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福建省福州市平潭第三中学2021—2022学年八年级下学期期末学业检测数学试卷(word版含答案)
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这是一份福建省福州市平潭第三中学2021—2022学年八年级下学期期末学业检测数学试卷(word版含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省福州市平潭第三中学2021—2022学年八年级下学期期末学业检测数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写）
1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．9，12，15
3．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣4＝0 C．（x﹣2）2﹣3＝0 D．3x2+2＝0
4．（4分）甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差S甲2与S乙2的大小关系是（ ）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＞S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
5．（4分）在下列四个选项中，不符合直线y＝3x+2的性质的是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴相交于点（2，0） D．与y轴相交于点（0，2）
6．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25
7．（4分）在四边形ABCD中，AB∥CD，下列条件，不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝AD C．∠A+∠B＝180° D．∠A＝∠C
8．（4分）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
9．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ）
A．四边形ADEF一定是平行四边形
B．若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF是矩形
C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若已知点P（x+1，x），则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C．OP＝1 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD边的中点，连接OM，若OM＝2，则BC的长是 ．
13．（4分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．（4分）如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（﹣3，﹣2），则关于x的不等式mx+n＞kx+b的解集为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ．
三、解答题（本大题共9个大题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
19．（8分）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P，
（1）求出点P的坐标；
（2）求两函数图象与y轴围成的图形面积．
20．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，连接AC．
（1）在边BC上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长度．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中所得的BP的长．
21．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注．某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备情况进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 图①中m的值为
（2）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据样本数据，估计该校学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
23．（10分）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值．
24．（12分）已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
25．（12分）已知：直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P．
（1）求该定点P的坐标；
（2）已知点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．
福建省福州市平潭第三中学2021—2022学年八年级下学期期末学业检测数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写）
1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含开得尽的因数，故B错误；
C、被开方数含开得尽的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式．
2．（4分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．9，12，15
【分析】利用勾股定理逆定理进行计算即可．
【解答】解：A.32+42＝52，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B.42+52≠62，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+122＝132，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D.92+122＝152，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣4＝0 C．（x﹣2）2﹣3＝0 D．3x2+2＝0
【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．
【解答】解：A．x2﹣2x＝0中Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根；
B．x2+4x﹣4＝0中Δ＝42﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，有两个不相等实数根；
C．（x﹣2）2﹣3＝0，即x2﹣4x+1＝0中Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，有两个不相等实数根；
D．3x2+2＝0中Δ＝02﹣4×3×2＝﹣24＜0，没有实数根；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．
4．（4分）甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差S甲2与S乙2的大小关系是（ ）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＞S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
【分析】利用折线统计图可判断甲日平均气温波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
【解答】解：由折线统计图得甲日平均气温波动较大，
∴S甲2＞S乙2，
故选：B．
【点评】本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（4分）在下列四个选项中，不符合直线y＝3x+2的性质的是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴相交于点（2，0） D．与y轴相交于点（0，2）
【分析】根据题目中的直线解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵直线y＝3x+2，k＝3＞0，b＝2＞0，
∴该直线经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意；
y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
与x轴相交于点（﹣，0），故选项C符合题意；
与y轴相交于点（0，2），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣8x＝﹣9，
配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（4分）在四边形ABCD中，AB∥CD，下列条件，不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝AD C．∠A+∠B＝180° D．∠A＝∠C
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB∥CD，BC＝CD，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8．（4分）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
