2021年江苏省高三年级百校大联考-数学（word版含解析）

2021年江苏省高三年级百校大联考

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 若复数R为纯虚数，则z的共轭复数是

A.  B.  C. i D. 2i

3. 设函数则

A.  B. 2 C. 4 D. 8

4. 《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为立方寸，若取，则圆柱的母线长约为

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸

5. 已知函数，现有如下四个命题：

甲：该函数的最大值为；

乙：该函数图象可以由的图象平移得到；

丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；

丁：该函数图象的一个对称中心为

如果只有一个假命题，那么该命题是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. “”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知双曲线C的左、右焦点分别是为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则C的离心率为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8. 已知角与角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称．若，则

A.  B.  C.  D.

9. 已知，且，则

A.  B.  C.  D.

10. 已知两点，，曲线C上存在点P满足，则曲线C的方程可以是

A.  B.  C.  D.

11. 设和分别为数列和的前n项和．已知，，则

A. 是等比数列 B. 是递增数列
C.  D.

12. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿直线AC翻折，形成三棱锥

下列说法正确的是

A. 在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值
B. 在翻折过程中，存在某个位置，使得
C. 当平面平面ABC时，
D. 当平面平面ABC时，三棱锥的体积为

13. 已知向量，满足，，，则__________.
14. 写出一个能说明“若函数的导函数是周期函数，则也是周期函数”为假命题的函数：__________.
15. 已知AB是过抛物线焦点F 的弦，P为该抛物线准线上的动点，则的最小值为__________.
16. 函数的最小值为__________；若存在，使得，则a的取值范围为__________.
17. 已知数列满足，，N，，且是，的等比中项．

求的值；

求数列的前n项和






 

18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且__________.

求角C的大小；

若，，求的面积．






 

19. 一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线．选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为，其中a，b是常数．

当时，判断的奇偶性；

当a，时，若的最小值为，求的最小值．






 

20. 如图，三棱柱的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，，，平面底面

证明：平面平面；

求二面角的余弦值．






 

21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AE与BE的斜率之积为，记E的轨迹为曲线

求C的方程，并说明C是什么曲线；

过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为证明：存在定点N，使得为定值．






 

22. 已知函数，R.

讨论的单调性；

若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查交集的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.
先求出集合A，再利用交集定义能求出

【解答】

解：集合， ，
 

故答案选：

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了纯虚数、共轭复数的概念，属于基础题．
先利用纯虚数的定义求出m的值，求出复数z，再利用共轭复数概念即可求解．

【解答】

解：复数为纯虚数，
且，
，
，
复数z的共轭复数为
故答案选：

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了分段函数求值，属于基础题.
根据题意可得，代入即可求得结果.

【解答】

解：因为，
所以
故答案选：

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆柱的体积，考查简单组合体及其结构特征，属于中档题.
由题意得求出长方体的体积和圆柱的体积，设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为寸，通过体积公式，即可求出

【解答】

解：由题意得，长方体的体积为立方寸，
故圆柱的体积为立方寸
设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为寸，得，计算得寸
故答案选：

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是图像与性质以及命题真假的判断，属于基础题.
分别将甲、乙、丙、丁一一判断即可.

【解答】

解：由命题甲知
根据命题乙，由，可知，
由命题丙知，则，那么命题乙和命题丙矛盾.
若假命题是乙，则，由命题丁知，，符合题意;
若假命题是丙，则，由命题丁知，，，不满足条件
故假命题是乙.
故答案选：

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，涉及三角函数的性质，以及利用导数判断函数的单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
当时，设函数，对函数求导，结合函数的单调性，求出对应的取值范围，可判断必要性是否成立；举出特例判断充分性是否成立.

【解答】

解：当时，设函数，
，
在上单调递增，所以，
又，
成立，满足必要性；
当时，不一定成立，
如，但，不满足充分性，
故“”是“”的必要不充分条件.
故答案选：

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
由题意知过的直线与C的右支交于A，B两点，可设，则，，由双曲线的定义及余弦定理，求出a和c，即可求出双曲线的离心率.

