2021-2022学年河南省重点高中高二下学期阶段性调研联考一数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省重点高中高二下学期阶段性调研联考一数学（理）试题

一、单选题

1．已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线渐近线方程为，可得到，结合与，可求出、，进而得到答案．

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，

则，解得，，故双曲线方程为：.

故选：A

2．设，为的导函数，若，则（       ）

A． B． C．e D．

【答案】C

【分析】求出导数即可解出.

【详解】，，

则，解得.

故选：C.

3．已知命题“∃x∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（       ）

A．a<0 B．0≤a≤4

C．a≥4 D．0<a<4

【答案】D

【分析】由命题“∃x∈R，使”是假命题，转化为命题“∀x∈R，使”是真命题，利用判别式法求解.

【详解】∵命题“∃x∈R，使”是假命题，

∴命题“∀x∈R，使”是真命题，

则判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，

解得0<a<4，

故选：D.

4．已知命题，都有；命题，使得，则下列命题中为真命题的是（       ）

A．p且q B．（）且q C．p且（） D．（）且（）

【答案】B

【分析】先判断出命题的真假，再根据选项判断复合命题的真假逐项排除可得答案.

【详解】当时， ，，所以，故命题错误，正确；

当时，，，故命题正确，错误；

所以p且q 是假命题，A选项错误；（）且q是真命题， B选项正确；

p且（）是假命题， C选项错误；（）且（）是假命题，D错误.

故选：B.

5．在极坐标系中，点到直线的距离为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】将点的极坐标和直线的极坐标方程化为直角坐标和直角坐标方程，再根据点到直线的距离求解即可.

【详解】将点化为直角坐标得：，

直线的直角坐标方程为：，

所以点到直线的距离为.

故选：C

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将极坐标与极坐标方程化为直角坐标与直角坐标方程.

6．若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用导数可直接求出函数的单调区间，再根据题目中所告诉的区间内不单调，则极值点在该区间内，从而得出k的值．

【详解】由题意得，函数定义域为

，令，解得在定义域内，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

函数在区间内不单调，所以，

解得，又因为，得，

综上，

故选：D．

7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对函数求导可得，根据函数的单调性可得在上恒成立，等价于，解出即可.

【详解】.

因为在上单调递增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，等价于，

故选B.

【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.

8．定义在上的可导函数，已知的图象如图，则的增区间是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的图像，判断出取得正数的区间，由此求得正确选项.

【详解】由于，根据的图像可知，当时，，故的增区间是，故选B.

【点睛】本小题主要考查函数单调性与导数的关系，考查复合函数图像的理解，考查图像分析与理解，属于基础题.

9．双曲线的右焦点为，设、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（       ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】设，则，得到，根据题设条件，化简得到，结合，求得的值，根据离心率的定义，即可求解.

【详解】设，则，

因为的中点为的中点为，所以，

因为原点在线段为直径的圆上，

所以，可得，①

又因为点在双曲线上，且直线的斜率为，所以，②

联立消去，可得，③

又由点是双曲线的右焦点，可得，

代入③，化简整理得，解得或，

由于，所以（舍去），

故，解得，所以离心率为.

故选：B.

【点睛】求解圆锥曲线的离心率的三种方法：

1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

10．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】将不等式转化为，令，用导数法研究的x范围即可.，

【详解】不等式等价于，

令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，

所以时，，

即时，，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

11．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.

【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，

由椭圆和双曲线的定义得，解得.

代入，

得，

即，，

即，，因此，.

故选B.

【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

12．已知函数，则下列命题正确的个数为（       ）

（1）存在，使得函数没有零点；

（2）任意，存在，使得函数恰有1个零点；

（3）任意，存在，使得函数恰有2个零点；

（4）任意，存在，使得函数恰有3个零点；

（5）存在，存在，使得函数恰有3个零点；

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先研究（1）（2）（3）（4），将函数的零点问题，转化为函数图象与函数图象的交点问题，通过求导研究函数的单调性可得最终选项；（5）等价于有两个解，构造函数在单调递减，单调递增，，即得解.

【详解】函数的零点个数可转化成方程根的个数，

转化为求函数图象与函数图象的交点问题，

由函数可知定义域为，

函数的定义域为，在上单调递减，在其定义域上满足，

对函数求导得对任意，

当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．

所以函数有最大值，

所以当，时，

函数的图象与函数的图象有两个交点

即对任意，存在，当时，函数有两个零点．

所以（1）（2）（4）错误，（3）正确.

（5）存在，存在，使得函数恰有3个零点，

等价于恰有3个零点，

等价于恰有3个零点，

设，

等价于的图象有三个交点，

因为

所以等价于有两个极值点，

等价于有两个解，

等价于有两个解，

设

单调递增，且，

所以在单调递减，单调递增，，

所以有两个解，即存在，存在，使得函数恰有3个零点.

故（5）正确.

