2022年广东省韶关市乳源县中考数学三模试卷（Word解析版）

2022年广东省韶关市乳源县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在实数，，，中，大于的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列立体图形中，主视图是等腰三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列说法正确的是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形
C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若分式的值为零，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率．绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是(    )

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副只有四种花色的张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是
D. 暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

9. 如图，是的直径，点在上，且弧的长是弧长的倍，的平分线交于点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，正方形中，点是边的中点，点以的速度从点出发，沿运动到点后，再沿线段到达点图是点运动时，的面积随时间变化的部分图象．根据图象判断：下列能表示点在整个运动过程中随变化的完整图象为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 分解因式：______．
12. 已知与是位似图形且与的周长比为：，则与的面积比为______．
13. 若是方程的一个根，则代数式的值是______．
14. 如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．

15. 如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正弦值是____．

16. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为______．

17. 如图，直线为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；按此作法进行下去，则点坐标为______，点坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

18. 计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共56分）

19. 已知如图，四边形是平行四边形．
    尺规作图：作的角平分线交的延长线于，交于不写作法和证明，但要保留作图痕迹．
    请在的情况下，求证：．

20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 某山区中学名学生参加植树节活动，要求每人植至棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵，将各类的人数绘制成扇形图如图和条形图如图回答下列问题：
    这次调查一共抽查了______名学生的植树量；请将条形图补充完整；
    被调查学生每人植树量的众数是______棵、中位数是______棵；
    求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这名学生共植树多少棵？
     

22. 某汽车销售公司经销某品牌、两款汽车，今年一、二月份销售情况如下表所示：、两款汽车的销售单价保持不变

求、两款汽车每辆售价分别为多少万元？
若款汽车每辆进价为万元，款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两款汽车共辆，求出所有的进货方案．

23. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    请直接写出时，的取值范围．

24. 如图，内接于，过作射线与的延长线交于点，．
    求证：是的切线；
    若，，求的长；
    如图，是的中点，与交于点，求证：．
     

25. 如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
    求该抛物线的解析式；
    如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；
    如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
在实数，，，中，大于的实数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
B.圆柱的主视图是矩形，故本选项不合题意；
C.圆台的主视图是梯形，故本选项不合题意；
D.圆的的主视图是圆，故本选项不合题意；
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、四边相等的四边形是菱形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
故选：．
根据菱形、正方形和矩形的判定解答即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据菱形、正方形和矩形的判定方法解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了多项式乘多项式，同底数幂的乘、除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
解得：，
故选：．
根据分式的值为零的条件列式计算即可．
本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

直尺的两边互相平行，，
，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：是边上的中线，
，
的周长为，，
，
，
，
的周长．
故选：．
根据三角形中线的定义可得，由的周长为，，求出，进而得出的周长．
本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义得出以及利用周长的定义求出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故C选项符合题意；
D、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故D选项不符合题意；
故选：．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
弧的长是弧长的倍，
，，
平分，
，
，
，
故选：．
根据是的直径和弧的长是弧长的倍，可以求得的度数，再根据平分，可以得到的度数，然后即可计算出的度数．
本题考查圆周角定理，解答本题的关键是求出和的度数．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数图象经过点，
，
，
点是边的中点，
，
当点在上运动时，即时，
，，


，
，
随的增大而增大，
当时，即点与点重合时，最大；
当点在上运动时，
这时的高不变，底边越来越小，
的面积也越来越小，
即越来越小．
综上所述，点运动时，的面积的最大值是，则由此可排除，．
当点在上时，，
过点作于点，则，


，是一条直线．由此可排除．
故选：．
从图中点得到正方形的边长，当点在上运动时，列出的函数式，判断出点在点处时，的面积最大；当点在上运动时，越来越小，的面积也越来越小，所以当点运动到点时，的面积最大，从而得到的值；当点从点到点时，的值为，画出图形，表示出此时与的关系式即可．
本题考查的是动点函数图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】： 

【解析】解：与是位似图形且与的周长比为：，
与相似比为：，
与的面积比为：：．
故答案为：：．
根据相似三角形的周长比的等于相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比与相似比的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，



．
故答案为：．
直接把的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：游戏板的面积为，其中黑色区域为，
小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案是：．
利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：、、，
，
为直角三角形，且，
则，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴，垂足为，
，，
，
，
而，
，
故答案为：．
根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的前提，求出的面积是正确解答的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：直线为，点，轴，
当时，，
即，
，
，，
，
以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点，
，
，
，
以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点，
，
同理可得，，，
点的坐标为，
故答案为：，．
依据直线为，点，轴，可得，同理可得，，，，依据规律可得点的坐标为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

18.【答案】解：原式
． 

【解析】根据负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数值的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了实数混合运算，特殊角三角函数值，正确化简各数是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：尺规作图如下：


证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
． 

【解析】利用尺规作出的平分线即可．
根据平行四边形的性质和角平分线定义即可解决问题．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质、角平分线的作法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质解决问题．
 

20.【答案】解：原式

，
当，时，
原式

． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】     

【解析】解：这次调查一共抽查植树的学生人数为名，
类人数名．

故答案为：；

众数是，中位数是，
故答案为：，；

棵，
棵．
答：估计这名学生共植树棵．
由类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
根据众数和中位数的概念可得答案；
先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元．
设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为，，，
该公司共有种进货方案，
方案：购进辆款汽车，辆款汽车；
方案：购进辆款汽车，辆款汽车；
方案：购进辆款汽车，辆款汽车． 

【解析】设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，利用销售金额销售单价销售数量，结合一、二月份的销售数量及销售金额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于万元且不少于万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的意义，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：点和在反比例函数的图象上，
，
，，
，
将点，代入中，
，
解得：，
，
一次函数，反比例函数；
由图象知，或时，． 

【解析】根据点和在反比例函数图象上，可得和的值，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
直接根据图象可得答案．
本题主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
 

24.【答案】 证明：如图，连结、，则．
．
．
由圆周角定理，得．
．
．
．
，即．
是的切线；

，，
∽．
，
．
；

如图，延长至，使，连结，
易得≌，
，．
，
．
由得，，
，
． 

【解析】如图，连结、，欲证明是的切线，只需推知即可；
通过证∽得到：，故所以；
如图，延长至，使，连结，构造≌，根据该全等三角形的性质和平行线的判定定理得到，则由得，，代入整理，即可证得结论．
此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”圆与相似三角形，及全等三角形相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．
 

25.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线过点，点，
，
解得，
抛物线的解析式为：．
由知函数解析式为：．
，
直线：，
过点作，设直线的解析式为：，
当的面积最大时，直线与抛物线有且仅有一个交点，
令，整理得，
，解得，
，
，即；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，此时的周长最小，

，
，
，，
周长的最小值为：．
由知原抛物线的顶点坐标，绕点旋转后的顶点，
的对称轴为直线；
设点的坐标为，
若是等腰三角形，则需要分类讨论：
当时，如图；
，解得；
或；

当时；
，无解；
当时，如图，
，解得，
．
综上可知，存在，点的坐标为或或． 

【解析】根据对称轴为直线，可得，再把点，代入解析式即可求解；
过点作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，面积最大，由此可对称点的坐标；再根据轴对称最值问题可求出周长的最小值；
由可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得的顶点坐标，进而可求出的对称轴；则需要分类讨论当时；当时；当时，分别建立方程求解即可．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，关键是求出点的坐标；关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程．