2021-2022学年广东省韶关市武江区北江实验中学八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省韶关市武江区北江实验中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图象中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是(    )

A. 邻角互补 B. 对角互补 C. 中心对称图形 D. 内角和是

4. 若是最简二次根式，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某家书店对上季度该店中国古代四大名著的销售量统计如表：

依据统计数据，为了更好地满足读者需求，该书店决定本季度购进中国古代四大名著时多购进一些西游记，你认为最影响该书店决策的统计量是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

6. 函数的图象与函数的图象的交点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，直线与轴交于点，下列说法正确的是(    )

A. ，
B. 直线上两点，，若，则
C. 直线经过第四象限
D. 关于的方程的解为
 

9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，把一张长方形纸片折叠后，点、点的对应点分别为点和点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图所示，直线分别与轴、轴交于点、，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过、两点直线的解析式为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在四边形中，，直线，当直线沿射线的方向从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图所示．则下列结论：的长为；的长为；当时，的面积不变；当时，的面积为；其中正确的有个(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 已知：在▱中，，则的度数是______．
14. 若实数，在数轴上对应的点的位置如图，则化简的结果是______．
15. 年北京冬奥会的单板形技巧资格赛中，计分规则是：去掉一个最高成绩和一个最低成绩后，计算平均分，这个平均分就是选手最终得分．谷爱凌滑完后，六名裁判打分如下：

根据评分规则，谷爱凌的最终得分是______分．

16. 正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______．

17. 如图，中，，，，点是的中点，，，则四边形的周长是______．

18. 如图，，矩形的顶点小分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中点到点的最大距离是______．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ．
    设的整数部分为，小数部分为，求的值．
20. 本小题分
    睡眠是机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要．为了解教育部发布的关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知的实施成效，某调查组随机调查了某学校部分初中生的睡眠时间，假设平均每天的睡眠时间为小时，为了方便统计，当时记为小时，当时记作小时，以此类推
    根据调查数据绘制了以下不完整的统计图：
    根据图中信息回答下列问题：
    本次共调查了______名学生，请将条形统计图补充完整；
    本次抽查的学生平均每天睡眠时间的众数为______，中位数为______；
    平均每天睡眠时间为小时所对应的圆心角的度数为______；
    根据“通知”要求，初中生睡眠时间要达到小时．该校有名学生，根据抽样调查结果，估计该校有______名学生平均每天睡眠时间低于小时．
     

21. 本小题分
    如图，在▱中，按下列步骤作图：
    以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点交于点；
    再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
    作射线交于；
    过点作交于点，交于点；
    连接，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，，求的长．

22. 本小题分
    为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是元和元．
    学校第一次购买甲、乙两种图书共本，且恰好支出元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？
    若学校准备再次购买甲、乙两种图书共本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？
23. 本小题分
    请阅读下列材料：
    问题：已知，求代数式的值．小敏的做法是：根据得，，得：
    把作为整体代入：得即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
    已知，求代数式的值；
    已知，求代数式的值．
24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，过轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且≌．
    
