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宁夏银川市灵武市第二中学 2021-2022学年八年级下学期数学期末试卷(word版含答案)
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这是一份宁夏银川市灵武市第二中学 2021-2022学年八年级下学期数学期末试卷(word版含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答与应用等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年宁夏银川市灵武二中八年级（下）期末数学试卷
（附答案与详细解析）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）平行四边形的周长为24cm，相邻两边的差为2cm，则平行四边形的各边长为（ ）
A．4cm，8cm，4 cm，8cm
B．5cm，7cm，5 cm，7cm
C．5.5cm，6.5cm，5.5cm，6.5cm
D．3 cm，9cm，3 cm，9cm
3．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
4．（3分）若分式的值不为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不确定
5．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
8．（3分）如图，已知直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＜﹣1
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2m3﹣8m＝ ．
10．（3分）下列分式：
①；
②；
③；
④中，
最简分式是 ．
11．（3分）已知△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别为三边中点，则△DEF的周长为 ．
12．（3分）已知△ABC的顶点A的坐标为（1，2），经过平移后的对应点A′的坐标为（﹣1，3），则顶点B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为 ．
13．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 ．
14．（3分）关于x的不等式﹣1＞a的解集为x＞﹣2，则a的值为 ．
15．（3分）某种商品的进价为800元，标价为1200元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至少可以打 折．
16．（3分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ．
三、解答题（共53分）
17．（9分）分解因式
（1）4a﹣2ab；
（2）0.25x2﹣9y2；
（3）m（m﹣n）﹣3（n﹣m）．
18．（12分）解不等式（组）
（1）2x+3≥3（x+2）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△BC沿y轴方向向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，则点C1坐标为 ；
（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2：
20．（8分）计算
（1）+；
（2）﹣．
21．（5分）先化简再求值：（1﹣），其中x＝1+．
22．（5分）解分式方程：＝．
23．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．求证：CF＝CD．
四、解答与应用（共19分）
25．（4分）有两个熟练工人甲和乙，他们每小时分别制作零件a件，b件，现要赶制一批零件，若甲单独完成任务需要m小时，如果甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前多长时间？
26．（5分）光明中学团委组织七年级和八年级共60名学生参加环保活动，七年级学生平均收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均收集20个废弃塑料瓶，为了保证所有收集塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少八年级学生参加活动？
27．（5分）某文具店第一次用400元购进胶皮笔记本若干个，第二次又用400元购进该种型号的笔记本，但这次每个的进价是第一次进价的1.25倍，购进数量比第一次少了20个，求第一次每个笔记本的进价是多少？
28．（5分）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2﹣1有 值（填“最大”或“最小”）这个值是 ．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5＝n2+4n+4+1＝（n+2）2+1
∴当n＝﹣2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x﹣1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值及此时x，y的值
2021-2022学年宁夏银川市灵武二中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的概念是解题关键．
2．（3分）平行四边形的周长为24cm，相邻两边的差为2cm，则平行四边形的各边长为（ ）
A．4cm，8cm，4 cm，8cm
B．5cm，7cm，5 cm，7cm
C．5.5cm，6.5cm，5.5cm，6.5cm
D．3 cm，9cm，3 cm，9cm
【分析】利用平行四边形两组邻边相等，再利用周长及两边的关系建立方程组即可求解．
【解答】解：设相邻两边分别为xcm，ycm（x＞y），
由题意可得：，
解得：，
则平行四边形的各边长为5cm，7cm，5cm，7cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边相等是解题的关键．
3．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【分析】原式各式分解因式后，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（a+3）（a﹣3），错误；
B、原式＝﹣a（4﹣a），错误；
C、原式＝（a+3）2，正确；
D、原式＝（a﹣1）2，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（3分）若分式的值不为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不确定
【分析】当分式的值不为零时：分子不等于零，分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0且x+1≠0，
