概念、命题的真假判断，正确写出逆命题是解题的关键．
13．（3分）计算：2ab•（ ﹣3ac ）＝﹣6a2bc．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：2ab•（﹣3ac）＝﹣6a2bc，
故答案为：﹣3ac．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是解决问题的关键．
14．（3分）如图，△ABC≌△DBE，AB＝6，AC＝9，BE＝5，则△ABC的周长为 20 ．
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝5，
∴BC＝BE＝5，
∵AB＝6，AC＝9，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+9+5＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15．（3分）已知关于x的方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，则k的最小值为 ﹣3 ．
【分析】把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得到答案．
【解答】解：方程3k﹣5x＝﹣9，
解得：x＝，
由题意得：≥0，
解得：k≥﹣3，
∴k的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的范围是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°，
当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°，
当∠AED是钝角时，
∴∠AED＞90°，
∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE，
∴135°﹣∠ADE＞90°，
∴0°＜∠ADE＜45°，
综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°．
故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，关键分类进行讨论．
三、解答题（本大题共有10题，共102分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）计算：
（1）﹣14+（3﹣π）0+3﹣2；
（2）x•x5+（2x2）3﹣x8÷x2．
【分析】（1）根据整数指数幂，零指数幂以及负整数指数幂的运算法则先化简，然后再计算加减即可；
（2）运用同底数幂乘法，积的乘方以及同底数幂除法的运算法则先化简，然后再合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣14+（3﹣π）0+3﹣2
＝﹣1+1+
＝；
（2）x•x5+（2x2）3﹣x8÷x2
＝x6+8x6﹣x6
＝8x6．
【点评】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关公式并灵活运用．
18．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
（2）先逆用平方差公式，再逆用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）2x2﹣2
＝2（x2﹣1）
＝2（x+1）（x﹣1）．
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝﹣1，b＝4．
【分析】先展开，再合并同类项，化简后将a＝﹣1，b＝4代入即可．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣2ab+a2﹣4b2
＝﹣4ab﹣3b2，
当a＝﹣1，b＝4时，
原式＝﹣4×（﹣1）×4﹣3×42
＝16﹣3×16
＝16﹣48
＝﹣32．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式运算的相关法则，把所求式子化简．
20．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①×2﹣②得：7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：4x﹣2＝2，
解得：x＝1，
则方程组的解为；
（2），
由①得：x≥1；
由②得：x＜5，
所以不等式组的解集为1≤x＜5．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到：也考查了解二元一次方程组．
21．（10分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）图中AE、BD有怎样的关系？试证明你的结论．
【分析】（1）利用SAS证明三角形全等；
（2）利用（1）的结论求解．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AC＝BC，DC＝EC，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，
理由：设CD交AE于点F，BD交AE于点M，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD，∠D＝∠E，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠EMD＝∠ECD＝90°，
即：AE⊥BD．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，掌握判定的条件是解题的关键．
22．（10分）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ②③ ，结论是 ① （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
【分析】（1）选择的条件是②③，结论是①，由EF∥GH，得∠ACG＝∠DAC，从而∠ACG＝∠ACD，又BC平分∠DCH，得∠DCB＝∠BCH，即可得∠ACB＝90°，故AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，可得x°+（2x﹣3）°＝90°，即可解得∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，故∠DAC＝∠ACG＝59°．
【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：
∵EF∥GH，
∴∠ACG＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠DAC，
∴∠ACG＝∠ACD，
∵BC平分∠DCH，
∴∠DCB＝∠BCH，
∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，则∠ACG＝（2x﹣3）°，
∵∠ACG+∠BCH＝90°，
∴x°+（2x﹣3）°＝90°，
解得x＝31，
∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，
∴∠DAC＝∠ACG＝59°．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线性质，角平分线的概念等知识．
23．（10分）已知关于x、y的方程组．
