专题07 一次函数的图象与性质-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题07 一次函数的图象与性质
【典型例题】
1．（2021·山西介休·八年级期中）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．函数必经过点（﹣2，1） B．y随x的值增大而增大
C．与x轴交于（，0） D．图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【分析】
根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、当x=-2，y=-2x+1=-2×（-2）+1=5，则点（-2，1）不在函数y=-2x+1图象上，故本选项错误；
B、由于k=-2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误；
C、当y=0时，x=，所以直线y=-2x+1与x轴交于（，0），故本选项正确；
D、由于k=-2＜0，则函数y=-2x+1的图象必过第二、四象限，b=1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x的上方；当b=0，图象经过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x的下方．
2．（2021·广东·广州市天河区汇景实验学校九年级期中）已知一次函数的解析式为y＝2x+5，该图象过点A（﹣2，a），B（b，﹣1）．
（1）求a，b的值，并画出该一次函数的图象；
（2）在y轴上是否存在点C，使得AC+BC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
（3）点P为坐标轴上一点，若S△OBP＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）a＝1，b＝﹣3；作图见解析；（2）存在，；（3）（5,0），（﹣5,0），（0, ），（0, ﹣）．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出a、b的值，利用描点法画一次函数的图像即可；
（2）存在．作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，交y轴于点C，点C即为所求．求出直线BA′的解析式即可解决问题；
（3）先用割补法求出△AOB的面积，然后分点P在x轴和在y轴上分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵直线y＝2x+5，过点A（﹣2，a），B（b，﹣1），
∴a＝2×（﹣2）+5＝1，﹣1＝2b+5，
解得：a＝1，b＝﹣3，
一次函数如图所示：

（2）存在．作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，交y轴于点C，点C即为所求．
∵A（﹣2,1），
∴A′（2,1），B（﹣3，﹣1），
设直线BA′的解析式为：，把A′（2,1），B（﹣3，﹣1）代入
求得，
∴直线BA′的解析式为：
∴．
（3）设直线y＝2x+5与y轴交于点D，可得D（0,5），

∴S△AOB＝S△DOB －S△AOD＝，
当点P在x轴上时，S△OBP＝，
解得：OP＝5或OP＝﹣5
∴点P的坐标为：（5,0），（﹣5,0）
当点P在y轴上时，S△OBP＝，
解得：OP＝或OP＝﹣，
∴点P的坐标为：（0, ），（0, ﹣），
综上所述：点P的坐标为：（5,0），（﹣5,0），（0, ），（0, ﹣），
【点睛】
本题考查一次函数图像上点的特征，轴对称最短问题，割补法求三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．




【专题训练】
一、 选择题
1．（2021·广东·深圳中学八年级期中）直线y＝2x－5不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【详解】
解：∵一次函数y＝2x−5，k＝2，b＝−5，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
2．（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0)
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A (1，y1)，B (3，y2)在该函数图象上，则y1＜y2
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【详解】
解：A、函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确．
B、当y=0时，x=2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故B选项正确；
C、函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x+4-4=-2x，故C选项正确；
D、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，
∵1＜3，
∴y1＞y2，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．（2021·福建·三明市列东中学八年级期中）点、在一次函数图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】
根据一次函数的增减性即可得．
【详解】
解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而减小，
点、在此函数的图象上，
当时，，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
4．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）已知一次函数的图像过点（，4），则下列结论正确的是（ ）
A．y随x增大而增大 B．
C．直线过点（1，0） D．直线过原点
【答案】C
【分析】
将点代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】
解：∵一次函数过点，
∴，解得，
∴一次函数为，y随x增大而减小，故A和B错误，不符合题意；
当时，，故该选项正确，符合题意；
当时，，故该直线不经过原点，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
5．（2021·江苏·景山中学八年级阶段练习）如图，一次函数y＝mx+n与yx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．
【详解】
解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0， 一次函数y=mx+n的图象一、二、三象限， 正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0， 一次函数y=mx+n的图象一、三、四象限， 正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，C选项符合；
（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0， 一次函数y=mx+n的图象二、三、四象限， 正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0， 一次函数y=mx+n的图象一、二、四象限， 正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，无符合项．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象的性质是解题的关键．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（　　）