    求出直线对应的函数表达式；
    点是线段上一动点不与点、重合，交于点，连接判断的形状，并说明理由；
    若为直线上的点，为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据函数的定义可知，每给定自变量一个值都有唯一的函数值相对应，
所以、、D错误．
故选B．
函数就是在一个变化过程中有两个变量，，当给一个值时，有唯一的值与其对应，就说是的函数，是自变量．注意“有唯一的值与其对应”对图象的影响．
本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用幂的乘方的法则，零指数幂的法则，负整数指数幂的法则，二次根式的减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的减法，幂的乘方，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形的邻角互补，故本选项不合题意；
B.平行四边形的对角相等，但不一定互补，故本选项符合题意；
C.平行四边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.平行四边形的内角和是，故本选项不合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质逐一判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式有意义的条件判断选项；根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断，，选项．
本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然想要了解哪个货种的销售量最大，那么应该关注那种货种销的最多，故值得关注的是众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：联立函数与函数，
解得，，
两函数图象的交点坐标为，在第二象限，
故选：．
联立两函数解析式，求出交点坐标即可进行判断．
本题考查了一次函数的交点问题，联立两个函数解析式求出交点坐标是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的中位线，若，
，
在中，，是边上的中线，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线经过一、二、三象限，
，，故A错误；
直线经过一、二、三象限，
随的增大而增大，
，是直线上的两点，若，则，故B错误；
直线经过一、二、三象限，故C错误；
直线与轴交于点，
当时，函数，
关于的方程的解为，故D正确；
故选：．
根据一次函数的性质，一次函数与方程的关系即可判断．
本题考查了一次函数的图象和系数的关系，一次函数与一元一次方程，熟知一次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点、的坐标分别为、，
，，
，
四边形是菱形，
，，
点坐标为，
故选A．
由菱形的性质可得，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：四边形是长方形，
，
，
把一张长方形纸片折叠后，点、点的对应点分别为点和点，
，
，
，
，
．
故选：．
直接利用长方形的性质结合平行线的性质得出，再利用四边形内角和定理得出答案．
此题主要考查了长方形的性质、平行线的性质、四边形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于直线，令，得到，即，，
令，得到，即，，
过作轴，可得，
，
为等腰直角三角形，即，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，即，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得．
过、两点的直线对应的函数表达式是．
故选：．
过作垂直于轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形对应边相等得到，，由求出的长，即可确定出坐标，然后根据待定系数法即可求得过、两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：从图知：
当时，的值不变，
相应的对应图是：直线从过点开始到经过点结束，的值不变，
即当，经过点，当时，经过点，
，故结论正确；
从图，，，，
，故结论不正确；当时，
如图，
，
不变，变化，
的面积变化，
故结论不正确；
如图所示，
直线，，，
当时，由图可知，
，
，
，
当时，直线与四边形的边分别相交于点，，
此时，是的中点，且，
．
故结论正确．
综上所述，结论正确的有共个．
故选：．
当时，即当，经过点，；当时，经过点，可得，；当时，根据面积比等于相似比的平方或运用三角函数求出面积．
本题考查的是图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的度数是：．
故答案为：．
直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由数轴可得：，，
原式
．
故答案为：．
直接利用数轴得出，，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据评分规则，谷爱凌的最终得分是分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图形可得：
．
故答案为：．
根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会于转化的思想思考问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
在中，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
四边形的周长．
先证明四边形是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形是菱形，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理逆定理、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、、，
，，
，
，四边形是矩形，
，
，
根据三角形的三边关系，，
当过点时，等号成立，的值最大，最大值为．
故答案为：．
取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出过的中点时值最大是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
，
，
，
，
，，
原式

． 

【解析】根据二次根式的除法，化简二次根式，零指数幂即可得出答案；
估算无理数的大小，求出，的值，代入代数式求值即可．
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，零指数幂，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

20.【答案】         

【解析】解：本次共调查学生数为名，
睡眠时间为小时的人数为名，
补全的统计图如下：

故答案为：．
根据补全的条形统计图可知，学生平均每天睡眠时间的众数为小时，中位数为小时，
故答案为：，；
平均每天睡眠时间为小时所对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
该校学生平均每天睡眠时间低于小时的人数为名，
故答案为：．
根据睡眠时间为小时的人数可求出总人数，再求出睡眠时间为小时的人数，根据所求数据即可补全统计图；
根据补全的统计图可直接求出众数盒中位数；
乘以平均每天睡眠时间为小时所占比例即可；
全校总人数乘以平均每天睡眠时间低于小时的学生所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
 

21.【答案】证明：由作图知，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；

解：作于，

四边形是菱形，，，
，，，
，
，，
． 

【解析】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
作于，根据四边形是菱形，，，得到，，，从而得到，，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
 

22.【答案】解：设购买甲种图书本，乙种图书本，根据题意，得：
，
解得，
答：购买甲种图书本，乙种图书本；
设购买费用为元，购买乙种图书本，则买甲种图书本，根据题意，得：

，
由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，得：
，
解得，
，，
随的增大而减小，
当时，元，
此时元，
答：当购买甲种图本，购买乙种图书本时，购买费用最少，最少费用是元． 

【解析】根据题意列方程组解答即可；
设购买费用为元，购买乙种图书本，数量根据题意与的关系式，并根据题意列不等式得出的取值范围，再根据一次函数的增减性解答即可．
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
则，
． 

【解析】根据完全平方公式求出，代入计算即可；
根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
 

24.【答案】解：把代入得：，
点，
，
把代入得：，
点，
，
≌，
，，
，，
设直线对应的函数表达式为：
把，代入得：，
解得：，
直线对应的函数表达式为：；
是等腰直角三角形．理由如下：
≌，
，，
又，
，
即，
，
即，
，
在与中，
，
≌
，
又，
是等腰直角三角形；
直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰三角形．
为直线上的点，
，
，
，
当点在点下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点，

，
轴，，点的纵坐标为，，
是以为直角顶点的等腰三角形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
点的纵坐标为，
把代入中得：，
点；
当点在点上方时，如图，过点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点．

则，
点的橫坐标为，
则，
是以为直角顶点的等腰三角形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
把代入中得：，
；
综上所述，直线上存在点或，使得是以为直角顶点的等腰三角形． 

【解析】先求出，，由全等三角形的性质可得，，利用待定系数法可求解析式；
由全等三角形的性质可得，，由“”可证≌，可得，可得结论；
分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点坐标．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．