解得x≠2且x≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零．
5．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．
7．（3分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝7，
解得：n＝9．
所以这个多边形的边数是9，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
8．（3分）如图，已知直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＜﹣1
【分析】根据观察图象，找出直线y1＝x+a在直线y2＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣1时，x+a＞kx+b，
所以不等式x+a＞kx+b的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2m3﹣8m＝ 2m（m+2）（m﹣2） ．
【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：2m3﹣8m＝2m（m2﹣4）
＝2m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（3分）下列分式：
①；
②；
③；
④中，
最简分式是 ②③ ．
【分析】利用最简分式的定义：分式的分子分母中除了1以外再没有其他公因式，判断即可．
【解答】解：①原式＝＝，不符合题意；
②原式为最简分式，符合题意；
③原式为最简分式，符合题意；
④原式＝＝，不符合题意，
则最简分式为②③．
故答案为：②③．
【点评】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
11．（3分）已知△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别为三边中点，则△DEF的周长为 9 ．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，
∴DE＝AC＝3.5，
同理，DF＝BC＝3，EF＝AB＝2.5，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（3分）已知△ABC的顶点A的坐标为（1，2），经过平移后的对应点A′的坐标为（﹣1，3），则顶点B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为 （﹣4，2） ．
【分析】根据点A与A1的坐标得出平移变换的规律，再根据此规律解答即可．
【解答】解：∵点A（1，2）的对应点A′的坐标为（﹣1，3），
∴平移变换规律为向左平移2个单位，向上平移1个单位，
∴B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为（﹣4，2）．
故答案为（﹣4，2）．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 2 ．
【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP＝∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE＝PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP＝∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝PC＝2，
则PD＝PE＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
14．（3分）关于x的不等式﹣1＞a的解集为x＞﹣2，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】求得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：解不等式﹣1＞a得x＞2a+2，
∵关于x的不等式﹣1＞a的解集为x＞﹣2，
∴2a+2＝﹣2，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了不等式的解集，由不等式的解集得出关于a的方程是解题关键．
15．（3分）某种商品的进价为800元，标价为1200元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至少可以打 八 折．
【分析】设打了x折，根据利润率＝%，代入数据，列不等式求解．
【解答】解：设打了x折，由题意得
%．
解得x≥8，
∴x的最小整数为8，
答：至少可以打八折．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
16．（3分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得
2﹣x﹣m＝2（x﹣3）
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题（共53分）
17．（9分）分解因式
（1）4a﹣2ab；
（2）0.25x2﹣9y2；
（3）m（m﹣n）﹣3（n﹣m）．
【分析】（1）提公因式法进行因式分解．
（2）逆用平方差公式进行因式分解．
（3）先变形，再运用提公因式法进行因式分解．
【解答】解：（1）4a﹣2ab＝2a（2﹣b）．
（2）0.25x2﹣9y2＝．
（3）m（m﹣n）﹣3（n﹣m）
＝m（m﹣n）+3（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+3）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
18．（12分）解不等式（组）
（1）2x+3≥3（x+2）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）利用不等式的性质求解；
（2）利用不等式的性质求解；
（3）先解每一个不等式，再求它们得公共部分，
（4）先解每一个不等式，再求它们得公共部分，
【解答】解：（1）去括号得：2x+3≥3x+6，
移项得：2x﹣3x≥6﹣3，
合并同类项得：﹣x≥3，
系数化1得：x≤﹣3；
（2）去分母得：3（x﹣1）＜2（2x+3），
去括号得：3x﹣3＜4x+6，
移项得：3x﹣4x＜6+3，
合并同类项得：﹣x＜9，
系数化1得：x＞﹣9；
（3）解第一个不等式得：x＞0.5，
解第二个不等式得：x＜3，
所以不等组得解集为：0.5＜x＜3；
（4）解第一个不等式得：x＞﹣4，
解第二个不等式得：x≥﹣1，
所以不等组得解集为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，求公共部分是解题的关键．
19．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△BC沿y轴方向向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，则点C1坐标为 （3，0） ；
（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2：
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，则点C1坐标为（3，0）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）计算
（1）+；
（2）﹣．
【分析】（1）根据同分母加法运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
＝．
（2）原式＝﹣
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
21．（5分）先化简再求值：（1﹣），其中x＝1+．
【分析】先化简，再代入求解．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝1+时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的运算，分解因式是分式运算的关键．
22．（5分）解分式方程：＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）（x﹣2），
得：3（x﹣3）＝2（x﹣2）
化简，得x﹣5＝0
解得：x＝5
检验：当x＝5时，（x﹣3）（x﹣2）＝2×3＝6≠0，
∴x＝5是分式方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是把分式方程转化为整式方程求解及解分式方程一定要注意验根．
23．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
【分析】由AB＝AC，AD是角平分线，即可利用（SAS）证出△ABD≌△ACD，同理可得出△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD．
【解答】解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD．
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等的边角关系利用全等三角形的判定定理证出是两三角形全等是关键．
24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．求证：CF＝CD．
【分析】由平行四边形对边平行且相等得AB∥CD，AB＝CD，再证△ABE≌△FCE（ASA），得AB＝CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠FCE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
四、解答与应用（共19分）
25．（4分）有两个熟练工人甲和乙，他们每小时分别制作零件a件，b件，现要赶制一批零件，若甲单独完成任务需要m小时，如果甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前多长时间？
【分析】设甲单独完成任务时间是m小时，表示出两人合作完成任务的时间，即可确定出甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前的时间．
【解答】解：甲单独完成任务的时间是m小时，甲乙两人合作完成任务的时间是小时，
则提前完成任务的时间是m﹣＝＝（小时），
则甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前小时．
【点评】此题考查了分式的加减法，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（5分）光明中学团委组织七年级和八年级共60名学生参加环保活动，七年级学生平均收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均收集20个废弃塑料瓶，为了保证所有收集塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少八年级学生参加活动？
【分析】设至少需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式求出其解即可．
【解答】解：设需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由题意，得
20x+15（60﹣x）≥1000，
解得：x≥20．
∴至少需要20个八年级学生参加活动．
【点评】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式是关键．
27．（5分）某文具店第一次用400元购进胶皮笔记本若干个，第二次又用400元购进该种型号的笔记本，但这次每个的进价是第一次进价的1.25倍，购进数量比第一次少了20个，求第一次每个笔记本的进价是多少？
【分析】设第一次每个笔记本的进价是x元，则第二次每个笔记本的进价是1.25x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二次购进数量比第一次少了20个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一次每个笔记本的进价是x元，则第二次每个笔记本的进价是1.25x元，
依题意得：﹣＝20，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：第一次每个笔记本的进价是4元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
28．（5分）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2﹣1有 最小 值（填“最大”或“最小”）这个值是 ﹣1 ．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5＝n2+4n+4+1＝（n+2）2+1
∴当n＝﹣2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x﹣1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值及此时x，y的值
【分析】根据非负数的性质即可得出答案；先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．
【解答】解：应用：
代数式m2﹣1有最小值，这个值是﹣1，此时m＝0；
故答案为：最小，﹣1；
探究：
∵4x2+12x﹣1＝（2x+3）2﹣10，
∴当2x+3＝0，即x＝﹣时，代数式4x2+12x﹣1的最小值为﹣10；
拓展：
∵x2﹣4xy+5y2﹣12y+15
＝x2﹣4xy+4y2+y2﹣12y+15
＝（x﹣2y）2+（y﹣6）2﹣21，
∴当x﹣2y＝0，y﹣6＝0时，即x＝12，y＝6，多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值是﹣21．
【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答.
