2022年秋季高三数学开学摸底考试卷（江苏专用）

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数学-2022年秋季高三开学摸底考试卷（江苏专用）（解析版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
5．考试范围：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·四川广安·模拟预测）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据并集的定义，即可求解.
【详解】
因为集合，，所以.
故选：A
2．（2022·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（       ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】
由题意可知，，
所以复数的虚部为.
故选：A.
3．（2022·河北衡水中学一模）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用对数的运算性质求出，由此可得答案.
【详解】

,
所以.
故选：C
4．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若，，，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到，，结合，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，
因为，可得，解得.
故选：A.
5．（2022·河北·模拟预测）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲､乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
这5名棋手分别记为：甲，乙，，利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
这5名棋手分别记为: ：甲，乙，，分组情况有：
（甲乙A，BC），（甲乙B，AC），（甲乙C， AB），（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）
（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），（ABC，甲乙） 共10种，
其中甲和乙不在同一人组的有6种，分别为：（甲AB，乙C），（甲AC，乙B）
（甲BC，乙A），（乙AB，甲C），（乙AC，甲B），（乙BC，甲A），
所以甲和乙不在同一个小组的概率为.
故选：C.
6．（2022·山东菏泽·二模）直线与函数的图象在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，则下列结论正确的是（       ）
A． B．在上是减函数
C．为等差数列 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
代入验证A，B，求出，即可判断CD.
【详解】
A.，故A错误；
B.时，，所以在上是增函数，故B错误；
C.，得，或，
解得：或，,y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，，，，……，可以判断数列不是等差数列，故C错误；
D. 由以上可知，奇数项以为首项，为公差的等差数列，偶数项以为首项，为公差的等差数列，
所以，
，故D正确.
故选：D
7．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若，，，则它们的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断大小，再分别判断和的大小即可
【详解】
因为，故.又，，故.再分析和的大小，因为，，故，又，故，故.综上有
故选：D
8．（2022·江苏苏州·模拟预测）《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为（       ）立方尺
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为x，列方程求出x＝2，从而R2，由此能求出该球体的体积．
【详解】
解：作出图象如下图所示：由已知得球心在几何体的外部，
设球心到几何体下底面的距离为x，则R2＝x2+（）2＝（x+1）2+（）2，
解得x＝2，∴R2，∴该球体的体积．故选：C．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，且，则（       ）
A．的最大值为 B．的最小值为9
C．的最小值为 D．的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】
对A，直接运用均值不等式即可判断；
对B，，运用均值不等式即可判断；
对C，，讨论二次函数最值即可；
对D，，讨论最值即可.
【详解】
，，当时，即时，可取等号，A错；
，当时，即时，可取等号，B对；
，当时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
10．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数的零点为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对AB，求导分析可得为增函数，再根据零点存在性定理可判断；
对C，根据AB得出的结合正切函数的单调性可判断；
对D，构造函数，再根据零点存在性定理，放缩判断的正负判断即可
【详解】
对AB，由题，故为增函数.又，，故，故AB正确；
对C，因为，所以，但，故C错误；
对D，构造函数，则，故为增函数.故，因为，故，故，即，故，故，D正确；
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了利用导数分析函数零点的问题，一般需要用零点存在性定理判断零点所在的区间，同时在判断区间端点正负时，需要适当放缩，根据能够确定取值大小的三角函数值进行判断，属于难题
11．（2022·湖北武汉·模拟预测）在正方体中，、、分别为、、的中点，则(       )

A．直线与直线垂直 B．点与点到平面的距离相等
C．直线与平面不平行吧 D．过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形
【答案】AD
【解析】
【分析】
A：连接、，证明∥EF∥，⊥即可；B：设点与点到平面的距离分别为、，利用等体积法和即可判断、是否相等；C：取的中点，连接、、EQ、，证明平面∥平面即可；D：连接、、，易知过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD．
【详解】
对于A，连接、．

∵、分别为、的中点，∴∥EF，
易知AB∥，且AB=，∴四边形是平行四边形，
∴∥，∴∥EF．
∵⊥，∴⊥EF，故A正确；
对于B，设点与点到平面的距离分别为、，
∵，
又，
∴，故B错误；
对于C，取的中点，连接、、EQ、，

易知EF∥∥GQ，GQ平面AEF，EF平面AEF，∴GQ∥平面AEF；
易知∥∥EQ，且==EQ，∴四边形为平行四边形，
∴，同理可得∥平面AEF，
∵∩GQ=Q，、GQ平面，∴平面∥平面，
又∵平面，∴∥平面，故C错误；
对于D，连接、、，

由选项A知∥EF，且=2EF，故过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD，故D正确．
故选：AD．
12．（2022·河北·模拟预测）设抛物线的焦点为F，准线为l，为C上一动点，，则下列结论正确的是（       ）
A．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 B．当时，的值为6
C．的最小值为3 D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项，求导，求出在的导函数值，即切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；B选项，由焦半径求出的值；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到.
【详解】
当时，，又，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，A错误；
当时，，故，B正确；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C正确；

由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确.

