高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第2节抛体运动学案

这是一份高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第2节抛体运动学案，共16页。学案主要包含了平抛运动，平抛运动的基本规律，斜抛运动等内容，欢迎下载使用。


一、平抛运动
1．定义
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质
加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。
二、平抛运动的基本规律
1．研究方法
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
三、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0cs_θ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg。
一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)
2．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(×)
3．两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。(×)
4．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。(×)
5．无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。
(√)
二、走进教材
1．(人教版必修2P10做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的有( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
BC [根据装置图可知，两球由相同高度同时运动，A做平抛运动，B做自由落体运动，因此将同时落地，由于两球同时落地，因此说明A、B在竖直方向运动规律是相同的，故根据实验结果可知，平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动，不需要两球质量相等，要多次实验，观察现象，则应改变装置的高度，多次实验，故B、C正确。]
2．(人教版必修2P12T1改编)由消防带水龙头的喷嘴喷出水的流量是0.28 m3/min，水离开喷口时的速度大小为16eq \r(3) m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10 m/s2)( )
A．28.8 m 1.12×10－2 m3
B．28.8 m 0.672 m3
C．38.4 m 1.29×10－2 m3
D．38.4 m 0.776 m3
A [水离开喷口后做斜抛运动，将运动沿水平方向和竖直方向分解，在竖直方向上：
vy＝vsin θ，代入数据可得vy＝24 m/s
故水柱能上升的高度h＝eq \f(v\\al(2,y),2g)＝28.8 m
水从喷出到最高处着火位置所用的时间t＝eq \f(vy,g)
代入数据可得t＝2.4 s
故空中水柱的水量为V＝eq \f(0.28,60)×2.4 m3＝
1.12×10－2 m3，A项正确。]
平抛运动基本规律的应用 eq \([依题组训练])
1．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断改变
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
B [由于不计空气阻力，小球只受重力作用，故加速度为g，方向不变；小球做平抛运动，速度的方向不断变化，在任意一段时间内速度的变化量Δv＝gΔt，如图所示，选项A错误；设某时刻速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)，随着时间t的变大，tan θ变小，选项B正确；由图可以看出，在相等的时间间隔内，速度的改变量Δv相等，但速率的改变量v3－v2≠v2－v1≠v1－v0，故选项C错误；在竖直方向上位移h＝eq \f(1,2)gt2，可知小球在相同的时间内下落的高度不同，根据动能定理，动能的改变量等于重力做的功，所以选项D错误。]
2．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
C [将乒乓球的平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，根据在竖直方向h＝eq \f(1,2)gt2、vy＝gt，知在竖直方向下降相同的高度时，两球所用时间相同、竖直方向上的速度相同，选项A、B、D错误；乒乓球在水平方向做匀速直线运动，有x＝v0t，则速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少，选项C正确。]
3.(多选)(2020·江苏高考)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等
B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的eq \f(1,2)
D．A的末速度比B的大
AD [位移为初位置到末位置的有向线段，如图所示可得sA＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l ，sB＝eq \r(l2＋2l2)＝eq \r(5)l，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动运动的时间由高度决定，即tA＝eq \r(\f(2×2l,g))＝eq \r(2)×eq \r(\f(2l,g)) ，tB＝eq \r(\f(2×l,g))＝eq \r(\f(2l,g))，则A的运动时间是B的eq \r(2)倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA＝eq \f(l,tA)＝eq \f(\r(gl),2) ，vxB＝eq \f(2l,tB)＝eq \r(2gl)，则A的初速度是B的eq \f(1,2\r(2))，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分别为vyA＝2eq \r(gl)，vyB＝eq \r(2gl)，所以可得vA＝eq \f(\r(17gl),2)，vB＝2eq \r(gl)＝eq \f(\r(16gl),2)，即vA>vB，D正确。]
4.如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1＞φ2B．φ1＜φ2
C．φ1＝φ2D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得：tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的。故C正确。]
平抛运动的结论和推论
1．飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
3．落地速度
v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，落地速度与初速度v0和下落高度h有关。
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝eq \f(xA,2)。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻，总有tan θ＝2tan α。
有约束条件的平抛运动 eq \([讲典例示法])
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
eq \([典例示法]) (多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为eq \f(3,4)gt2
思路点拨：解此题要把握以下关键信息：
(1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球两分速度相等。
(2)两小球的落点B、C在同一水平面上，飞行时间相等。(3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