【解答】

解：由题意得：过的直线与C的右支交于A，B两点，
可设，则，，
由双曲线的定义得，
所以
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得，解得，所以
所以C的离心率为
故答案选：

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数之间的关系，两角和与差的余弦公式，属于基础题．
由题意得与、与的关系，利用条件求出的值，再利用两角差的余弦公式，化简所求即可求解．

【解答】

解：因为，则，
又与关于y轴对称，
则，或，
所以
同理，
故
故答案选：

9.【答案】BD
 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，属于基础题.
利用题目条件，对照选项逐个判断即可.

【解答】

对于选项A，由题意，易知，，取，，可知不成立，故A错误；
对于选项B，由题意，易知，，从而，
故，B正确；
对于选项C，取，可知不成立，故C错误；
对于选项D，由于x，y 异号，从而均小于0，
故，
当且仅当时取等号，而由于，从而等号取不到，即，故D正确.
故答案选：

10.【答案】BC
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两条直线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标，考查直线垂直的判定，属于中档题.
利用直线与圆锥曲线的位置关系，联立直线与曲线的方程，根据解的情况逐一判断即可.

【解答】

解：由，得知点P在AB的垂直平分线l上，
因为线段AB的中点坐标为，，且AB与直线l垂直，且过AB中点，
所以l的方程为，所以与l平行，可知两直线无交点，故A不正确；
联立方程组，消y，可得，，可知两直线有交点，故B正确；
将直线l的方程代入双曲线，得，，所以l与双曲线相交，故C正确；
联立方程组将直线l的方程代入，得，，方程无实数解，故D不正确.
故答案选：

11.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是等比数列的判定和性质以及错位相减法的应用，属于中档题.
利用为等比数列，判定A正确；与0比较，得出数列单调性判断B错误.根据，进一步判定D正确.

【解答】

解：因为，所以当时，，
即，即，
又，所以，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故A正确；
因为，
所以，是递减数列，故B错误；
因为，所以，故C正确；
①，②，
①-②得，
所以，
所以，所以，故D正确.
故答案选：

12.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了简单多面体及其结构特征，线面垂直的判定，棱柱，棱锥，棱台的侧面积，表面积和体积，球的表面积和体积的应用，属于较难题.
利用三棱锥的侧面的特征和侧棱的长度，可判断外接球球心的位置，可判断出A选项；利用反证法，假设，通过线面垂直的判定和性质可得到，得到，与条件矛盾，可判断出B选项；根据条件分别过D作AC的垂线DE，过B作AC的垂线BF，再结合条件分别在几个直角三角形依次求出DE，AE，BF，EF和BE，最后在直角三角形BED中，求出BD的长度，即可判断C选项；利用条件结合面面垂直的性质，可得到平面DBC，即AB为三棱锥在平面DBC上的高，在直角三角形ABD中可求出BD的长度，结合条件中的，，可得到，故可求得三棱锥的体积为，即可判断D选项.

【解答】

解：设O为AC的中点，则，
所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为定值，故A正确；
若在翻折过程中，存在某个位置，使得，又，则平面ABD，
所以，从而斜边CD的长大于直角边BC，这与，矛盾，故B错误；
当平面平面ABC时，过D作AC的垂线DE，垂足为E，
则平面ABC，，，
在平面ABC上，过B作AC的垂线BF，垂足为F，
则平面DAC，，，
则，
在直角三角形BED中，，故C正确；
当平面平面ABC时，平面平面，
又，平面ABC，
所以平面DBC，计算得，
因为，，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为，故D正确.
故答案选：

13.【答案】5
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模，向量数量积的运算，属于基础题．

根据向量的数量积的性质求解即可.

【解答】

解：因为，，，

，

所以，

则
故答案为：

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数求导以及周期性，属于基础题.
按题目要求举出反例即可.

【解答】

解：，则是周期函数，而不是周期函数.
符合题意.

15.【答案】0
 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系和圆锥曲线中的最值问题，属于中档题.
根据条件，直线AB的方程可设为，与抛物线联立，设，得出和，由韦达定理和向量的数量积可得的最小值.