A．（2100﹣1，0） B．（5050，0） C．（299，0） D．（100，0）
【答案】C
【分析】
根据直线解析式确定，∠AOP1＝45°，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得前面几个点的坐标，找出规律即可求解．
【详解】
解：∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠AOP1＝45°，
∵PQ1⊥x轴，
∴△OP1Q1为等腰直角三角形，
∵点P1坐标为（1，0），
∴P1Q1＝OP1＝1，
∵P2Q1⊥OA，
∴∠P1Q1P2＝45°，
∴△P1P2Q1为等腰直角三角形，
∴P1P2＝P1Q1＝1，
∴P2（2，0），
同理可得P3（4，0），P4（8，0），……，Pn（2n﹣1，0），
∴P100（299，0），
故选：C．
【点睛】
此题考查了坐标类规律的探索问题，涉及了正比例函数的性质、等腰直角三角形的性质。解题的关键是根据题意，利用性质找出前面几个点的坐标，正确找出规律，然后求解．
二、填空题
7．（2021·福建大田·八年级期中）一次函数中，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．
【答案】增大
【分析】
利用平方的非负性可知+1＞0,再利用一次函数的性质判断即可;
【详解】
解:∵≥0
∴+1＞0
所以一次函数中，y随x的增大而增大
故答案为:增大
【点睛】
本题考查了平方的非负性以及一次函数的性质,掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）正比例函数y＝（3m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ___．
【答案】
【分析】
先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】
∵正比例函数 y=（3m+1）x 中，y随x的增大而减小，
∴3m+1＜0，
解得．
故答案为；．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小．
9．（2021·河南·平顶山市第九中学八年级期中）如图所示：直线y＝kx+b与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，2），关于x的方程kx+b＝0的解为 ___．

【答案】x=3
【分析】
方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标，由此求解即可．
【详解】
解：∵直线y=kx+b与x轴交于点（3，0），
即当x=3时，y=kx+b=0；
∴关于x的方程kx+b=0的解为：x=3．
故答案为：x=3．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．
10．（2021·河南·平顶山市第九中学八年级期中）若点A、B：（﹣2，y1）、（﹣1，y2）都在直线y＝kx+b上，且直线y＝kx+b和直线y＝﹣2x+5平行，则y1___y2（填＞，＜，＝）．
【答案】＞
【分析】
根据两直线平行值相等，再根据，一次函数随的增大而减小即可解答
【详解】
直线与平行

直线随的增大而减小


故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握两直线平行值相等及一次函数的图像及其性质是解题关键．
11．（2021·重庆一中八年级期中）已知一次函数，当时，因变量y的最大值为7，则_______．
【答案】
【分析】
根据一次函数的增减性得到当x=m时，y=7，代入函数解析式求解即可．
【详解】
解：∵，k=2>0，
∴y随着x的增大而增大，
∵当时，因变量y的最大值为7，即当x=m时，y=7，
∴2m-4=7，
解得m=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查一次函数的增减性：当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时y随x的增大而减小．
12．（2021·全国·八年级专题练习）如图，一次函数y＝－x＋8的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．P是x轴上一个动点，若沿BP将△OBP翻折，点O恰好落在直线AB上的点C处，则点P的坐标是______．

【答案】（，0），（－24，0）
【分析】
过P作PC⊥AB于C，设OP=x，由一次函数解析式求出点A、B坐标，进而求得OA、OB、AB，由折叠性质得PC=OP=x，根据点P在OA上与x轴负半轴上两种情况，在Rt△APC中，由勾股定理即可求解．
【详解】
解：根据题意可得：OA=6，OB=8，则AB=，
①、当点P在线段OA上时，设点P的坐标为(x，0)，
则AP=6－x，BC=OB=8，
CP=OP=x，AC=10－8=2，
∴根据勾股定理可得：，
解得：，
∴点P的坐标为(，0)；

②、当点P在x轴的负半轴上时，设OP的长为x，则AP=6+x，BC=8，
CP=OP=x，AC=10+8=18，
∴根据勾股定理可得：，
解得：x=24，
∴点P的坐标为(－24，0)；
∴综上所述，点P的坐标为(，0)，(－24，0)．
故答案为：(，0)，(－24，0)．

【点睛】
本题考查了翻折变换、一次函数图象与x轴的交点问题、勾股定理、解一元一次方程，解答的关键是掌握翻折的性质，运用勾股定理列出方程解决问题．
三、解答题
13．（2021·陕西临潼·八年级期末）将一次函数y＝﹣3x﹣1的图象向上平移5个单位．
（1）求平移后的一次函数表达式；
（2）若点P（m﹣1，n1）和点Q（m+1，n2）都在平移后的一次函数图象上，求n1﹣n2的值．
【答案】（1）y=-3x+4；（2）n1-n2=6．
【分析】
（1）根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；
（2）把点P（m-1，n1）和点Q（m+1，n2）代入y=-3x+4，解方程组即可得到结论．
【详解】
解：（1）一次函数y=-3x-1的图象沿着y轴向上平移5个单位所得函数解析式为：y=-3x-1+5，即y=-3x+4；
（2）∵点P（m-1，n1）和点Q（m+1，n2）在该一次函数的图象上，
∴，
解得：n1-n2=6．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14．（2021·江苏·高港实验学校八年级阶段练习）已知与x成正比例，当时，．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在（1）中函数的图象上，比较y1与y2的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据正比例函数的定义设，将的值代入求解即可；
（2）根据，随的增大而减小，即可判断的大小关系．
【详解】
（1）与x成正比例，
设
当时，．

解得

（2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在的图象上，
随的增大而减小，


【点睛】
本题考查了正比例函数的定义和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．
15．（2021·陕西莲湖·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x＋1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．