ACD [落于C点的小球速度垂直于QO，则两分速度相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，故选项C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面，故飞行时间都为t，由图可得tan 45°＝eq \f(\f(1,2)gt2,v2t)＝eq \f(gt,2v2)，所以v2＝eq \f(gt,2)，故选项A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，联立以上几式可得h＝eq \f(1,4)gt2，故A距水平面高度H＝h＋eq \f(1,2)gt2＝eq \f(3,4)gt2，故选项D正确。]
与斜面相关平抛问题的两个分解思路
(1)以分解速度为突破口求解平抛运动问题：若知道某时刻的速度方向，要从分解速度的角度来研究，tan θ＝eq \f(gt,v0)(θ为t时刻速度与水平方向间的夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
(2)以分解位移为突破口求解平抛运动问题：若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)(α为t时刻位移与水平方向间的夹角)，确定初速度v0、时间t、夹角α之间的关系，进而求解具体问题。
eq \([跟进训练])
“斜面”约束的平抛运动
1．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq \f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍B．4倍
C．6倍D．8倍
A [甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。]
2.(多选)(2020·河南南阳一中摸底考试)如图所示，长木板OA的倾角θ＝30°，在O点正上方的P处水平抛出一个小球，结果小球恰好垂直打在板面上距离O点为L的B点。重力加速度大小为g，空气阻力忽略不计。下列说法正确的是( )
A．小球在空中运动的时间为eq \r(\f(L,2g))
B．小球被抛出时的初速度大小为eq \r(\f(gL,2))
C．小球打到B点前瞬间的速度大小为eq \r(\f(3gL,2))
D．O、P两点间的距离为eq \f(5L,4)
BD [由几何关系可知，小球在水平方向上的位移大小为x＝Lcs 30°＝eq \f(\r(3),2)L，小球在B点的速度关系满足tan 60°＝eq \f(gt,v0)，又因为x＝v0t，以上各式联立解得v0＝eq \r(\f(1,2)gL)，t＝eq \r(\f(3L,2g))，选项A错误，B正确；由几何关系知，小球打在B点前的瞬时速度大小满足v＝eq \f(v0,cs 60°)＝eq \r(2gL)，选项C错误；O、P两点间的距离为h＝eq \f(1,2)gt2＋Lsin 30°＝eq \f(5L,4)，选项D正确。]
“曲面”约束的平抛运动
3.如图所示，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为( )
A．tan αB．cs α
C．tan αeq \r(tan α)D．cs αeq \r(tan α)
C [设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcs α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，对球2：Rcs α＝v2t2，Rsin α＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，联立可得eq \f(v1,v2)＝tan αeq \r(tan α)，C正确。]
4.(2020·湖南益阳模拟)如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B点，已知抛出点在半圆轨道左端点(A点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB与水平面成60°角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是( )
A．小球到达B点飞行的时间为eq \r(\f(3R,2g))
B．小球平抛的初速度大小为eq \r(\f(3\r(3)gR,2))
C．小球到达B点时水平位移为eq \f(\r(3)R,2)
D．小球到达B点时竖直位移为eq \f(\r(3)R,2)
B [小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，经过B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，则tan 30°＝eq \f(vy,v0)，小球在B点时的位移方向与水平方向的夹角α的正切值tan α＝eq \f(1,2)tan 30°＝eq \f(y,x)，又知x＝R＋Rcs 60°＝eq \f(3,2)R，veq \\al(2,y)＝2gy，联立解得y＝eq \f(\r(3),4)R，vy＝eq \r(\f(\r(3)gR,2))，v0＝eq \r(\f(3\r(3)gR,2))，小球到达B点飞行的时间为t＝eq \f(vy,g)＝eq \r(\f(\r(3)R,2g))，选项A、C、D错误，B正确。]
平抛中的临界、极值问题 eq \([依题组训练])
1.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A．eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))B．eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))C．eq \f(L1,2)eq \r(\f(g,6h))D．eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))D [设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1) ①，水平方向上有eq \f(L1,2)＝v1t1 ②，由①②两式可得v1＝eq \f(L1,4)eq \r(\f(g,h))。
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2) ③，在水平方向有eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,2)))eq \s\up12(2)＋L\\al(2,1))＝v2t2 ④，由③④两式可得v2＝eq \f(1,2)eq \r(\f(4L\\al(2,1)＋L\\al(2,2)g,6h))，则v的最大取值范围为v1＜v＜v2。故选项D正确。]
2．(多选)(2020·湖北名师联盟月考)飞镖运动于15世纪兴起于英格兰，20世纪初，成为人们日常休闲的必备活动。一般投飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小。现有一靶的第10环的半径为1 cm，第9环的半径为2 cm，……以此类推，若靶的半径为10 cm，在进行飞镖训练时，若人离靶的距离为5 m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是( )
A．当v≥50 m/s时，飞镖将射中第8环的线内
B．当v＝50 m/s时，飞镖将射中第6环线
C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50eq \r(2) m/s
D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为25eq \r(2) m/s
BD [当v＝50 m/s时，运动的时间t＝eq \f(x,v)＝0.1 s，则飞镖在竖直方向上的位移y＝eq \f(1,2)gt2＝0.05 m＝5 cm，将射中第6环线，当v≥50 m/s时，飞镖将射中第6环线以内，A错误，B正确；若要击中第10环的线内，飞镖下降的最大高度为0.01 m，根据h＝eq \f(1,2)gt2得t1＝eq \f(\r(5),50) s，则飞镖的最小初速度vm1＝eq \f(x,t1)＝50eq \r(5) m/s，C错误；若要击中靶子，飞镖下降的高度不能超过0.1 m，根据h＝eq \f(1,2)gt2，得t2＝eq \f(\r(2),10) s，则飞镖的最小速度vm2＝eq \f(x,t2)＝25eq \r(2) m/s，D正确。]