【分析】根据一次函数y＝（k﹣2）x+k图象在坐标平面内的位置关系先确定k的取值范围，从而求解．
【解答】解：由一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象不经过第三象限，
则经过第二、四象限或第一、二、四象限，
只经过第二、四象限，则k＝0．
又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k﹣2＜0，即k＜2．
再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以k＞0．
当k﹣2＝0，即k＝2时，y＝2，这时直线不是一次函数，
故0≤k＜2．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ）
A．四边形ADEF一定是平行四边形
B．若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF是矩形
C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴EF＝AD＝DB＝AB，DE＝AF＝FC＝AC，EF∥AB，DE∥AC
∴四边形ADEF是平行四边形
故A正确，
若∠B+∠C＝90°，则∠A＝90°
∴四边形ADEF是矩形，
故B正确，
若四边形ADEF是菱形，则AD＝AF，
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
故C不一定正确
若四边形ADEF是正方形，则AD＝AF，∠A＝90°
∴AB＝AC，∠A＝90°
∴△ABC是等腰直角三角形
故D正确
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若已知点P（x+1，x），则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C．OP＝1 D．
【分析】根据勾股定理得到OP2＝（x+1）2+x2，再利用配方法求解OP2的最小值，再求解OP的最小值，从而可得答案．
【解答】解：由勾股定理可得：OP2＝（x+1）2+x2＝2x2+2x+1＝2（x+）2+，
当x＝﹣时，OP2有最小值，
∴OP的最小值为，
∴OP不能为，
∴A选项不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是配方法的应用，根据勾股定理列出方程、灵活运用配方法是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD边的中点，连接OM，若OM＝2，则BC的长是 4 ．
【分析】只要证明OM是△DBC的中位线即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵M是CD中点，
∴DM＝MC，
∴BC＝2OM＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（4分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜2即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，且﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠0 ．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵方程mx2+2x﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：m＞﹣1且m≠0．
故答案为：m＞﹣1且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合一元二次方程的定义得出不等式组是关键．
15．（4分）如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（﹣3，﹣2），则关于x的不等式mx+n＞kx+b的解集为 x＜﹣3 ．
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣4时，直线l2：y＝mx+n在直线l1：y＝kx+b的上方，于是得到不等式mx+n＞kx+b的解集．
【解答】解：根据图象可知，不等式mx+n＞kx+b的解集为x＜﹣3．
故答案为x＜﹣3．
【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是考试重点．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ①②③ ．
【分析】过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确；推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个大题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣
＝2﹣﹣3
＝2﹣4；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
【分析】利用已知证明∠ABE为90°即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∵BE平分∠ABC，∠AEB＝45°
∴∠ABE＝∠EBC＝45°
∴∠ABC＝90°
∴四边形ABCD是矩形
【点评】本题考查了矩形的判定，利用了角平分线性质、平行四边形的性质．
19．（8分）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P，
（1）求出点P的坐标；
（2）求两函数图象与y轴围成的图形面积．
【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可求两函数图象交点P的坐标．
（2）求得两直线与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）联立，
解得，
∴P点坐标为（﹣2，﹣5）．
（2）由y＝2x﹣1和y＝x﹣3可知两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3），
∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：×2＝2．
【点评】本题考查了两条直线的交点，求两函数图象的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可；也考查了求三角形面积．
20．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，连接AC．
（1）在边BC上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长度．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中所得的BP的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质，作∠BAC的平分线交BC于P点，则P点满足条件；
（2）如图，过点P作PE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到PB＝PE，利用正方形的性质得到AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠PCE＝45°，所以AC＝4，接着证明Rt△ABP≌Rt△AEP得到AE＝AB＝4，所以CE＝4﹣4，然后利用∠PCE＝45°得到PE＝CE＝4﹣4，从而得到BP的长．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）如图，过点P作PE⊥AC于E，则PB＝PE，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠PCE＝45°，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△ABP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△AEP（HL），
∴AE＝AB＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣4，
在Rt△PCE中，∵∠PCE＝45°，
∴PE＝CE＝4﹣4，
∴PB＝4﹣4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
21．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注．某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备情况进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 图①中m的值为 32
（2）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据样本数据，估计该校学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
【分析】（1）根据家庭中拥有1台移动设备的人数及所占百分比可得查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
（3）将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可．
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：＝50（人），
图①中m的值为×100＝32；