【答案】(1) 1 ，k=3，(2) M(3，4)或M(-5，-4)
【分析】
(1)将点A的纵坐标代入直线l2：y＝x＋1即可求出点A的坐标，将A的坐标代入直线l1：y＝kx﹣1即可求出k的值．
(2)利用k=3，求出直线l1的解析式，求出B,D两点坐标得到BD的值，设M(m，m+1) ，根据MN＝2BD求出m的值从而得到答案．
【详解】
解: y＝x＋1
当y＝2时，2= x＋1
x＝1
∴点A的横坐标为1
将A(1，2)代入y＝kx﹣1得
2= k﹣1
k=3
(2)∵k=3
∴直线l1：y＝kx﹣1=3x﹣1
当x=0时， y＝﹣1
∴B(0，-1)
直线l2：y＝x＋1
当x=0时， y＝1
∴D(0，1)
∴BD=2
∴MN＝2BD=4
设M(m，m+1)
∵MN∥y轴
∴N(m，0)
∴MN=| m+1-0|=4
∴m+1=±4
m=3或-5
∴M(3，4)或M(-5，-4)
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,两直线相交等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法．
16．（2021·河南舞钢·八年级期中）已知，一次函数y＝．
（1）画出这个函数的图像．
（2）判断点P（10，﹣3）是否在这个函数的图像上．
（3）若点Q（a+1，2a﹣1）在这个函数的图像上．求a的值．
（4）这个函数的图像上有两个点A（，y1），B（，y2），请比较y1和y2的大小，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）不在；（3）；（4）；理由见解析
【分析】
（1）列表，取点，描点，连线即可；
（2）令，计算即可；
（3）将点Q（a+1，2a﹣1）代入一次函数y＝中，求解即可；
（4）根据一次函数增减性求解即可．
【详解】
解：（1）列表：










描点连线如下：
；
（2）当时，y＝，
∴点在函数图像上，
故点P（10，﹣3）不在这个函数图像上；
（3）根据题意得：，
解得：；
（4）∵一次函数y＝，，
∴随增大而减小，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了画一次函数图像，一次函数点的坐标特征，一次函数性质等知识点，熟练掌握一次函数的基本性质是解本题的关键．
17．（2021·辽宁·沈阳市实验学校八年级期中）如图，直线y＝x+2与x铀、y轴分别交于点A、B．
（1）求点A、B的坐标．
（2）以线段AB为直角边作等腰直角△ABC，点C在第一象限内，∠BAC＝90°，求点C的坐标．（写出解答过程）
（3）在（2）的条件下，若以Q、A、B为顶点的三角形和△ABC全等（点Q不与点C重合），则点Q的坐标为______．

【答案】（1），；（2）；（3）或或．
【分析】
（1）令 ，解得： ，令 ，解得： ，即可求解；
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，证出，可得到，进而得到即可求解；
（3）分情况讨论，①设Q点坐标为，由可得，再利用勾股定理即可求解．②设Q点坐标为，当时，由可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：（1）直线y＝x+2与x铀、y轴分别交于点A、B，
令 ，解得： ，则 ，
令 ，解得： ，则 ，
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，

∵ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵△ABC为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
设c点坐标为 ，则 ，
∴ ；
（3）

①设Q点坐标为，
∵ ，
∴ ，
由（2）知，则 ， ，
∴ ，
解得：，
∵点Q与点C不重合，
则．
②设Q点坐标为，当时，
∵，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴，
综上，Q点坐标为或或．
【点睛】
本题属于一次函数与几何图形的综合，主要考查了一次函数的图象，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
18．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．

（1）点A坐标为（　　）；点B坐标为（　　）；线段的长为________．
（2）当的面积是6时，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由．
【答案】（1），，；（2）或；（3）存在，点P的坐标为：或或或
【分析】
（1）根据一次函数图像的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到点A和点B坐标；通过勾股定理的性质计算，得，结合三角形面积公式的性质计算，即可得到答案；
（2）点P的坐标为，通过列方程并求解，再结合一次函数的性质计算，即可得到答案；
（3）设点P的坐标为，结合题意，分，，三种情况分析；根据全等三角形、一元一次方程、直角坐标系的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）当时，
∴
∴点A坐标为：，；
当时，
∴点B坐标为：，；
∴
∵
∴
故答案为：，，；
（2）设点P的坐标为
∵的面积是6时
∴
∴
∴点P的坐标为或；
（3）设点P的坐标为
∵以O、P、Q为顶点的三角形与全等，且
∴分，，三种情况分析；
∵点Q在y轴上，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点
∴不成立；
当时，如下图：

∵，，
∴当成立时，得：或
当时，得；
∴或
∴点P的坐标为或
当时，得
∴点P的坐标为或；
当时，如下图：

∵的直角边的斜边
∵，即和矛盾
∴不成立；
∴在y轴上存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，点P的坐标为：或或或．
【点睛】
本题考查了一次函数、一元一次方程、勾股定理、绝对值、全等三角形、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、勾股定理、全等三角形、直角坐标系的性质，从而完成求解．