2022广州华南师范大学附中高一下学期期末数学试题含答案

华南师大附中2021-2022学年度第二学期期末考试

高一数学

本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间120分钟

注意事项：1. 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

          2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

          3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题：共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意

1．复数（其中i为虚数单位），则（       ）

A． B．2 C． D．5

2．设全集，，则为（       ）

A． B． C． D．

3．某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生

A．1260 B．1230 C．1200 D．1140

4．在空间中，下列说法正确的是（       ）

A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直

C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行

5．有位男生和位女生在周日去参加社区志愿活动，从该位同学中任取人，至少有名女生的概率为（       ）

A． B． C． D．

6．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（       ）

A． B． C． D．

7．若正实数满足，则的（       ）

A．最大值为9 B．最小值为9

C．最大值为8 D．最小值为8

8．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（       ）

A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

二、多选题：每题有两个或者两个以上正确答案，每题3分，少选得1分，共12分

9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2， 6 ，8 ，3 ，3 ，4 ，6， 8 ，关于该组数据，下列说法正确的是（      ）

A.中位数为3            B.众数为3，6 ，8          C.平均数为5          D.方差为4.75

10．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为

A．直线与是相交直线； B．直线与是平行直线；

C．直线与是异面直线： D．直线与所成的角为.

11．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（       ）

A．事件发生的概率为

B．事件发生的概率为

C．事件发生的概率为

D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为

12．定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（       ）

A．对任意的，有

B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立

C．若与垂直，则与共线

D．若与共线，则与的模相等

三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分。

13．已知，，向量，的夹角为，则______.

14．已知复数，(其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于________．

15．在△ABC中，已知，最大边与最小边的比为，则该三角形中最大角的正切值是__________．

16．在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．

四、解答题：本大题共6小题，满分52分。

17．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求B；

（2）设，，求c.

18．某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)求的值；

(2)用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在，乙同学的成绩在，求甲乙至少一人被抽到的概率．

19．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)求三棱柱的表面积

20．已知，，与的夹角为，函数．

(1)求函数最小正周期和对称中心；

(2)若锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．

21．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；

(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.

22．定义在Ｄ上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界.

已知函数，.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；

（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.

参考答案：

1．A

，根据复数的模代入计算．

【详解】∵，则

故选：A．

2．A

根据全集求出的补集即可.

【详解】，，.

故选：A.

3．D

由分层抽样方法列方程求解即可．

【详解】设女生总人数为：人，由分层抽样的方法可得：

抽取女生人数为：人，

所以，解得：

故选D

【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．

4．D

根据空间中线、面的位置关系理解判断A、B、C，根据线面垂直的性质判断D．

【详解】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；

平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；

根据线面垂直的性质可知：D正确；

故选：D．

5．D

将位男生分别记为、、，位女生分别记为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】将位男生分别记为、、，位女生分别记为、，

从这位同学中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，

其中，事件“从这位同学中任取人，至少有名女生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种，

因此，所求概率为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：

（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列、组合数的应用.

6．A

根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可

【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，

所以

,

故选：A

7．B

8．C

由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果

【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍

9．BCD

解析：将得分按从小到大顺序排序，排在中间位置的为4和6，故中位数为5，所以A错误；其他依次类推，根据定义即可求解。

10．CD

【解析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.

【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,

综上正确的结论为C D.

【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.

11．BC

根据题意，分别列举出事件和事件所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.

【详解】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；

“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；

“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；

即事件是事件的子事件；

因此事件发生的概率为，故A错；

事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；

事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；

从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.

故选：BC.

【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型.

12．AD

由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组

，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D.

【详解】设向量，，对于A，对任意的，有

，故A正确；

对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组

，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确；

对于C，若与垂直，则，设，则，

，其中，故C不正确；

对于D，若与共线，则，设，

，

，所以与的模相等，故D正确.

故选：AD.

【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.

13．1

【详解】.

14．；

【详解】为实数，则.

15．

解析：不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有，即，

整理得，

16．         

注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.

【详解】过点C作，垂足为E，

为等腰梯形，

，

由余弦定理得，即

易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，

此时，平面

易知，

记O为外接球球心，半径为R

平面，

O到平面的距离

又的外接圆半径

故答案为：，

17．（1）；（2）.