（1）求方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足条件x＜0，且y＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，解之即可．
【解答】解：（1），
①×3+②，得：10x＝30m+10，
解得：x＝3m+1，
将x＝3m+1代入①，得：9m+3+y＝10m+5，
解得：y＝m+2，
则方程组的解为；
（2）根据题意，得，
解得：﹣2＜m＜﹣．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（10分）兴化市大润发超市分两次购进甲、乙两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
甲
乙
第一次
10
30
1700
第二次
30
10
1900
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（要求用二元一次方程组求解）
（2）超市决定甲种商品以每件80元出售，乙种商品以每件60元出售．为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共500件．现将两种商品全部售出，若总利润不低于11400元，则该超市至少购进多少件甲种商品？
【分析】（1）设每件甲种商品的进价是x元，每件乙种商品的进价是y元，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合两次购进两种商品的数量及进货总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市购进m件甲种商品，则购进（500﹣m）件乙种商品，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不低于11400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件甲种商品的进价是x元，每件乙种商品的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件甲种商品的进价是50元，每件乙种商品的进价是40元．
（2）设该超市购进m件甲种商品，则购进（500﹣m）件乙种商品，
依题意得：（80﹣50）m+（60﹣40）（500﹣m）≥11400，
解得：m≥140，
∴m的最小值为140．
答：该超市至少购进140件甲种商品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由SAS证△ACD≌△EBD即可；
（2）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，同（1）得△ACD≌△EBD（SAS），则AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，再由SAS证△BAC≌△ABE，得BC＝AE，即可得出结论；
（3）取OA的中点F，OC的中点G，连接DE、FG，由三角形中位线定理得FG＝AC，FG∥AC，再证DE是△BAC的中位线，得DE＝AC，DE∥AC，则DE＝FG，DE∥FG，然后由ASA证△OED≌△OGF，得OD＝OF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，
∴AC∥BE，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝90°，
在△BAC和△ABE中，
，
∴△BAC≌△ABE（SAS），
∴BC＝AE，
∵AD＝DE＝AE，
∴AD＝BC；
（3）解：线段AO与OD之间的数量关系为：AO＝2OD，理由如下：
取OA的中点F，OC的中点G，连接DE、FG，如图3所示：
则FG是△OAC的中位线，
∴FG＝AC，FG∥AC，
∵AD是BC边上的中线，CE是边AB上的中线，
∴BD＝CD，AE＝BE，
∴DE是△BAC的中位线，
∴DE＝AC，DE∥AC，
∴DE＝FG，DE∥FG，
∴∠OED＝∠OGF，∠ODE＝∠OFG，
在△OED和△OGF中，
，
∴△OED≌△OGF（ASA），
∴OD＝OF，
∵点F是OA的中点，
∴AO＝2OF，
∴AO＝2OD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（14分）已知关于x、y的方程组（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为，
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）①由题意对x、y进行取值即可求解；
②解二元一次方程组可得，再将代入x﹣2y+mx＝﹣5中，即可求m的值；
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，由题意可求是公共解；
（3）通过解二元一次方程组可得（5+2m）x＝﹣5，再由题意可得5+2m＝±1，5+2m＝±5，分别求出m即方程组的解，对所求的结果进行取舍即可．
【解答】解：（1）①当y＝0时，x＝3；
当y＝1时，x＝1；
∴x+2y＝3的所有非负整数解为或；
②由题意可得，
①﹣②得，y＝1，
将y＝1代入②，得x＝1，
∴方程组的解为，
将代入x﹣2y+mx＝﹣5中，
∴1﹣2+m＝﹣5，
解得m＝﹣4；
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，
∵当m每取一个值时，方程有一个公共解，
∴当x＝0时，y＝，
∴是方程的公共解；
（3）当n＝3时，，
②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，
①+③得，5x+2mx＝﹣5，
整理得（5+2m）x＝﹣5，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴5+2m＝±1，5+2m＝±5，
当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解为；
当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解为；
当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解为；
当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解为；
综上所述：m＝﹣2或m＝0．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据条件确定m的取值是解题的关键．
2021-2022学年江苏省泰州市兴化市大垛中心校七年级（下）
期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
2．（3分）不等式2x﹣5＞1的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞﹣2 C．x＜3 D．x＞3
3．（3分）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
5．（3分）用加减法解方程组时，②﹣①得（ ）
A．﹣8y＝9 B．6x﹣4y＝11 C．8y＝﹣5 D．﹣2y＝5
6．（3分）下列说法：①对顶角相等；②如果a＞0，b＜0，那么ab＜0；③两点之间，线段最短；④若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．（3分）在方程x﹣2y＝5中，用含x的代数式表示y，则y＝ ．
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ ．