故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆交轴于，交轴于，四边形的面积为18，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由面积求出长，再求圆心坐标
【详解】
由题意，故，
而圆心在的垂直平分线上，所以
由垂径定理知半径,解得
所以或，故，
故答案为：
14．（2022·河北唐山·一模）为了监控某种食品的生产包装过程， 检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.
【答案】19
【解析】
【分析】
根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；
【详解】
解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为；
故答案为：19
15．（2022·河北保定·二模）若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为___________.
【答案】25
【解析】
【分析】
由题意可得，从而可求出，则展开式中的系数等于展开式中一次项系数的2倍加上的3次项系数
【详解】
由题意可知，得，则，
展开式的通项公式为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：25
16．（2022·广东深圳·二模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_________；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积___________．

【答案】         
【解析】
【分析】
由直线，其中，分步联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，
由直线，其中，
联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，
根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为.
故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·湖南·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若，，，且，求的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理求解；
（2）由（1）得，再利用余弦定理，并将，且代入求得a，c，然后利用面积公式求解.
（1）解：因为，由正弦定理可得：，所以；
（2）由（1）得，由余弦定理得：，所以，即，将，代入，得，即，解得或，∵，∴，∴舍去，∴，．从而，由可知，所以．所以的面积．
18．（2022·广东惠州·二模）已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和
【答案】(1)；(2)．
【解析】
【分析】
（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式；
（2）写出，由分组求和法求和．
(1)设的公比为（），
因为，且，，成等差数列，
所以，即，解得，所以；
(2)由（1），
．
19．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点．

(1)当为的中点时，求证：平面；
(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，，为的中点，再根据条件证明四边形为平行四边形即可求解；（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，再利用二面角的空间向量法求解即可.
(1)取中点，连接，，为的中点，

所以，且，又因为为的中点，，
且，所以，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，
平面，所以平面．
(2)如图建立空间直角坐标系，

所以，，设，，，
设平面的一个法向量，
所以，所以，
所以，
平面的一个法向量为，
所以，整理得
，所以，所以，即．
20．（2022·河北秦皇岛·二模）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某调查中心为了调查中学生在考试中有无作弊现象，随机选取150名男学生和150名女学生进行问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生？②你是否在考试中有作弊现象.调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有3个红球，3个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题.第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）.已知统计问卷中有70张答案为“是”.
(1)根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计中学生在考试中有作弊现象的概率；
(2)据核实，以上的300名学生中有20名学生在考试中有作弊现象，其中男生15人，女生5人，试判断是否有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.
参考公式和数据如下：，.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
7.879

【答案】(1)；
(2)有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.
【解析】
【分析】
（1）由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；
（2）通过计算，进而即得.
(1)因为摸到同色两球的概率，
所以回答第一个问题的人数为，回答第二个问题的人数为180.
因为男女人数相等，是等可能的，
所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为，
则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为10，
所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为.
(2)由题知，列联表如下：

男生
女生
合计
有作弊现象
15
5
20
没有作弊现象
135
145
280
合计
150
150
300
因为，
所以有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.
21．（2022·湖北·模拟预测）如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．

(1)求椭圆M的方程；
(2)直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)为常数，值为1
【解析】
【分析】
（1）由直线AC与直线BC斜率之积为，建立等式得，再结合可求解；
（2）设直线l：，则，再根据直线与直线可得，从而可得为常数.
(1)由题，，设，则，
∴，又，∴，，∴椭圆M的方程为：.
(2)直线l若过原点，由对称性知不合题，
设直线l：，则
，消去x得，
设，则∴①
AC：②，BD：③
②③联立得
①代入得
解得，即 ∴，∴为常数，值为1．
22．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）设函数， 为实数， 若有最大值为
(1)求的值； (2)若，求实数的最小整数值.
【答案】(1) (2)1
【解析】
【分析】
（1）求定义域，求导，得到在处取得极大值，也是最大值，进而列出方程，求出；（2）参变分离后，利用隐零点得到在处取得极大值，也是最大值，令，，求出最大值的范围，确定实数的最小整数值.
(1)，定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，解得：；
(2)，即,
，令，定义域为，
，
令，
则，
可以看出在单调递减，
又，，
由零点存在性定理可知：，使得，即，
当时，，当时，，
在处取得极大值，也是最大值，
，
，，
，
故存在，，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上大于0，在上小于0，
所以在单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
所以在处取得极大值，也是最大值，其中，
，
令，
，当时，，故，
所以实数的最小整数值为1.
【点睛】
对于函数隐零点问题，要结合零点存在性定理得到隐零点的大致范围，然后对函数值进行变形，最后确定函数值的取值范围，确定参数的取值范围.