2022年甘肃省兰州市中考数学试卷（Word解析版）

2022年甘肃省兰州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 计算：(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为若，则(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列分别是年北京冬奥会、年长野冬奥会、年阿尔贝维尔冬奥会、年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 计算：(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，内接于，是的直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知∽，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 因式分解的结果是______．
14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是，中山桥的坐标是，那么黄河母亲像的坐标是______．

15. 如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则______．

16. 年月日是我国第个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______结果精确到

三、解答题（本大题共12小题，共72分）

17. 解不等式：．
18. 计算：．
19. 如图是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，，，，，求的大小．
     

20. 如图，小睿为测量公园的一凉亭的高度，他先在水平地面点处用高的测角仪测得，然后沿方向向前走到达点处，在点处用高的测角仪测得求凉亭的高度．三点共线，，，，结果精确到
    参考数据：，，，，，

21. 人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
    信息一：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
    数据分成组：，，，，，
    
    信息二：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数百万人在这一组的数据是：，，，，，，；
    信息三：年全国大陆人口数及自然增长率；
    
    请根据以上信息，解答下列问题：
    普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．
    下列结论正确的是______只填序号
    全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个地区；
    相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
    年全国大陆人口自然增长率持续降低．
    请写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
22. 综合与实践
    问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一此几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的铸型如图，它的端面是圆形．如图是用“矩”带直角的角尺确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在，点上，“矩”的另一条边与的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心．
    
    问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心如图，点，，在上，，且，请作出圆心保留作图痕迹，不写作法
    类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”带直角的角尺确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心如图，点，，在上，，请作出圆心保留作图痕迹，不写作法
    拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心保留作图痕迹，不写作法请写出你确定圆心的理由：______．
     

23. 如图，在中，，，，为边上一动点，，垂足为设，两点间的距离为，，两点间的距离为当点和点重合时，，两点间的距离为．
    小明根据学习函数的经验，对因变量随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
    下面是小明的探究过程，请补充完整．
    列表：下表的已知数据是根据，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：

请你通过计算，补全表格：______；
描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象；

探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：______；
解决问题：当时，的长度大约是______结果保留两位小数

24. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
    求关于的函数表达式；
    根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
    
    图来源：年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求
25. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，过作轴，交过点的一次函数的图象于点，交反比例函数的图象于点，．
    求反比例比数和一次函数的表达式；
    求的长．

26. 如图，是的外接圆，是直径，，连接，，与相交于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的半径．

27. 在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．
    求点的“倾斜系数”的值；
    若点的“倾斜系数”，请写出和的数量关系，并说明理由；
    若点的“倾斜系数”，且，求的长；
    如图，边长为的正方形沿直线：运动，是正方形上任意一点，且点的“倾斜系数”，请直接写出的取值范围．

28. 综合与实践
    【问题情境】
    数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明；
    【思考尝试】
    同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图中补全图形，解答老师提出的问题．
    【实践探究】
    希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
    【拓展迁移】
    突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图，在正方形中，为边上一动点点，不重合，是等腰直角三角形，，连接知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用算术平方根的性质求解．
本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：不能沿一条直线折叠完全重合；
B.不能沿一条直线折叠完全重合；
C.不能沿一条直线折叠完全重合；
D.能够沿一条直线折叠完全重合；
故选：．
在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用完全平方公式计算即可．
本题考查了完全平方公式：．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据直角三角形两锐角互余得到与互余，即可求得的度数，继而求得的度数．
此题考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随着的增大而增大．
点和是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质可得，代入即可得出的长．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：总共种溶液，其中碱性溶液有种，
将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是，
故选：．
总共种溶液，其中碱性溶液有种，再根据概率公式求解即可．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，
为的中点，，
，
故选：．
根据菱形的性质可得，，，则，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，
故选：．
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据，计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】
解：如图，根据白塔山公园的坐标是，中山桥的坐标是画出直角坐标系，
黄河母亲像的坐标是．
故答案为：．
根据白塔山公园的坐标是，中山桥的坐标是画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
 