（2）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有＝3，
∴这组数据的中位数是3；
由条形统计图可得＝＝3.2，
∴这组数据的平均数是3.2．
（3）1500×28%＝420（人）．
答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为420人．
故答案为：50，32．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，推出x2＝x2﹣32x+256+64，求出MD，菱形BMDN的面积＝MD•AB，即可得出结果；菱形BMDN的面积＝两条对角线长积的一半，即可求出MN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2，
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
即MD＝5．
菱形BMDN的面积＝MD•AB＝5×4＝20，
∵BD＝＝4，
∵菱形BMDN的面积＝BD•MN＝20，
∴MN＝2×＝2．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
23．（10分）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）由题意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200，
解得：x＝120，或x＝160．
答：某天小张销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、待定系数法确定一次函数的解析式；根据题意列出关于k、b的关系式和列出方程是解答此题的关键．
24．（12分）已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB＝PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；
（2）连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO＝PF，只需求出BO的长即可．
【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，
PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
．
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE．
在△BOP和△PFE中，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝1，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
25．（12分）已知：直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P．
（1）求该定点P的坐标；
（2）已知点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．
【分析】（1）对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P的坐标；
（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围；
（3）根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝2kx﹣4k+3＝2k（x﹣2）+3，
∴y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P的坐标为（2，3），
即点P的坐标为（2，3）；
（2）∵点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），直线l与线段AB相交，直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P（2，3），
∴，
解得，k；
（3）当k＞0时，直线y＝2kx﹣4k+3中，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，﹣4k+3≤y≤3，
∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴，得k＜，
∴0＜k＜；
当k＜0时，直线y＝2kx﹣4k+3中，y随x的增大而减小，
∴当0≤x≤2时，3≤y≤﹣4k+3，
∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴3+3＞﹣4k+3，得k＞﹣，
∴﹣＜k＜0，
由上可得，﹣＜k＜0或0＜k＜．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
福建省福州市平潭第三中学2021—2022学年八年级下学期期末学业检测数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写）
1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．9，12，15
3．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣4＝0 C．（x﹣2）2﹣3＝0 D．3x2+2＝0
4．（4分）甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差S甲2与S乙2的大小关系是（ ）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＞S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
5．（4分）在下列四个选项中，不符合直线y＝3x+2的性质的是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴相交于点（2，0） D．与y轴相交于点（0，2）
6．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25
7．（4分）在四边形ABCD中，AB∥CD，下列条件，不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝AD C．∠A+∠B＝180° D．∠A＝∠C
8．（4分）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
9．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ）
A．四边形ADEF一定是平行四边形
B．若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF是矩形
C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若已知点P（x+1，x），则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C．OP＝1 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD边的中点，连接OM，若OM＝2，则BC的长是 ．
13．（4分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
15．（4分）如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（﹣3，﹣2），则关于x的不等式mx+n＞kx+b的解集为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ．
三、解答题（本大题共9个大题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
19．（8分）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P，
（1）求出点P的坐标；
（2）求两函数图象与y轴围成的图形面积．
20．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，连接AC．
（1）在边BC上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长度．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中所得的BP的长．
21．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注．某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备情况进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 图①中m的值为
（2）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据样本数据，估计该校学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
23．（10分）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值．
24．（12分）已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
25．（12分）已知：直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P．
（1）求该定点P的坐标；
（2）已知点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．
福建省福州市平潭第三中学2021—2022学年八年级下学期期末学业检测数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填写）
