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2023届高考数学一轮复习精选用卷 第二章 不等式 考点4 基本不等式+答案解析
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这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第二章 不等式 考点4 基本不等式+答案解析,共15页。试卷主要包含了基础小题,高考小题,模拟小题等内容,欢迎下载使用。
考点测试4 基本不等式
高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题,分值为5分,中等难度
考纲
研读
1.了解基本不等式的证明过程
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
一、基础小题
1.若00,n>0,2m+n=1,则+=(2m+n)=++≥+2=,当且仅当n=,m=时取等号.故选C.
3.设x>0,则函数y=x+-的最小值为( )
A.0 B. C.1 D.
答案 A
解析 由于x>0,则y=x+-=+-2≥2-2=0,当且仅当x+=,即x=时等号成立.所以函数y的最小值为0.故选A.
4.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则n的最大值为( )
A.9 B.12 C.16 D.20
答案 A
解析 因为a>0,b>0,所以2a+b>0,+≥⇒(2a+b)≥n,(2a+b)=5++≥5+2=9(当且仅当a=b时,取等号),要想不等式+≥恒成立,只需n≤9,即n的最大值为9.故选A.
5.若3x+2y=2,则8x+4y的最小值为( )
A.4 B.4 C.2 D.2
答案 A
解析 ∵3x+2y=2,∴8x+4y=23x+22y≥2=2=4,当且仅当3x=2y,即x=,y=时等号成立,∴8x+4y的最小值为4.故选A.
6.已知向量a=(1,x-1),b=(y,2),其中x>0,y>0.若a⊥b,则xy的最大值为( )
A. B. C.1 D.2
答案 B
解析 因为a=(1,x-1),b=(y,2),a⊥b,所以a·b=y+2(x-1)=0,即2x+y=2.又因为x>0,y>0,所以2x+y≥2,当且仅当x=,y=1时等号成立,即2≤2,所以xy≤,所以当且仅当x=,y=1时,xy取到最大值,最大值为.故选B.
7.若a>0,b>0,且+=,则a2+b2的最小值为( )
A.2 B.2 C.4 D.4
答案 C
解析 ∵a>0,b>0,∴+=≥2,∴ab≥2,当且仅当a=b=时等号成立,∴a2+b2≥2ab≥4,当且仅当a=b=时等号成立.综上,a2+b2的最小值为4.故选C.
8.已知函数f(x)=cosπx(00,b>0,∴++b≥2+b=+b≥2=2,当且仅当=且=b,即a=b=时等号成立,∴++b的最小值为2.
三、模拟小题
18.(2022·浙江杭州富阳中学高三上第一次二校联考)已知正实数a,b满足+=6,则(a+1)(b+9)的最小值是( )
A.8 B.16 C.32 D.36
答案 B
解析 因为正实数a,b满足+=6,所以6=+≥2,即≥1,当且仅当=时,即a=,b=3时取等号.因为+=6,所以b+9a=6ab,所以(a+1)(b+9)=9a+b+ab+9=7ab+9≥7+9=16.故(a+1)(b+9)的最小值是16.故选B.
19.(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知a>0,b>0且a+b=1,若不等式+>m恒成立,m∈N*,则m的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 A
解析 ∵不等式+>m恒成立,∴>m,又a+b=1,a>0,b>0∴+=(a+b)=1+++1≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立,∴=4,∴m0,y>0,且x+4y-xy=0,若不等式a≤x+y恒成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,6] B.(-∞,7]
C.(-∞,8] D.(-∞,9]
答案 D
解析 ∵x>0,y>0,x+4y-xy=0,∴+=1,∴x+y=(x+y)=5++.∵+≥2=4(当且仅当=,即x=2y=6时取等号),∴x+y≥5+4=9.又不等式a≤x+y恒成立,∴a≤9.
21.(2022·辽宁六校高三上学期期初联考)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2,若正实数a,b满足f(a)+f(2b)=m,则+的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵f(x)为R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),即|-x-m+1|-2=|x-m+1|-2,即(-x-m+1)2=(x-m+1)2,整理得2(m-1)x=-2(m-1)x,∴m=1,∴f(x)=|x|-2.∴f(a)+f(2b)=a-2+2b-2=1,即a+2b=5.∴+=(a+2b)=≥=(当且仅当=,即2b=a时取等号),∴+的最小值为.故选B.
22.(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则( )
A.a<v< B.v=
C.<v< D.v=
答案 AD
解析 设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为+,∴v==.∵b>a>0,∴v=<=;另一方面,v=<=,v-a=-a=>=0,∴v>a,则a<v<.故选AD.
23.(多选)(2022·河北石家庄第一中学高三上教学质量检测(一))以下结论正确的是( )
A.x2+≥2
B.+的最小值为2
C.若a2+2b2=1,则+≥3+2
D.若a+b=1,则+≥4
答案 AC
解析 对于A,x2+≥2=2,当且仅当x2=1时等号成立,故A正确;对于B,+≥2=2,当且仅当=1时等号成立,但≥≠1,故B错误;对于C,+=·(a2+2b2)=3++≥3+2,当且仅当a2=-1,b2=时等号成立,故C正确;对于D,当a>0,b>0,a+b=1时,+=(a+b)=2++≥4,但当a+b=1时,不一定有a>0,b>0,故D错误.故选AC.
24.(多选)(2022·辽宁葫芦岛协作校高三上第一次考试)下列函数中,最小值为9的是( )
A.y=
B.y=+
C.y=lg x+
D.y=
答案 AB
解析 y==5+x2+≥5+2=9,当且仅当x2=2时,等号成立.y=+=(sin2x+cos2x)=5++≥5+2=9,当且仅当tan2x=时,等号成立.当lg x-5小于0时,y=lg x+无最小值.y==≤4×=9,当且仅当x2=1时,等号成立,则y=的最大值为9.故选AB.
25.(2022·福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))若lg x+lg y=0,则4x+9y的最小值为________.
答案 12
解析 因为lg x+lg y=0,所以xy=1(x>0,y>0),所以4x+9y≥2=12.等号成立的条件为4x=9y,即x=,y=时取得最小值.
26.(2022·河北正定中学高三开学考试)已知x,y>0,且+=,则x+y的最小值为________.
答案 5
解析 x+y=2[(x+3)+y]-3=2-3≥2-3=5,当且仅当=,即x=1,y=4时,等号成立,所以x+y的最小值为5.
一、高考大题
1.(2020·全国Ⅲ卷)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca