江苏省南京师大附中2022届高三下学期开学考试数学试题含答案

南京师大附中2021-2022学年度第2学期

           高三年级阶段性考试数学试卷   2022．02

第I卷（选择题  共60分）

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝

A．∅                   B．{－3，－2，2，3}        C．{－2，0，2}                D．{－2，2}

2．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

A．(－3，1)            B．(－1，3)                      C．(1，＋∞)                   D．(－∞，1)

3．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为

A．                       B．2　　                       C．4                                   D．8

4．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的

A．充分条件            B．必要条件                C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

5．设函数y＝f(x)的图象与的图象关于直线y＝x对称，且f(2)＋f(4)＝1，则a＝

A．－1                      B．1                              C．2                                     D．4

6．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上(不含端点)，延长AD到P，使得AP＝9．若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是

A．                       B．3                              C．                                  D．7

7．在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{Tn}

A．有最大项，有最小项                             B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项                             D．无最大项，无最小项

8．已知a∈R，则函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)零点的个数为

A．1                           B．2                            C．3                                 D．与a有关

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．已知函数f(x)＝sin x＋，则

A．f(x)的图象关于y轴对称                                B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的图象关于直线x＝对称                       D．f(x)的最小值为2

10．当时，，则的值可以为

A．                           B．                         C．                      D．

11．设函数f(x)＝(ω＞0)，已知f(x)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点，则

A．f(x)在区间(0，2π)有且仅有3个极大值点      B．f(x)在区间(0，2π)有且仅有2个极小值点

C．f(x)在区间上单调递增                         D．ω的取值范围是

12．已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则

A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上              B．圆M的面积可以是50π

C．圆M的半径可以为1                                         D．满足条件的所有圆M的半径之积为10

第II卷(非选择题  共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．表面积为2的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_________．

14．的展开式中的系数为_________．(用数字填写答案)

15．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有_________个．

16．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：．设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为_________．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）

设数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数r=，

19．（本小题满分12分）

已知在中，，．

（1）求的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长

度．①；②周长为；③面积为．

20．（本小题满分12分）

已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

21．（本小题满分12分）

设椭圆，已知椭圆的短轴长为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）点为直线上的动点，过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，求证：点总在一条动直线上且该动直线恒过定点．

22．（本小题满分12分）

已知实数，设函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有 ，求实数的取值范围．

南京师大附中2021-2022学年度第2学期

高三年级阶段性考试数学参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1． D                    2．A                  3． C              4． B                     5． C      6． C       7． B                     8． A    

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9． BC                             10． ABC                                  11． ACD                            12． ABD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．                           14． -20                            15． 14                            16．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)

【解析】（1）数列满足．

时，．

．．

当时，，上式也成立．

．

（2）．

数列的前项和．

18．(本题满分12分)

【解析】（1）样区野生动物平均数为，

地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为

（2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为

（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，

由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，

采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，

从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

19．(本题满分12分)

【解析】（1），则由正弦定理可得，

，，，，，解得；

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，

与矛盾，故这样的不存在；

若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，

则由正弦定理可得，，

则周长，解得，则，

由余弦定理可得边上的中线的长度为：；

若选择③：由（1）可得，即，则，解得，

则由余弦定理可得边上的中线的长度为：

.

20．(本题满分12分)

【解答】（1）证明：连接，

，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，

，，

，，

，

，，

，即，

故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，1，，，2，，

设，则，0，，

，2，，，1，，

，即．

解法二：取中点,连接,可证 ，因为，所以

.易证，所以，从而.

（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，，

由（1）知，，1，，，1，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，，，，

，，

当时，面与面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为．

21．(本题满分12分)

【解析】

（1）由题意可知

，解得，则椭圆的方程：

（2）设，，，直线的斜率显然存在设为，则的方程为。

因为四点共线，不妨设，

， ，

， ，

由可得，化简可得

.（*）

联立直线和椭圆的方程消去：

，即，

有韦达定理，，.代入（*）

化简得，即

又代入上式：，化简：，

所以点总在一条动直线上，且该直线过定点

22．(本题满分12分)

【解析】（1）当时，．

，

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）由，得．

当时，等价于．

令，则．

设，

则．

（i）当 时，，则

．

记，则

.

故

所以，．

因此，．

（ii）当时，．

令 ，则，

（因为，

而 ）

故在上单调递增，所以．

解法1：由（i）得，．（回代中间函数）

（因为，，

所以）

解法2：也可以直接证明：(放缩法)

因为，且，所以

即，即.

所以，．

因此．

由（i）（ii）知对任意，，

即对任意，均有．

综上所述，所求a的取值范围是．