9．（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 ．
10．（3分）若是二元一次方程3x+y＝6的一个解，则m的值为 ．
11．（3分）不等式3x＞4x﹣1的解集为 ．
12．（3分）命题：“如果a＞b，那么a﹣b＞0”的逆命题是 命题（填“真或假”）．
13．（3分）计算：2ab•（ ）＝﹣6a2bc．
14．（3分）如图，△ABC≌△DBE，AB＝6，AC＝9，BE＝5，则△ABC的周长为 ．
15．（3分）已知关于x的方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，则k的最小值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）计算：
（1）﹣14+（3﹣π）0+3﹣2；
（2）x•x5+（2x2）3﹣x8÷x2．
18．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝﹣1，b＝4．
20．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
21．（10分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）图中AE、BD有怎样的关系？试证明你的结论．
22．（10分）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
23．（10分）已知关于x、y的方程组．
（1）求方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足条件x＜0，且y＞0，求m的取值范围．
24．（10分）兴化市大润发超市分两次购进甲、乙两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
甲
乙
第一次
10
30
1700
第二次
30
10
1900
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（要求用二元一次方程组求解）
（2）超市决定甲种商品以每件80元出售，乙种商品以每件60元出售．为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共500件．现将两种商品全部售出，若总利润不低于11400元，则该超市至少购进多少件甲种商品？
25．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
26．（14分）已知关于x、y的方程组（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为，
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
2021-2022学年江苏省泰州市兴化市大垛中心校七年级（下）
期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（3分）不等式2x﹣5＞1的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞﹣2 C．x＜3 D．x＞3
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：2x﹣5＞1，
2x＞6，
x＞3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
3．（3分）如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD＝70°，∠ADE＝150°，则∠A的度数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【分析】先根据∠CBD＝70°求出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠CBD＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠A＝∠ADE﹣∠ABD＝150°﹣110°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．
4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．
【解答】解：A，D选项没有写成积的形式，故A，D不符合题意；
B选项，不是整式，故B选项不符合题意；
C选项，4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
5．（3分）用加减法解方程组时，②﹣①得（ ）
A．﹣8y＝9 B．6x﹣4y＝11 C．8y＝﹣5 D．﹣2y＝5
【分析】②﹣①得，2y﹣（﹣6y）＝﹣5，整理即可．
【解答】解：②﹣①得，2y﹣（﹣6y）＝﹣5，
整理得8y＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
6．（3分）下列说法：①对顶角相等；②如果a＞0，b＜0，那么ab＜0；③两点之间，线段最短；④若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据对顶角的定义、实数的乘法法则、两点之间线段最短、线段的中点的定义判断即可．
【解答】解：①对顶角相等，那么①正确．
②如果a＞0，b＜0，那么ab＜0，那么②正确．
③根据两点之间，线段最短，那么③正确．
④若AB＝BC，则B在线段AC的垂直平分线上，即B不一定是线段AC的中点，那么④错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查对顶角、实数的乘法法则、两点之间线段最短、线段垂直平分线的逆定理，熟练掌握对顶角的定义、两点之间线段最短、线段垂直平分线的逆定理是解决本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．（3分）在方程x﹣2y＝5中，用含x的代数式表示y，则y＝ （x﹣5） ．
【分析】先移项，再把y的系数化为1即可．
【解答】解：移项得，﹣2y＝5﹣x，
y的系数化为1得，y＝（x﹣5）．
故答案为：（x﹣5）．
【点评】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝114°，∠B＝∠C，则∠B＝ 33° ．
【分析】根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠A＝114°，∠B＝∠C，
∴114°+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝33°，
故答案为：33°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
9．（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为 7×10﹣7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）若是二元一次方程3x+y＝6的一个解，则m的值为 3 ．
【分析】利用二元一次方程的解的意义将方程的解代入解答即可．
【解答】解：∵是二元一次方程3x+y＝6的一个解，
∴3+m＝6，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的意义是解题的关键．
11．（3分）不等式3x＞4x﹣1的解集为 x＜1 ．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可求出不等式的解集．
