2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--3.9　函数模型及其应用（课件）

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知识梳理1.几类常见的函数模型
微点拨对勾函数f(x)=x+ (a>0)模型
2.三种函数模型的增长特点
微点拨指对函数的增长特点“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
3.解函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=2x的函数值恒比y=x2的函数值大.(　　)(2)幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.(　　)(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题.(　　)(4)若f(x)=2x,g(x)=x2,h(x)=lg2x,则当x∈(4,+∞)时f(x)>g(x)>h(x).(　　)
2.在某次物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:
则对x,y最适合的拟合函数是(　　)A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2D.y=lg2x
答案 D　解析 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=lg2x,可知D满足题意,故选D.
3.某同学大学毕业后回到家乡开了一家网店,专门卖当地的土特产.为了增加销量,该同学计划搞一次促销活动,一次购物总价值不低于M元,顾客就少支付20元,已知网站规定每笔订单顾客在网上支付成功后,该同学可以得到货款的85%,为了在本次促销活动中该同学从每笔订单中得到的金额均不低于促销前总价的75%,则M的最小值为(　　)A.150 B.160C.170 D.180
答案 C　解析 由题意,在本次促销活动中该同学从每笔订单中得到的金额为(M-20)·85%元,所以(M-20)·85%≥M·75%,解得M≥170,所以M的最小值为170,故选C.
典例突破例1.(2021河北衡水高三月考)如图,在正方形ABCD中,AB=2,点M从点A出发,沿A→B→C→D→A方向,以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动;点N从点B出发,沿B→C→D→A→B方向,以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发,运动时间为t(单位:秒),△AMN的面积为f(t),规定A,M,N共线时其面积为零,则点M第一次到达点A时,y=f(t)的图象为(　　)
突破技巧判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法:当根据题意能够建立函数模型并得到解析式时,可先建立模型,再根据模型选择图象;(2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,可根据两个变量的变化规律与特点,分析图象的变化趋势,排除不符合题意的情况,得到正确答案.
对点训练1(2021江苏泰州高三模拟)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某硏究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　)A.y=mx2+n(m>0)B.y=max+n(m>0,00,a>1)D.y=mlgax+n(m>0,a>0,a≠1)
答案 B　解析 由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0典例突破例2.(2021广东广州高三月考)核酸检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测,在PCR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,其中p为扩增效率,X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增10次后,数量变为原来的100倍,那么该样本的扩增效率p约为(　　)(参考数据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)
答案 C　解析 由题意知,lg(100X0)=10lg(1+p)+lg X0,即2+lg X0=10lg(1+p)+lg X0,所以1+p=100.2≈1.585,解得p≈0.585.
技巧点拨根据给定函数模型解决实际问题的技巧(1)认清函数模型,明确其中的变量,弄清楚哪些为待定系数.(2)根据已知条件,确定模型中的待定系数.(3)分析函数模型,借助函数的性质解决相关问题.
对点训练2(2021湖南师大附中高三月考)“绿水青山就是金山银山”,党的十九大以来,城乡深化河道生态环境治理,科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米,每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水,某一时段t(单位:天)河水污染质量指数为m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足 (m0为初始质量指数),经测算,河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源,要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是(参考数据:ln 10≈2.30)(　　)A.1个月B.3个月C.半年 D.1年
t≈184(天),所以要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是184天,故选C.
考向1.构建二次函数模型典例突破例3.(2021广东揭阳高三期末)某公司进行技术创新,将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态的化工产品,从而实现“变废为宝、低碳排放”.经过生产实践和数据分析,在这种技术下,该公司二氧化碳月处理成本y(单位:元)与二氧化碳月处理量x(x∈[300,600],单位:吨)之间满足函数关系y= x2-300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200元.(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最低平均成本是多少?(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100元.
当且仅当x=500时,等号成立,故当x∈[300,600]时,25 000≤U≤45 000,所以该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是45 000元,此时二氧化碳的月处理量为500吨.
突破技巧构建二次函数模型解决实际问题的注意点(1)确定二次函数模型的解析式时,一般是借助已知点来确定,常用待定系数法;(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
对点训练3食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害.为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足 ,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?
即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.所以当甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.
考向2.构建指对函数模型典例突破例4.(2021湖北天门高三期中)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与 (p>0,k>0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
因此,凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
方法点拨应用指对函数模型应注意的问题(1)指对函数模型的应用类型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指对函数模型来解决.(2)应用指对函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
对点训练4(2021四川成都高三期中)声音通过空气的震动所产生的压强叫声压强,简称声压,单位为帕斯卡(Pa),把声压的有效值取对数来表示声音的强弱,这种表示声音强弱的指标叫做声压级,若声压级用S(单位:dB)表示, (其中声压的有效值表示为Pt,k=2×10-5 Pa),根据以上材料,回答下列问题:(1)若两人小声交谈时声压的有效值Pt=0.000 2 Pa,求其声压级;(2)已知某学校高三学生在学校礼堂开展辩论会,如果测得声级为100 dB,求该学校礼堂此时声压的有效值.
考向3.构建分段函数模型典例突破例5.(2021浙江杭州高三月考)杭州市将于2022年举办第19届亚运会,本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办赛理念,展示杭州生态之美、文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速发展.筹备期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放当地市场,已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一台需另投入80元,设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完,每万台的销售收入G(x)(单位:万元)与年产量x(单位:万台)满足如下关系式:
(1)写出年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数解析式(利润=销售收入-成本).(2)当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大?并求最大利润.
当且仅当x=29时等号成立.由于1 360>1 150,所以当年产量为29万台时,该公司获得的年利润最大,为1 360万元.
突破技巧构建分段函数模型解决问题的注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,应构建分段函数模型求解;(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏;(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大者(最小者).
对点训练5(2021福建龙岩高三月考)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍惜水果树的单株产量W(x)(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系: 肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克,且销售畅通供不应求,记该水果单株利润为f(x)(单位:元).(1)写出单株利润f(x)(单位:元)关于施用肥料x(单位:千克)的关系式;(2)当施用肥料为多少千克时,该水果树单株利润最大?最大利润是多少?