1．（4分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含开得尽的因数，故B错误；
C、被开方数含开得尽的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式．
2．（4分）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．9，12，15
【分析】利用勾股定理逆定理进行计算即可．
【解答】解：A.32+42＝52，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B.42+52≠62，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+122＝132，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D.92+122＝152，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣4＝0 C．（x﹣2）2﹣3＝0 D．3x2+2＝0
【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．
【解答】解：A．x2﹣2x＝0中Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根；
B．x2+4x﹣4＝0中Δ＝42﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，有两个不相等实数根；
C．（x﹣2）2﹣3＝0，即x2﹣4x+1＝0中Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，有两个不相等实数根；
D．3x2+2＝0中Δ＝02﹣4×3×2＝﹣24＜0，没有实数根；
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．
4．（4分）甲，乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲，乙两地这10天中日平均气温的方差S甲2与S乙2的大小关系是（ ）
A．S甲2＜S乙2 B．S甲2＞S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
【分析】利用折线统计图可判断甲日平均气温波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
【解答】解：由折线统计图得甲日平均气温波动较大，
∴S甲2＞S乙2，
故选：B．
【点评】本题考查了折线统计图和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（4分）在下列四个选项中，不符合直线y＝3x+2的性质的是（ ）
A．经过第一、二、三象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴相交于点（2，0） D．与y轴相交于点（0，2）
【分析】根据题目中的直线解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵直线y＝3x+2，k＝3＞0，b＝2＞0，
∴该直线经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意；
y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
与x轴相交于点（﹣，0），故选项C符合题意；
与y轴相交于点（0，2），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．（4分）用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣4）2＝﹣7 C．（x﹣4）2＝25 D．（x﹣4）2＝﹣25
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣8x＝﹣9，
配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．（4分）在四边形ABCD中，AB∥CD，下列条件，不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝AD C．∠A+∠B＝180° D．∠A＝∠C
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB∥CD，BC＝CD，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
8．（4分）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≠2 B．k＞2 C．0＜k＜2 D．0≤k＜2
【分析】根据一次函数y＝（k﹣2）x+k图象在坐标平面内的位置关系先确定k的取值范围，从而求解．
【解答】解：由一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象不经过第三象限，
则经过第二、四象限或第一、二、四象限，
只经过第二、四象限，则k＝0．
又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k﹣2＜0，即k＜2．
再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以k＞0．
当k﹣2＝0，即k＝2时，y＝2，这时直线不是一次函数，
故0≤k＜2．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ）
A．四边形ADEF一定是平行四边形
B．若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF是矩形
C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴EF＝AD＝DB＝AB，DE＝AF＝FC＝AC，EF∥AB，DE∥AC
∴四边形ADEF是平行四边形
故A正确，
若∠B+∠C＝90°，则∠A＝90°
∴四边形ADEF是矩形，
故B正确，
若四边形ADEF是菱形，则AD＝AF，
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
故C不一定正确
若四边形ADEF是正方形，则AD＝AF，∠A＝90°
∴AB＝AC，∠A＝90°
∴△ABC是等腰直角三角形
故D正确
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若已知点P（x+1，x），则下列结论一定不成立的是（ ）
A． B． C．OP＝1 D．
【分析】根据勾股定理得到OP2＝（x+1）2+x2，再利用配方法求解OP2的最小值，再求解OP的最小值，从而可得答案．
【解答】解：由勾股定理可得：OP2＝（x+1）2+x2＝2x2+2x+1＝2（x+）2+，
当x＝﹣时，OP2有最小值，
∴OP的最小值为，
∴OP不能为，
∴A选项不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是配方法的应用，根据勾股定理列出方程、灵活运用配方法是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）
11．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD边的中点，连接OM，若OM＝2，则BC的长是 4 ．
【分析】只要证明OM是△DBC的中位线即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵M是CD中点，
∴DM＝MC，
∴BC＝2OM＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（4分）点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】由k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜2即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点（﹣1，y1）、（2，y2）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，且﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠0 ．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵方程mx2+2x﹣1＝0（m为常数）有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：m＞﹣1且m≠0．
故答案为：m＞﹣1且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合一元二次方程的定义得出不等式组是关键．
15．（4分）如图，已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（﹣3，﹣2），则关于x的不等式mx+n＞kx+b的解集为 x＜﹣3 ．
【分析】观察函数图象得到当x＜﹣4时，直线l2：y＝mx+n在直线l1：y＝kx+b的上方，于是得到不等式mx+n＞kx+b的解集．
【解答】解：根据图象可知，不等式mx+n＞kx+b的解集为x＜﹣3．
故答案为x＜﹣3．
【点评】此题主要考查了一次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是考试重点．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ①②③ ．