【解答】解：3x＞4x﹣1，
移项得：3x﹣4x＞﹣1，
合并同类项得：﹣x＞﹣1，
两边同时乘以﹣1得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的一般步骤．
12．（3分）命题：“如果a＞b，那么a﹣b＞0”的逆命题是 真 命题（填“真或假”）．
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：“如果a＞b，那么a﹣b＞0”的逆命题是“如果a﹣b＞0，则a＞b”，是一个真命题．
故答案为：真．
【点评】本题考查的是互逆命题的概念、命题的真假判断，正确写出逆命题是解题的关键．
13．（3分）计算：2ab•（ ﹣3ac ）＝﹣6a2bc．
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：2ab•（﹣3ac）＝﹣6a2bc，
故答案为：﹣3ac．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是解决问题的关键．
14．（3分）如图，△ABC≌△DBE，AB＝6，AC＝9，BE＝5，则△ABC的周长为 20 ．
【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，BE＝5，
∴BC＝BE＝5，
∵AB＝6，AC＝9，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+9+5＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15．（3分）已知关于x的方程3k﹣5x＝﹣9的解是非负数，则k的最小值为 ﹣3 ．
【分析】把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得到答案．
【解答】解：方程3k﹣5x＝﹣9，
解得：x＝，
由题意得：≥0，
解得：k≥﹣3，
∴k的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的范围是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°，
当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°，
当∠AED是钝角时，
∴∠AED＞90°，
∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE，
∴135°﹣∠ADE＞90°，
∴0°＜∠ADE＜45°，
综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°．
故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，关键分类进行讨论．
三、解答题（本大题共有10题，共102分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）计算：
（1）﹣14+（3﹣π）0+3﹣2；
（2）x•x5+（2x2）3﹣x8÷x2．
【分析】（1）根据整数指数幂，零指数幂以及负整数指数幂的运算法则先化简，然后再计算加减即可；
（2）运用同底数幂乘法，积的乘方以及同底数幂除法的运算法则先化简，然后再合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣14+（3﹣π）0+3﹣2
＝﹣1+1+
＝；
（2）x•x5+（2x2）3﹣x8÷x2
＝x6+8x6﹣x6
＝8x6．
【点评】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关公式并灵活运用．
18．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
（2）先逆用平方差公式，再逆用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：（1）2x2﹣2
＝2（x2﹣1）
＝2（x+1）（x﹣1）．
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a+b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝﹣1，b＝4．
【分析】先展开，再合并同类项，化简后将a＝﹣1，b＝4代入即可．
【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2﹣2a2﹣2ab+a2﹣4b2
＝﹣4ab﹣3b2，
当a＝﹣1，b＝4时，
原式＝﹣4×（﹣1）×4﹣3×42
＝16﹣3×16
＝16﹣48
＝﹣32．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式运算的相关法则，把所求式子化简．
20．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①×2﹣②得：7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：4x﹣2＝2，
解得：x＝1，
则方程组的解为；
（2），
由①得：x≥1；
由②得：x＜5，
所以不等式组的解集为1≤x＜5．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式（组），关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到：也考查了解二元一次方程组．
21．（10分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）图中AE、BD有怎样的关系？试证明你的结论．
【分析】（1）利用SAS证明三角形全等；
（2）利用（1）的结论求解．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AC＝BC，DC＝EC，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，
理由：设CD交AE于点F，BD交AE于点M，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD，∠D＝∠E，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠EMD＝∠ECD＝90°，
即：AE⊥BD．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，掌握判定的条件是解题的关键．
22．（10分）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ②③ ，结论是 ① （只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
【分析】（1）选择的条件是②③，结论是①，由EF∥GH，得∠ACG＝∠DAC，从而∠ACG＝∠ACD，又BC平分∠DCH，得∠DCB＝∠BCH，即可得∠ACB＝90°，故AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，可得x°+（2x﹣3）°＝90°，即可解得∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，故∠DAC＝∠ACG＝59°．
【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：
∵EF∥GH，
∴∠ACG＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠DAC，
∴∠ACG＝∠ACD，
∵BC平分∠DCH，
∴∠DCB＝∠BCH，
∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，则∠ACG＝（2x﹣3）°，
∵∠ACG+∠BCH＝90°，
∴x°+（2x﹣3）°＝90°，
解得x＝31，
∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，
∴∠DAC＝∠ACG＝59°．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线性质，角平分线的概念等知识．
23．（10分）已知关于x、y的方程组．
（1）求方程组的解（用含m的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足条件x＜0，且y＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，解之即可．
【解答】解：（1），
①×3+②，得：10x＝30m+10，
解得：x＝3m+1，
将x＝3m+1代入①，得：9m+3+y＝10m+5，
解得：y＝m+2，
则方程组的解为；
（2）根据题意，得，
解得：﹣2＜m＜﹣．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（10分）兴化市大润发超市分两次购进甲、乙两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如表：
购进数量（件）
购进所需费用（元）
甲
乙
第一次
10
30
1700
第二次
30
10
1900
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（要求用二元一次方程组求解）
（2）超市决定甲种商品以每件80元出售，乙种商品以每件60元出售．为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共500件．现将两种商品全部售出，若总利润不低于11400元，则该超市至少购进多少件甲种商品？
【分析】（1）设每件甲种商品的进价是x元，每件乙种商品的进价是y元，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合两次购进两种商品的数量及进货总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市购进m件甲种商品，则购进（500﹣m）件乙种商品，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不低于11400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件甲种商品的进价是x元，每件乙种商品的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件甲种商品的进价是50元，每件乙种商品的进价是40元．
（2）设该超市购进m件甲种商品，则购进（500﹣m）件乙种商品，
依题意得：（80﹣50）m+（60﹣40）（500﹣m）≥11400，
解得：m≥140，
∴m的最小值为140．
答：该超市至少购进140件甲种商品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O．请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由SAS证△ACD≌△EBD即可；
（2）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，同（1）得△ACD≌△EBD（SAS），则AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，再由SAS证△BAC≌△ABE，得BC＝AE，即可得出结论；
（3）取OA的中点F，OC的中点G，连接DE、FG，由三角形中位线定理得FG＝AC，FG∥AC，再证DE是△BAC的中位线，得DE＝AC，DE∥AC，则DE＝FG，DE∥FG，然后由ASA证△OED≌△OGF，得OD＝OF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，
∴AC∥BE，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝90°，
在△BAC和△ABE中，
，
∴△BAC≌△ABE（SAS），
∴BC＝AE，
∵AD＝DE＝AE，
∴AD＝BC；
（3）解：线段AO与OD之间的数量关系为：AO＝2OD，理由如下：
取OA的中点F，OC的中点G，连接DE、FG，如图3所示：
则FG是△OAC的中位线，
∴FG＝AC，FG∥AC，
∵AD是BC边上的中线，CE是边AB上的中线，
∴BD＝CD，AE＝BE，
∴DE是△BAC的中位线，
∴DE＝AC，DE∥AC，
∴DE＝FG，DE∥FG，
∴∠OED＝∠OGF，∠ODE＝∠OFG，
在△OED和△OGF中，
，
∴△OED≌△OGF（ASA），
∴OD＝OF，
∵点F是OA的中点，
∴AO＝2OF，
∴AO＝2OD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（14分）已知关于x、y的方程组（n是常数）．
（1）当n＝1时，则方程组可化为，
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）①由题意对x、y进行取值即可求解；
②解二元一次方程组可得，再将代入x﹣2y+mx＝﹣5中，即可求m的值；
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，由题意可求是公共解；
（3）通过解二元一次方程组可得（5+2m）x＝﹣5，再由题意可得5+2m＝±1，5+2m＝±5，分别求出m即方程组的解，对所求的结果进行取舍即可．
【解答】解：（1）①当y＝0时，x＝3；
当y＝1时，x＝1；
∴x+2y＝3的所有非负整数解为或；
②由题意可得，
①﹣②得，y＝1，
将y＝1代入②，得x＝1，
∴方程组的解为，
将代入x﹣2y+mx＝﹣5中，
∴1﹣2+m＝﹣5，
解得m＝﹣4；
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，
∵当m每取一个值时，方程有一个公共解，
∴当x＝0时，y＝，
∴是方程的公共解；
（3）当n＝3时，，
②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，
①+③得，5x+2mx＝﹣5，
整理得（5+2m）x＝﹣5，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴5+2m＝±1，5+2m＝±5，
当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解为；
当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解为；
当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解为；
当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解为；
综上所述：m＝﹣2或m＝0．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，根据条件确定m的取值是解题的关键．
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