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新教材高考数学一轮复习第7章7.1基本立体图形直观图几何体的表面积和体积课件
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这是一份新教材高考数学一轮复习第7章7.1基本立体图形直观图几何体的表面积和体积课件，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，平行且相等，任意多边形，直角边，半圆面或圆面，特殊的四棱柱，πrl，πr1+r2l等内容，欢迎下载使用。
素养提升微专题6 三视图识图中的易误辨析
1.空间几何体的结构特征
有一个公共顶点的三角形
3.直观图(1)画法:斜二测画法.(2)步骤:①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的 .
4.多面体的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6.柱、锥、台和球的表面积和体积
1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为2.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( )(4)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.( )
2.(2020天津,5)若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12π B.24π C.36πD.144π
3.(2020河北衡水中学高三九调)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为( )A.12 cmB.13 cmD.15 cm
答案 C 解析 将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是矩形对角线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×1=6(cm),宽等于5 cm,由勾股定理得所求最短路线的长为 (cm).故选C.
4.(多选)(2020山东蒙阴实验中学高三期末)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,侧面PCD⊥平面ABCD,BC=2 ,CD=PC=PD=2 .若点M为PC的中点,则下列说法正确的为( )A.BM⊥平面PCDB.PA∥平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M-ABCD的体积为6
答案 BC 解析如图在四棱锥P-ABCD中,由题知,侧面PCD⊥平面ABCD,交线为CD,底面ABCD为矩形,BC⊥CD,则BC⊥平面PCD,过点B有且只有一条直线与平面PCD垂直,所以选项A错误.连接AC交BD于点O,连接MO,在△PAC中,OM∥PA,MO⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,
所以PA∥平面MBD,所以选项B正确.因为M为PC中点,故四棱锥M-ABCD的体积是四棱锥P-ABCD的体积的一半,取CD中点N,连接PN,
5.(2020江苏镇江质检)已知一个圆锥的底面积为π,侧面积为2π,则该圆锥的体积为 .
【例1】 (1)(多选)下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的各侧棱相交于一点,但不一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点相连的线段都是圆锥的母线
(2)给出下列几个命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3
(3)(2020全国1,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
答案 (1)CD (2)B (3)C 解析 (1)A错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在的直线,所得的几何体都不是圆锥;C正确,因为棱锥是一个面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,所以棱锥的各侧棱相交于一点,但各侧棱不一定相等;由母线的概念知,选项D正确.故选CD.
(2)①错误,只有这两点的连线段平行于轴时才是母线;②正确;③错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故正确命题的个数是1.故选B.
解题心得辨别空间几何体的两种方法
对点训练1(1)给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是 .
(2)(2019全国2,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .
解析 (1)①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面两两构成的三个二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.
(2)由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,
【例2】 (1)(2020河南周口模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为( )
(2)在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,从围成斜截面的曲线上任意一点向底面圆所在平面作垂线,垂线段最短50 cm,最长80 cm,则斜截圆柱的侧面面积为 cm2.
答案 (1)A (2)2 600π
解析 (1)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC,则AA1⊥BC,又AB⊥BC,AA1∩AB=A,所以BC⊥平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B=30°.又AA1=AC=2,所以A1C=2 ,BC= .又AB⊥BC,则AB= ,则该三棱柱的侧面积为2× ×2+2×2=4+4 .
(2)将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱,则圆柱的侧面展开图为矩形.由题意得所求侧面展开图的面积S= ×(50+80)×(π×40)=2 600π(cm2).
解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路
对点训练2(1)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( )
答案 (1)A (2)D
(2)∵在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱挖去一个底面半径为AB=1,高为BC-AD=2-1=1的圆锥的组合体,
考向1 直接利用公式求体积【例3】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D-BB1C1的体积为 .
考向2 割补法求体积【例4】 (1)(2019全国3,理16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 .
又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).
考向3 等体积法求体积【例5】 如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( )
解题心得求空间几何体的体积的常用方法
对点训练3(1)(2020浙江镇海中学高三3月模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2 ,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )
(3)如图,已知体积为V的三棱柱ABC-A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一点,则四棱锥P-AA1C1C的体积为 .
考向1 几何体的外接球【例6】 (2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( )
对点训练4(2020全国1,文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )A.64π B.48πC.36π D.32π
考向2 几何体的内切球【例7】 (1)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 . (2)(2020全国3,理15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
解题心得解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是:
对点训练5(1)已知正三棱锥的高为1,底面边长为2 ,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径为 . (2)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2a的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2a.若在这个四棱锥内放一球,则此球的最大半径为 .
解析 (1)如图,过点P作PD⊥平面ABC于点D,连接AD并延长交BC于点E,连接PE,
素养提升微专题6 数学建模(用导数求体积的最大值)
【例1】 如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为( )
【例2】 在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是( )
【例3】 如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
点评求几何体体积最大值的基本思路是根据题意设出一个几何量,用该量表示出几何体的体积,然后根据体积表达式求其最大值,若表达式是一个三次以上的函数,一般通过求导的方法求最大值.
素养提升微专题6 三视图识图中的易误辨析
1.空间几何体的结构特征
有一个公共顶点的三角形
3.直观图(1)画法:斜二测画法.(2)步骤:①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的 .
4.多面体的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
6.柱、锥、台和球的表面积和体积
1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为2.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( )(4)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.( )
2.(2020天津,5)若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12π B.24π C.36πD.144π
3.(2020河北衡水中学高三九调)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为( )A.12 cmB.13 cmD.15 cm
答案 C 解析 将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是矩形对角线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×1=6(cm),宽等于5 cm,由勾股定理得所求最短路线的长为 (cm).故选C.
4.(多选)(2020山东蒙阴实验中学高三期末)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,侧面PCD⊥平面ABCD,BC=2 ,CD=PC=PD=2 .若点M为PC的中点,则下列说法正确的为( )A.BM⊥平面PCDB.PA∥平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M-ABCD的体积为6
答案 BC 解析如图在四棱锥P-ABCD中,由题知,侧面PCD⊥平面ABCD,交线为CD,底面ABCD为矩形,BC⊥CD,则BC⊥平面PCD,过点B有且只有一条直线与平面PCD垂直,所以选项A错误.连接AC交BD于点O,连接MO,在△PAC中,OM∥PA,MO⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,
所以PA∥平面MBD,所以选项B正确.因为M为PC中点,故四棱锥M-ABCD的体积是四棱锥P-ABCD的体积的一半,取CD中点N,连接PN,
5.(2020江苏镇江质检)已知一个圆锥的底面积为π,侧面积为2π,则该圆锥的体积为 .
【例1】 (1)(多选)下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的各侧棱相交于一点,但不一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点相连的线段都是圆锥的母线
(2)给出下列几个命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3
(3)(2020全国1,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
答案 (1)CD (2)B (3)C 解析 (1)A错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在的直线,所得的几何体都不是圆锥;C正确,因为棱锥是一个面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,所以棱锥的各侧棱相交于一点,但各侧棱不一定相等;由母线的概念知,选项D正确.故选CD.
(2)①错误,只有这两点的连线段平行于轴时才是母线;②正确;③错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故正确命题的个数是1.故选B.
解题心得辨别空间几何体的两种方法
对点训练1(1)给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是 .
(2)(2019全国2,理16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .
解析 (1)①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面两两构成的三个二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.
(2)由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,
【例2】 (1)(2020河南周口模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为( )
(2)在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,从围成斜截面的曲线上任意一点向底面圆所在平面作垂线,垂线段最短50 cm,最长80 cm,则斜截圆柱的侧面面积为 cm2.
答案 (1)A (2)2 600π
解析 (1)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC,则AA1⊥BC,又AB⊥BC,AA1∩AB=A,所以BC⊥平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B=30°.又AA1=AC=2,所以A1C=2 ,BC= .又AB⊥BC,则AB= ,则该三棱柱的侧面积为2× ×2+2×2=4+4 .
(2)将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱,则圆柱的侧面展开图为矩形.由题意得所求侧面展开图的面积S= ×(50+80)×(π×40)=2 600π(cm2).
解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路
对点训练2(1)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( )
答案 (1)A (2)D
(2)∵在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱挖去一个底面半径为AB=1,高为BC-AD=2-1=1的圆锥的组合体,
考向1 直接利用公式求体积【例3】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D-BB1C1的体积为 .
考向2 割补法求体积【例4】 (1)(2019全国3,理16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 .
又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).
考向3 等体积法求体积【例5】 如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( )
解题心得求空间几何体的体积的常用方法
对点训练3(1)(2020浙江镇海中学高三3月模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2 ,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )
(3)如图,已知体积为V的三棱柱ABC-A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一点,则四棱锥P-AA1C1C的体积为 .
考向1 几何体的外接球【例6】 (2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( )
对点训练4(2020全国1,文12)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )A.64π B.48πC.36π D.32π
考向2 几何体的内切球【例7】 (1)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 . (2)(2020全国3,理15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
解题心得解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是:
对点训练5(1)已知正三棱锥的高为1,底面边长为2 ,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径为 . (2)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2a的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2a.若在这个四棱锥内放一球,则此球的最大半径为 .
解析 (1)如图,过点P作PD⊥平面ABC于点D,连接AD并延长交BC于点E,连接PE,
素养提升微专题6 数学建模(用导数求体积的最大值)
【例1】 如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为( )
【例2】 在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是( )
【例3】 如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
点评求几何体体积最大值的基本思路是根据题意设出一个几何量,用该量表示出几何体的体积,然后根据体积表达式求其最大值,若表达式是一个三次以上的函数,一般通过求导的方法求最大值.
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