（1）由题设，根据正弦定理得，结合三角形内角的性质得，即可求B；

（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c.

【详解】（1）由正弦定理得：，而，

∴，又，，

∴，又，即.

（2）由余弦定理，即，

∴，解得.

18．(1)

(2)

（1）利用频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1即可求出的值；

（2）设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，求出相应的概率，然后可以根据对立事件求解．

(1)

解：由题意可得，

解得；

(2)

解：因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为．

其中分数段有人，分数段有人，

所以在分数段中抽取人，分数段抽取人，

设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，

则，，

则甲乙至少一人被抽到的概率为．

19．(1)证明见解析

(2)

（1）连接交于点，连接，可证得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，

（2）由已知条件可得三个侧面是矩形，两个底面为直角三角形，然后根据已知的数据可求得答案

(1)

证明：连接交于点，连接，

因为四边形为矩形，

所以为的中点，

因为，D为AC的中点，所以∥，

因为平面，平面，

所以平面；

(2)

因为侧棱底面ABC，

所以三棱柱为直三棱柱，

所以侧面均为矩形，

因为，所以底面均为直角三角形，

因为，，所以,

所以三棱柱的表面积为

20．(1)最小正周期为；对称中心为

(2)

（1）根据数量积的坐标表示及两角和的正弦公式得到，再根据计算得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）由（1）及求出，再由正弦定理将边化角及三角恒等变换公式化简得到，最后根据三角形为锐角三角形求出的范围，从而求出的范围，即可得解；

(1)

解：由条件可知：，

，

∴，

∴的最小正周期为，

令，，解得，，

∴的对称中心为；

(2)

解：由正弦定理得，由（1），而，得，

∴，，解得，，又，可得，

∵，∴，

代入上式化简得：，

又在锐角中，有，∴，

∴，则有，

∴

21．(1)证明见解析；

(2)；

(3).

（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可求解；

（2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用线面角的定义及勾股定理，结合锐角三角函数的定义即可求解；

（3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，再利用面面角的定义及勾股定理，结合等面积法及锐角三角函数的定义即可求解；

(1)

因为 所以为等边三角形，

因为为的中点,所以.

取的中点，连接，，则，

因为平面平面平面平面平面，

所以平面，又平面，所以

因为平面所以平面

因为平面所以

又因为平面，所以平面.

(2)

过点作，垂足为.如图所示

由（1）知，平面.

因为平面，所以，所以平面，

所以为与平面所成角.

由（1）知，平面平面，所以.

在中，，,

因为为的中点，所以.

在中，，

在中，，

在中，，

所以.

所以与平面所成角的正弦值为.

(3)

取的中点为，连接，因为为线段的中点，

所以,

由（1）知，平面，所以平面，平面.

所以.

过点作,垂足为，连接,,平面,

所以平面.平面.所以，

所以为二面角的平面角.

在中，，

由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，

所以

由（1）知，平面.平面.所以,

在中，,由（2）知，

即，解得.

因为平面.平面.所以.

在中，.

.

所以二面角的平面角的余弦值为.

22．（1）值域为，不是有界函数，理由见解析；（2）；（3）当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.

（1）当时，确定在给定区间上的单调性即可求得其值域，再由给出的定义判断得解；

（2）在给定条件下可得，去绝对值符号，分离参数，再构造函数，利用导数求出函数的最值即可得解；

（3）根据给定条件求出在上的最大值与最小值，再分段比较的最大值绝对值与最小值绝对值大小即可得的值域.

【详解】（1）当时，，显然在上递减，即有，

于是得在上的值域为，显然不存在常数，使成立，

所以函数在上不是有界函数；

（2）依题意，在上恒成立，而，

于是得在上恒成立，

当x≥0时，令，，则，因此，在上递减，

当时，，即当时，取最大值-5，

令，显然在上递增，当时，，即当时，取最小值1，

从而有，

所以实数a的取值范围为；

（3）依题意，，，而，则在上递减，

于是得，即，

①当时，恒有，此时，，

解，当时，，而成立，则，

当时，，解得，

当时，，而不成立，此时无解，

综上得当时，，即当时，，

②当，恒有，此时，，

解得，即当时，，

所以，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.