求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
平抛运动中的STSE问题
1．以生产、科技等生活素材为背景编制高考试题是近年高考命题的一大亮点，分析和解答这类问题的关键在于将题中所涉及的物体的实际运动与相应的物理运动(模型)联系起来，完成由“实际问题”到“物理模型”的过渡。
2．平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，这些模型经常受到边界条件的制约，如网球是否触网或越界等。解题的关键是能准确地运用平抛运动规律分析对应的运动特征。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条件，尽可能画出示意图，应用平抛运动规律求解。
乒乓球的平抛运动
[示例1] (多选)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的球1和球2，如图所示。不计乒乓球的旋转和空气阻力。乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )
A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率
B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率
C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
D．过网时球1的速度大于球2的速度
AD [乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B错误；由h＝eq \f(1,2)gt2可得两球飞行时间相同，C错误；由x＝vt可知，球1的水平位移较大，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D正确。]
足球的平抛运动问题
[示例2] 如图所示为足球球门，球门宽为L。一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
A．足球位移的大小x＝eq \r(\f(L2,4)＋s2)
B．足球初速度的大小v0＝eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2)))
C．足球末速度的大小v＝eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2))＋4gh)
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝eq \f(L,2s)
B [根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝eq \r(s2＋\f(L2,4))，则足球位移的大小为：x＝eq \r(x\\al(2,水平)＋h2)＝eq \r(s2＋\f(L2,4)＋h2)，选项A错误；由h＝eq \f(1,2)gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2)))，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，可得足球末速度v＝eq \r(v\\al(2,0)＋2gh)＝eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,4)＋s2))＋2gh)，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝eq \f(2s,L)，选项D错误。]
网球的平抛运动问题
[示例3] 如图所示是运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点的示意图，不计空气阻力，已知eq \x\t(AB)＝h1，网高h2＝eq \f(5,9)h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．落点D与网之间的垂直距离为eq \f(1,3)x
B．网球的初速度大小为xeq \r(\f(g,h1))
C．若击球高度低于eq \f(20,27)h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于eq \f(x\r(2gh1),h1)，球一定落在对方界内
C [因为h1－h2＝eq \f(4,9)h1，由公式t＝eq \r(\f(2h,g))可知，eq \f(tBC,tBD)＝eq \f(2,3)，由x＝v0t可知eq \f(x,x1)＝eq \f(2,3)，其中x1为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝eq \f(1,2)x，选项A错误；球从B到D的过程中，有h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，eq \f(3,2)x＝v0t1，得v0＝eq \f(3,4)xeq \r(\f(2g,h1))，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,v′0)))eq \s\up12(2)，h′＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,v′0)))eq \s\up12(2)，又有h2＝eq \f(5,9)h1，联立解得h′＝eq \f(20,27)h1，若击球高度小于该临界高度，球不可能落到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又恰好过网，根据h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，得t1＝eq \r(\f(2h1,g))，则球的最大初速度v0max＝eq \f(2x,t1)＝eq \f(x,h1)eq \r(2gh1)，h1－h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，得t2＝eq \r(\f(2h1－h2,g))，则球的最小初速度v0min＝eq \f(x,t2)＝xeq \r(\f(g,2h1－h2))，选项D错误。]
排球的平抛运动问题
[示例4] 排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
[解析] (1)球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m
代入得v1＝12eq \r(2) m/s
球以v2速度被击回，球正好触网
h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m，
x′＝3 m代入
得v2＝6eq \r(5) m/s
故球被击回的速度范围是
6eq \r(5) m/s(2)若h较小，如果击球速度大，会越界，如果击球速度小则会触网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则eq \f(x,\r(\f(2h,g)))＝eq \f(x′,\r(\f(2h′,g)))，x、x′的数值同(1)中的值，
h′＝h－2.25 m
由此得h＝2.4 m
故若h<2.4 m，无论击球的速度多大，球总是触网或越界。
[答案] (1)6eq \r(5) m/s运动情景
物理量分析
vy＝gt，tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)→t＝eq \f(v0,gtan θ)
x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2→tan θ＝eq \f(y,x)→t＝eq \f(2v0tan θ,g)
tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)→t＝eq \f(v0tan θ,g)
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝eq \f(gt,v0)＝eq \f(gt2,v0t)＝eq \f(2y,x)＝2tan θ ，α＝φ－θ
tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)→t＝eq \f(v0tan θ,g)
在半圆内的平抛运动，h＝eq \f(1,2)gt2，R＋eq \r(R2－h2)＝v0t