【解答】

解：因为抛物线的焦点为，
所以直线AB的方程可设为，
代入抛物线方程得
设，，
则，
因为P为该抛物线准线上的动点，可设，
则，
，
所以



即的最小值为

16.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查利用导数求函数最值，考查不等式的恒成立问题，关键是利用导数判断函数的单调性，进而将问题转化为求函数的最值问题.
因为为偶函数，所以的最小值就是在上的最小值，由单调性求得最小值即可；
由可知，代入等价于，即，利用导数判断单调性，再对a的取值进行讨论，得出结论.

【解答】

解：因为为偶函数，所以的最小值就是在上的最小值，
，，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
所以的最小值为
等价于，
即
令，
则，，
当时，，
设，，
令，则，
注意到， ，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
，不合题意.
当时，设，，
所以在上单调递增，所以，
所以存在，使得，当时，，
所以在上单调递减，于是有，
即存在，使得，
即
综上所述，a的取值范围为

17.【答案】解：由，可得，，，，
所以，，，
因为是，的等比中项，所以，
即，则，
又，所以
由知
当n为偶数时，

当n为奇数时，

综上所述，，
 

【解析】本题考查了等比中项，等差数列的前n项和，以及并项法求数列前n项和，属于中档题.
由，，成等比数列，求得；
由得到，对n进行奇数，偶数分类讨论，利用并项法即可得到结果.
 

18.【答案】解：选择条件①
由及正弦定理，可得，
则，
由余弦定理，得，
因为，所以；
选择条件②
由及正弦定理，可得，
即，
即，
在中，，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
选择条件③
由及正弦定理，可得，
因为，所以，
在中，，可得，
故，
因为，所以，则，故
由正弦定理，得，
所以，
所以的面积
 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式的应用，属于中档题.
根据已知及正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数公式的计算，求出角C的大小；
根据已知及正弦定理，三角形面积公式的计算，求出的面积．
 

19.【答案】解：当时，函数的定义域为
因为对任意的，都有，且，
所以为偶函数.
因为当a，时，的最小值为，且，，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立
即，所以，所以，
所以，
所以


，
当且仅当，，即，时，等号成立，
所以的最小值为
 

【解析】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数幂的运算以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．
利用函数奇偶性定义求解即可；
利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．
 

20.【答案】证明：因为三棱柱的底面ABC为正三角形，D是AB的中点，所以
又在三棱柱中，，，
所以
因为，且CD与都属于平面，
所以平面
因为平面，所以平面平面
解：因为平面底面ABC，平面底面，，
所以底面
故以D为坐标原点，DB，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
平面的法向量为
由得取，得
由得取，得
所以，，
由图知二面角是钝二面角，
所以二面角的余弦值为
 

【解析】本题主要考查的是面面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题.
利用线面垂直得到面面垂直；
建立空间坐标系，利用法向量，求解二面角即可.
 

21.【答案】解：由题得，
化简得，
所以C是中心在原点，焦点在x轴上，不含左、右顶点的椭圆.
证明：由知直线l与x轴不重合，可设，
联立得
设，，
则，，，
所以
因为，，
所以直线QG的斜率为，
所以直线QG的方程为，所以直线QG过定点
因为，所以为直角三角形，
取OH的中点，则，即为定值.
综上，存在定点，使得为定值.
 

【解析】本题主要考查直线的斜率，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查一元二次方程根与系数的关系，考查圆锥曲线中的轨迹方程，属于中档题.
分别求由直线AE与BE的的斜率，根据直线AE与BE的斜率之积为，化简即可求曲曲线C的方程，注意直线 AE与BE斜率的条件;
由知直线l与x轴不重合，可设，联立得，设，，则，，求出m，
由，，求出直线QG的斜率及直线方程，求出直线QG过定点H，由，则为直角三角形，取OH的中点N，即可求出为定值.
 

22.【答案】解：
①若，则，所以在上单调递减;
②若，令，得
当时，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
不等式等价于在上恒成立，
令，
则，
对于二次函数，，
所以其必有两个零点，
又两零点之积为，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点，则，即，
则时，时，，
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，即，
设函数，
则
当时，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，
所以，
由在上单调递增，得
故a的取值范围为
 

【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的应用.
根据已知及利用导数研究函数的单调性的计算，分、两种情况讨论的单调性；
根据已知及利用导数研究函数的单调性，二次函数的零点与一元二次方程的关系，不等式的恒成立问题的计算，构造函数，结合导函数，求出a的取值范围．