2021-2022学年宁夏银川市灵武二中八年级（下）期末数学试卷
（附答案与详细解析）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）平行四边形的周长为24cm，相邻两边的差为2cm，则平行四边形的各边长为（ ）
A．4cm，8cm，4 cm，8cm
B．5cm，7cm，5 cm，7cm
C．5.5cm，6.5cm，5.5cm，6.5cm
D．3 cm，9cm，3 cm，9cm
3．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
4．（3分）若分式的值不为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不确定
5．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
8．（3分）如图，已知直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＜﹣1
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2m3﹣8m＝ ．
10．（3分）下列分式：
①；
②；
③；
④中，
最简分式是 ．
11．（3分）已知△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别为三边中点，则△DEF的周长为 ．
12．（3分）已知△ABC的顶点A的坐标为（1，2），经过平移后的对应点A′的坐标为（﹣1，3），则顶点B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为 ．
13．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 ．
14．（3分）关于x的不等式﹣1＞a的解集为x＞﹣2，则a的值为 ．
15．（3分）某种商品的进价为800元，标价为1200元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至少可以打 折．
16．（3分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ．
三、解答题（共53分）
17．（9分）分解因式
（1）4a﹣2ab；
（2）0.25x2﹣9y2；
（3）m（m﹣n）﹣3（n﹣m）．
18．（12分）解不等式（组）
（1）2x+3≥3（x+2）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△BC沿y轴方向向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，则点C1坐标为 ；
（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2：
20．（8分）计算
（1）+；
（2）﹣．
21．（5分）先化简再求值：（1﹣），其中x＝1+．
22．（5分）解分式方程：＝．
23．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．求证：CF＝CD．
四、解答与应用（共19分）
25．（4分）有两个熟练工人甲和乙，他们每小时分别制作零件a件，b件，现要赶制一批零件，若甲单独完成任务需要m小时，如果甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前多长时间？
26．（5分）光明中学团委组织七年级和八年级共60名学生参加环保活动，七年级学生平均收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均收集20个废弃塑料瓶，为了保证所有收集塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少八年级学生参加活动？
27．（5分）某文具店第一次用400元购进胶皮笔记本若干个，第二次又用400元购进该种型号的笔记本，但这次每个的进价是第一次进价的1.25倍，购进数量比第一次少了20个，求第一次每个笔记本的进价是多少？
28．（5分）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2﹣1有 值（填“最大”或“最小”）这个值是 ．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5＝n2+4n+4+1＝（n+2）2+1
∴当n＝﹣2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x﹣1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值及此时x，y的值
2021-2022学年宁夏银川市灵武二中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的概念是解题关键．
2．（3分）平行四边形的周长为24cm，相邻两边的差为2cm，则平行四边形的各边长为（ ）
A．4cm，8cm，4 cm，8cm
B．5cm，7cm，5 cm，7cm
C．5.5cm，6.5cm，5.5cm，6.5cm
D．3 cm，9cm，3 cm，9cm
【分析】利用平行四边形两组邻边相等，再利用周长及两边的关系建立方程组即可求解．
【解答】解：设相邻两边分别为xcm，ycm（x＞y），
由题意可得：，
解得：，
则平行四边形的各边长为5cm，7cm，5cm，7cm，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对边相等是解题的关键．
3．（3分）下列分解因式正确的是（ ）
A．a2﹣9＝（a﹣3）2 B．﹣4a+a2＝﹣a（4+a）
C．a2+6a+9＝（a+3）2 D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1
【分析】原式各式分解因式后，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（a+3）（a﹣3），错误；
B、原式＝﹣a（4﹣a），错误；
C、原式＝（a+3）2，正确；
D、原式＝（a﹣1）2，错误，
故选：C．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（3分）若分式的值不为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．不确定
【分析】当分式的值不为零时：分子不等于零，分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0且x+1≠0，
解得x≠2且x≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零．
5．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
【分析】根据旋转的性质得知∠A＝∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．
7．（3分）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝7，
解得：n＝9．