15.【答案】 

【解析】解：将沿翻折得到，点落在上，
，，，，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
根据将沿翻折得到，点落在上，可得，，，，而，即得，，由四边形是矩形，可得，，从而，在中，用勾股定理得，从而．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：幼树移植数棵时，幼树移植成活的频率为，
估计幼树移植成活的概率为，精确到，即为．
故答案为：．
大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
 

17.【答案】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
两边同乘以，得：．
故原不等式的解集是． 

【解析】先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以，即可得出不等式的解集
本题主要考查了解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，即，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】由可得，根据可证≌，再根据全等三角形的性质即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：由题意得：
，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
凉亭的高约为． 

【解析】根据题意可得，，，然后设，则，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：将这个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是百万人，因此中位数是百万人，
故答案为：；

全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个地区，故原结论错误，不符合题意；
相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
年全国大陆人口自然增长率的情况是：，，年增长率持续上升；，，年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是．
故答案为：；

年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负答案不唯一．
根据已知发现中位数在第二组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数；
从频数分布直方图可知，比亿元多的省份有个，因此处在第六名；
根据频数分布直方图进行判断即可；
根据条形图与折线图即可判断；
根据折线图即可判断；
根据条形图与折线图可写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】垂直平分弦的直线经过圆心 

【解析】解：问题解决：
如图：

即为圆心；
类比迁移：
如图：

即为所求作的圆心；
拓展探究：
如图：

即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心，
故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．
问题解决：
以为顶点，以为一边，用三角板作是直角，的另一边与圆交于，连接，，，的交点即是圆心；
类比迁移：
方法同；
拓展探究：
连接，，作，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直平分弦的直线经过圆心．
本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用．
 

23.【答案】  随的增大而减小   

【解析】解：如图，

在中，，，根据勾股定理得，，
过点作于，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
当时，点与点重合，
，
，
点，重合，
，
故答案为：；

如图所示，

由图象知，随的增大而减小，
故答案为：随的增大而减小；

借助表格和图象得，当时，的长度大约是，
故答案为：．
先求出边上的高，进而求出，判断出点与重合，即可得出答案；
先描点，再连线，即可画出图象；
根据图象直接得出结论；
利用表格和图象估算出的长度．
此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
该女生在此项考试中是得满分，理由：
令，则，
解得：，舍去，
，
该女生在此项考试中是得满分． 

【解析】根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
 

25.【答案】解：点在反比例函数的图象上，轴，
，
，
反比例函数为，
一次函数的图象过点，
，解得，
一次函数为；
过作轴，交过点的一次函数的图象于点，
当时；，
，，
． 

【解析】利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值，把的坐标代入即可求得的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
利用两个函数的解析式求得、的坐标，进一步即可求得的长度．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，
又，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：，
，
，
是直径，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，
设半径为，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得或舍去，
即半径为． 

【解析】根据垂直、平角的定义可得，进而得到即可；
根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，可得到，再根据锐角三角函数可得，在中由勾股定理可求半径．
本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
 

27.【答案】解：由题意知，，
即点的“倾斜系数”的值为；
点的“倾斜系数”，
或，
即或，
和的数量关系为或；
由知，或
，
或，
；
由题意知，当点与点重合时，且时，有最小临界值，如下图：
连接，延长交轴于，

此时，
则，
解得；
当点与点重合时，且时，有最大临界值，如下图：
连接，延长交轴于，

此时，
则，
解得，
综上所述，若点的“倾斜系数”，则． 

【解析】根据“倾斜系数”的定义直接计算即可；
根据“倾斜系数”的的定义分情况得出结论即可；
根据“倾斜系数”的的定义求出点坐标，进而求出的值即可；
根据的取值，分情况求出的取值范围即可．
本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．
 

28.【答案】解：，
理由如下：取的中点，连接，

、分别为、的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
在上取，连接，

由同理可得，
，，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
作，交的延长线于，交于，连接，

由知，，
，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
的最小值为的长，
，
，
由勾股定理得，
周长的最小值为． 

【解析】取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明≌，得；
在上取，连接，由同理可得，则≌，再说明是等腰直角三角形即可得出答案；
作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．