故选：B

【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得到，再研究的图象即得解）. 要根据已知条件灵活选择求解.

二、填空题

13．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【分析】写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出；求出不等式右边对应函数的最大值，求出的范围．

【详解】命题“，，使是假命题，

命题“，时，满足不等式”是真命题，

在，上恒成立，

令，，，

（3），

．

故答案为：，．

14．如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的短轴端点，是椭圆上异于点，的一动点，设点满足：，，则与的面积之比为___________.

【答案】2

【解析】设，，联立直线、的方程求出，再根据在椭圆上，得到，所以，即得解.

【详解】解：设，，

直线的斜率为，

由，所以直线的斜率为，

于是直线的方程为，

同理，直线的方程为

联立两直线方程，消去，得.

因为在椭圆上，

所以，从而.

所以，所以.

故答案为：2

【点睛】思路点睛：由题易得，所以即求的值，要求的值就要找到的关系，首先要求出的值，所以要联立两直线的方程.

三、双空题

15．已知双曲线（，）的离心率是，左、右焦点分别是，，过且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则：

（1）其渐近线方程是_____；

（2）_____．

【答案】         

【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，求得双曲线的渐近线方程；再由，代入双曲线的方程可得A，B的纵坐标，运用锐角三角函数的定义可得所求值．

【详解】解：设双曲线的半焦距为c，可得，即，

所以，所以双曲线的渐近线方程为；

当时，，

则．

故答案为：；．

16．已知点在椭圆上运动，则的最大值是_________；点到直线：的最小距离是________.

【答案】     4    

【解析】利用椭圆的参数方程，结合辅助角公式转化成同一角的三角函数求最值问题.

【详解】由椭圆得椭圆的参数方程为

则

则的最大值是4；

到直线：的距离

当时，

故答案为：4；

【点睛】本题考查椭圆的参数方程的应用，关键是列出椭圆的参数方程，对应设出点P的坐标，转化成三角函数的最值问题.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当时，求函数f(x)的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出周期；

（2）求出的范围，进而结合三角函数的性质求得答案.

【详解】(1)，函数的最小正周期为.

(2)当时，，，

∴，即函数的值域为.

18．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由等差数列以及等比中项的公式代入联立求解出，再利用等差数列的通项公式即可求得答案；（2）利用分组求和法，根据求和公式分别求出等差数列与等比数列的前项和再相加即可.

【详解】（1）由题意，，，即，联立解得，所以数列的通项公式为；

（2）由（1）得，，所以

【点睛】关于数列前项和的求和方法：

分组求和法：两个数列等差或者等比数列相加时利用分组求和法计算；

裂项相加法：数列的通项公式为分式时可考虑裂项相消法求和；

错位相减法：等差乘以等比数列的情况利用错位相减法求和.

19．已知圆C：，直线l：.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=时，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.

（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.

【详解】(1)由圆：，可得，

其圆心为，半径，

若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.

(2)由（1）知：圆心到直线的距离，

因为，即，解得：，

所以，整理得：，解得：或，

则直线为或.

20．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.

(1)证明：AB1 //面BC1D ；

(2)若AA1 =AB，求二面角B1 -AC-C1的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1），连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）说明平面，取的中点F，连接，以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【详解】(1)证明：记，连接，

由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点.

因为D是的中点，所以，

又平面平面，所以平面；

(2)因为底面是等边三角形，D是的中点，

所以，

由直棱柱的性质可知平面平面，

平面平面，面，

所以平面，

取的中点F，连接，

则两两垂直，

故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

从而，

设平面的法向量为，

则，令x=2，

得，

同理平面的一个法向量为，

则，

由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角B1 -AC-C1的余弦值为.

21．已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1､F2，上顶点为A，△AF1F2的周长为6，离心率等于.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点(4，0)的直线l交椭圆C于M､N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）由条件得，再结合，可求得椭圆方程；

（2）由题意设直线l：x=my+4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，整理后利用根与系的关系可得，，再由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，从而可列出关于的方程，进而可求出的值，即可得到直线的方程

【详解】（1）由条件知，解得，则

故椭圆的方程为

（2）显然直线l的斜率存在，且斜率不为0，设直线l：x=my+4交椭圆C于M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由，

当=(24m)2-4(3m2+4)×36>0时，有，，

由条件OM⊥ON可得，，即x1x2+y1y2=0，

从而有(my1+4)(my2+4)+y1y2=0，(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0，

，解得，故且满足>0

从而直线l方程为或

22．已知函数f(x)=x-mlnx-m.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.

（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.

【详解】(1)函数的定义域为，且，

当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，

当时，由，解得，

由，解得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

综上：当时，在上为增函数，

当时，在上为减函数，在上为增函数；

(2)由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.

当时，在上上为减函数，在上为增函数，

所以，即，

则，

由，解得，

由，解得，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以，

即在上恒成立.