【分析】过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确；推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个大题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）；
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣
＝2﹣﹣3
＝2﹣4；
（2）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
【分析】利用已知证明∠ABE为90°即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∵BE平分∠ABC，∠AEB＝45°
∴∠ABE＝∠EBC＝45°
∴∠ABC＝90°
∴四边形ABCD是矩形
【点评】本题考查了矩形的判定，利用了角平分线性质、平行四边形的性质．
19．（8分）如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图象交于点P，
（1）求出点P的坐标；
（2）求两函数图象与y轴围成的图形面积．
【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可求两函数图象交点P的坐标．
（2）求得两直线与y轴的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）联立，
解得，
∴P点坐标为（﹣2，﹣5）．
（2）由y＝2x﹣1和y＝x﹣3可知两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3），
∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：×2＝2．
【点评】本题考查了两条直线的交点，求两函数图象的交点坐标，联立两函数解析式，解方程组即可；也考查了求三角形面积．
20．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，连接AC．
（1）在边BC上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长度．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中所得的BP的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质，作∠BAC的平分线交BC于P点，则P点满足条件；
（2）如图，过点P作PE⊥AC于E，根据角平分线的性质得到PB＝PE，利用正方形的性质得到AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠PCE＝45°，所以AC＝4，接着证明Rt△ABP≌Rt△AEP得到AE＝AB＝4，所以CE＝4﹣4，然后利用∠PCE＝45°得到PE＝CE＝4﹣4，从而得到BP的长．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）如图，过点P作PE⊥AC于E，则PB＝PE，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠PCE＝45°，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△ABP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△AEP（HL），
∴AE＝AB＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣4，
在Rt△PCE中，∵∠PCE＝45°，
∴PE＝CE＝4﹣4，
∴PB＝4﹣4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
21．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注．某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备情况进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 图①中m的值为 32
（2）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据样本数据，估计该校学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．
【分析】（1）根据家庭中拥有1台移动设备的人数及所占百分比可得查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
（3）将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可．
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：＝50（人），
图①中m的值为×100＝32；
（2）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有＝3，
∴这组数据的中位数是3；
由条形统计图可得＝＝3.2，
∴这组数据的平均数是3.2．
（3）1500×28%＝420（人）．
答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为420人．
故答案为：50，32．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，推出x2＝x2﹣32x+256+64，求出MD，菱形BMDN的面积＝MD•AB，即可得出结果；菱形BMDN的面积＝两条对角线长积的一半，即可求出MN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2，
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
即MD＝5．
菱形BMDN的面积＝MD•AB＝5×4＝20，
∵BD＝＝4，
∵菱形BMDN的面积＝BD•MN＝20，
∴MN＝2×＝2．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
23．（10分）电商时代使得网购更加便捷和普及．小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店．他购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）由题意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200，
解得：x＝120，或x＝160．
答：某天小张销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、待定系数法确定一次函数的解析式；根据题意列出关于k、b的关系式和列出方程是解答此题的关键．
24．（12分）已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB＝PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；
（2）连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO＝PF，只需求出BO的长即可．
【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，
PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
．
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE．
在△BOP和△PFE中，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝1，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
25．（12分）已知：直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P．
（1）求该定点P的坐标；
（2）已知点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．
【分析】（1）对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P的坐标；
（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围；
（3）根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝2kx﹣4k+3＝2k（x﹣2）+3，
∴y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P的坐标为（2，3），
即点P的坐标为（2，3）；
（2）∵点A、B坐标分别为（0，1）、（2，1），直线l与线段AB相交，直线l：y＝2kx﹣4k+3（k≠0）恒过某一定点P（2，3），
∴，
解得，k；
（3）当k＞0时，直线y＝2kx﹣4k+3中，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，﹣4k+3≤y≤3，
∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴，得k＜，
∴0＜k＜；
当k＜0时，直线y＝2kx﹣4k+3中，y随x的增大而减小，
∴当0≤x≤2时，3≤y≤﹣4k+3，
∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴3+3＞﹣4k+3，得k＞﹣，
∴﹣＜k＜0，
由上可得，﹣＜k＜0或0＜k＜．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
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