2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--6.3　等比数列（课件）

这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--6.3　等比数列（课件），共36页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，同一个常数，G2ab，a1qn-1，常用结论，典例突破，方法总结等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.等比数列的概念(1)等比数列:一般地,如果一个数列从第　　项起,每一项与它的前一项的比都等于　　　　　　　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　　,公比常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为(2)等比中项:若三个数a,G,b成等比数列,则G叫做a与b的等比中项,且有　　　　. 
微点拨(1)等比数列的任意一项都不能为零,公比不能为零;
(2)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它前一项与后一项的等比中项,即an+1an-1= (n∈N*,n≥2);(3)并非任何两个实数都有等比中项,只有同号的两个实数才有等比中项,且等比中项一定有两个,它们互为相反数.
这是数列是否为等比数列的一个重要前提
2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=　　　　　　　　(n∈N*); 
微点拨在运用等比数列前n项和公式时,必须注意对q=1和q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解答错误.
3.若数列{an}为公比不为1的等比数列,其前n项和Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数数列的前n项和Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{an}必为等比数列.
4.若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则数列{an}必为等比数列.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个.(　　)(2)若数列{an}的通项公式是an=cqn(c,q∈R,c≠0,q≠0),则数列{an}一定是等比数列.(　　)(3)在等比数列{an}中,若aman=apaq,则m+n=p+q.(　　)(4)若等比数列{an}的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.(　　)
2.已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8=　　　　　　. 
3.已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,则实数x的值等于　　　　. 
答案 -4　解析 因为前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不符合题意,所以实数x的值为-4.
典例突破例1.(1)(2021江西南昌高三月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且
A.6B.5C.8D.7(2)(多选)已知Sn是公比为q的各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,若a1+a2=3,a2a4=16,则下列说法正确的是(　　)A.q=2 B.数列{Sn+1}是等比数列C.S6=63D.数列{lg an}是公差为2的等差数列
答案 (1)D　(2)ABC　
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项a1和公比q,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含a1,q,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则运用等比数列前n项和公式时要对q分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
对点训练1(1)已知数列{an}是公比为q的等比数列,若2a1=a3a4,且a5是a4与-6的等差中项,则q的值是(　　)A.-1B.1C.2 D.-1或
(1)证明:数列{bn}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和Tn.
对点训练2(2021广东深圳高三模拟)在①S3=17,②S1+S2=4,③S2=4S1这三个条件中任选一个,补充到下面的横线上,并解答相应问题:在数列{Sn}中,Sn≥0,且Sn+1=3Sn+2.(1)证明:数列{Sn+1}为等比数列.(2)若　　　　　,是否存在等比数列{an},使得其前n项和为Sn?若存在,求出数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由. 
(1)证明 在数列{Sn}中,因为Sn≥0,且Sn+1=3Sn+2,所以Sn+1+1=3(Sn+1),所以数列{Sn+1}是公比为3的等比数列.(2)解 若选择条件①, 不存在.因为S3=17,所以S3+1=18.因为{Sn+1}是公比为3的等比数列,所以(S1+1)·32=18,解得S1=1,于是Sn+1=2×3n-1,Sn=2×3n-1-1.又Sn+1=3Sn+2=6×3n-1-1,两式相减得an+1=4×3n-1.因为a1=1,不符合上式,所以数列{an}不是等比数列,所以不存在满足条件的数列{an}.若选择条件②,不存在.因为{Sn+1}是公比为3的等比数列,所以S2+1=3(S1+1).
因为a1= ,不符合上式,所以数列{an}不是等比数列,所以不存在满足条件的数列{an}.若选择条件③,存在.因为{Sn+1}是公比为3的等比数列,所以S2+1=3(S1+1).又S2=4S1,所以S1=2,所以Sn+1=3n,即Sn=3n-1,所以Sn+1=3×3n-1.两式相减得an+1=2×3n.又因为a1=2,符合上式,所以数列{an}是等比数列,此时an=2×3n-1.
考向1.等比数列的性质典例突破
(2)(2021全国甲,文9)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=(　　)A.7B.8C.9D.10
(2)设等比数列的公比为q,由题意知q≠1.根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.
易错警示在等比数列中,所有的奇数项同号,偶数项也同号,在根据等比数列的性质求某一项的值时,需注意这一点.
对点训练3(1)(2021四川绵阳高三二模)在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1 011=3,那么lg3a1+lg3a2+…+lg3a2 021=(　　)A.4 042B.2 021C.4 036D.2 018(2)(2021山东潍坊高三期中)在等比数列{an}中,an>0,若
A.2B.4C.8D.16
答案 (1)B　(2)A　
解析 (1)因为a1 011=3,所以a1a2…a2 021=(a1 011)2 021=32 021,所以lg3a1+lg3a2+…+lg3a2 021=lg3(a1a2…a2 021)=lg332 021=2 021.故选B.
技巧点拨解决等差数列与等比数列综合问题的技巧(1)解决等差数列与等比数列的公共项问题时,应根据两种数列的通项公式,对公共项用两种形式表示,从而建立基本量之间的关系进行求解.(2)注意等差数列与等比数列之间可以相互转化,对正项等比数列取对数可得到等差数列,以等差数列的项为幂指数的同底数的幂值则构成等比数列.
对点训练4(1)(2021山东高三三模)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2 021是a2 019,a2 020两项的等差中项,则q=(　　)
A.-360B.-380C.360D.380