所以这个多边形的边数是9，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
8．（3分）如图，已知直线y1＝x+a与y2＝kx+b相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+a＞kx+b的解集正确的是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＜﹣1
【分析】根据观察图象，找出直线y1＝x+a在直线y2＝kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x＞﹣1时，x+a＞kx+b，
所以不等式x+a＞kx+b的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：2m3﹣8m＝ 2m（m+2）（m﹣2） ．
【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：2m3﹣8m＝2m（m2﹣4）
＝2m（m+2）（m﹣2）．
故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（3分）下列分式：
①；
②；
③；
④中，
最简分式是 ②③ ．
【分析】利用最简分式的定义：分式的分子分母中除了1以外再没有其他公因式，判断即可．
【解答】解：①原式＝＝，不符合题意；
②原式为最简分式，符合题意；
③原式为最简分式，符合题意；
④原式＝＝，不符合题意，
则最简分式为②③．
故答案为：②③．
【点评】此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
11．（3分）已知△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别为三边中点，则△DEF的周长为 9 ．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，
∴DE＝AC＝3.5，
同理，DF＝BC＝3，EF＝AB＝2.5，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（3分）已知△ABC的顶点A的坐标为（1，2），经过平移后的对应点A′的坐标为（﹣1，3），则顶点B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为 （﹣4，2） ．
【分析】根据点A与A1的坐标得出平移变换的规律，再根据此规律解答即可．
【解答】解：∵点A（1，2）的对应点A′的坐标为（﹣1，3），
∴平移变换规律为向左平移2个单位，向上平移1个单位，
∴B（﹣2，1）平移后的对应点B′的坐标为（﹣4，2）．
故答案为（﹣4，2）．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．（3分）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 2 ．
【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP＝∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE＝PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP＝∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP＝30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝PC＝2，
则PD＝PE＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
14．（3分）关于x的不等式﹣1＞a的解集为x＞﹣2，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】求得不等式的解集，根据不等式的解集，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：解不等式﹣1＞a得x＞2a+2，
∵关于x的不等式﹣1＞a的解集为x＞﹣2，
∴2a+2＝﹣2，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了不等式的解集，由不等式的解集得出关于a的方程是解题关键．
15．（3分）某种商品的进价为800元，标价为1200元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至少可以打 八 折．
【分析】设打了x折，根据利润率＝%，代入数据，列不等式求解．
【解答】解：设打了x折，由题意得
%．
解得x≥8，
∴x的最小整数为8，
答：至少可以打八折．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
16．（3分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得
2﹣x﹣m＝2（x﹣3）
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题（共53分）
17．（9分）分解因式
（1）4a﹣2ab；
（2）0.25x2﹣9y2；
（3）m（m﹣n）﹣3（n﹣m）．
【分析】（1）提公因式法进行因式分解．
（2）逆用平方差公式进行因式分解．
（3）先变形，再运用提公因式法进行因式分解．
【解答】解：（1）4a﹣2ab＝2a（2﹣b）．
（2）0.25x2﹣9y2＝．
（3）m（m﹣n）﹣3（n﹣m）
＝m（m﹣n）+3（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+3）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
18．（12分）解不等式（组）
（1）2x+3≥3（x+2）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）利用不等式的性质求解；
（2）利用不等式的性质求解；
（3）先解每一个不等式，再求它们得公共部分，
（4）先解每一个不等式，再求它们得公共部分，
【解答】解：（1）去括号得：2x+3≥3x+6，
移项得：2x﹣3x≥6﹣3，
合并同类项得：﹣x≥3，
系数化1得：x≤﹣3；
（2）去分母得：3（x﹣1）＜2（2x+3），
去括号得：3x﹣3＜4x+6，
移项得：3x﹣4x＜6+3，
合并同类项得：﹣x＜9，
系数化1得：x＞﹣9；
（3）解第一个不等式得：x＞0.5，
解第二个不等式得：x＜3，
所以不等组得解集为：0.5＜x＜3；
（4）解第一个不等式得：x＞﹣4，
解第二个不等式得：x≥﹣1，
所以不等组得解集为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，求公共部分是解题的关键．
19．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△BC沿y轴方向向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，则点C1坐标为 （3，0） ；
（2）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2：
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，则点C1坐标为（3，0）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．（8分）计算
（1）+；
（2）﹣．
【分析】（1）根据同分母加法运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
＝．
（2）原式＝﹣
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
21．（5分）先化简再求值：（1﹣），其中x＝1+．
【分析】先化简，再代入求解．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝1+时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的运算，分解因式是分式运算的关键．
22．（5分）解分式方程：＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）（x﹣2），
得：3（x﹣3）＝2（x﹣2）
化简，得x﹣5＝0
解得：x＝5
检验：当x＝5时，（x﹣3）（x﹣2）＝2×3＝6≠0，
∴x＝5是分式方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是把分式方程转化为整式方程求解及解分式方程一定要注意验根．
23．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
【分析】由AB＝AC，AD是角平分线，即可利用（SAS）证出△ABD≌△ACD，同理可得出△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD．
【解答】解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD．
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等的边角关系利用全等三角形的判定定理证出是两三角形全等是关键．
24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．求证：CF＝CD．
【分析】由平行四边形对边平行且相等得AB∥CD，AB＝CD，再证△ABE≌△FCE（ASA），得AB＝CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠FCE，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
四、解答与应用（共19分）
25．（4分）有两个熟练工人甲和乙，他们每小时分别制作零件a件，b件，现要赶制一批零件，若甲单独完成任务需要m小时，如果甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前多长时间？
【分析】设甲单独完成任务时间是m小时，表示出两人合作完成任务的时间，即可确定出甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前的时间．
【解答】解：甲单独完成任务的时间是m小时，甲乙两人合作完成任务的时间是小时，
则提前完成任务的时间是m﹣＝＝（小时），
则甲、乙两人同时工作，那么比甲单独完成任务提前小时．
【点评】此题考查了分式的加减法，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（5分）光明中学团委组织七年级和八年级共60名学生参加环保活动，七年级学生平均收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均收集20个废弃塑料瓶，为了保证所有收集塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少八年级学生参加活动？
【分析】设至少需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式求出其解即可．
【解答】解：设需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由题意，得
20x+15（60﹣x）≥1000，
解得：x≥20．
∴至少需要20个八年级学生参加活动．
【点评】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式是关键．
27．（5分）某文具店第一次用400元购进胶皮笔记本若干个，第二次又用400元购进该种型号的笔记本，但这次每个的进价是第一次进价的1.25倍，购进数量比第一次少了20个，求第一次每个笔记本的进价是多少？
【分析】设第一次每个笔记本的进价是x元，则第二次每个笔记本的进价是1.25x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二次购进数量比第一次少了20个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一次每个笔记本的进价是x元，则第二次每个笔记本的进价是1.25x元，
依题意得：﹣＝20，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
答：第一次每个笔记本的进价是4元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
28．（5分）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2﹣1有 最小 值（填“最大”或“最小”）这个值是 ﹣1 ．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5＝n2+4n+4+1＝（n+2）2+1
∴当n＝﹣2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x﹣1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值及此时x，y的值
【分析】根据非负数的性质即可得出答案；先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案．
【解答】解：应用：
代数式m2﹣1有最小值，这个值是﹣1，此时m＝0；
故答案为：最小，﹣1；
探究：
∵4x2+12x﹣1＝（2x+3）2﹣10，
∴当2x+3＝0，即x＝﹣时，代数式4x2+12x﹣1的最小值为﹣10；
拓展：
∵x2﹣4xy+5y2﹣12y+15
＝x2﹣4xy+4y2+y2﹣12y+15
＝（x﹣2y）2+（y﹣6）2﹣21，
∴当x﹣2y＝0，y﹣6＝0时，即x＝12，y＝6，多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值是﹣21．
【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答.
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