高考数学统考一轮复习第2章函数第2节函数的单调性与最值学案

　函数的单调性与最值

[考试要求]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．

(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

2．函数的最值

1．函数单调性的结论

(1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；＜0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．

(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．

(4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．

(5)函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．

(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．

2．函数最值存在的两个结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (　　)

(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数． (　　)

(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)

(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材习题衍生

1．下列函数中，定义域为R且为减函数的是(　　)

A．y＝e－x    B．y＝x3    C．y＝ln x    D．y＝|x|

A　[函数y＝e－x定义域为R且为减函数．y＝x3定义域为R且为增函数．函数y＝ln x定义域为(0，＋∞)．函数y＝|x|定义域为R，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选A．]

2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．

[1，＋∞)　[f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因此函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．]

3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．

　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，

即k＜－.]

4．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

2　　[易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]

考点一　求函数的单调区间                    

[典例1]　求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋1；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝.

[解]　(1)由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

(2)由x＋1≠0得x≠－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，

f(x)＝＝＝2－

，其图象如图所示．

由图象知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．

(3)由x2＋x－6≥0得x≤－3或x≥2，即函数f(x)的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，

令u＝x2＋x－6，

则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．

易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，

所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．

[母题变迁]

若把本例T(1)函数解析式改为f(x)＝|x2－4x＋3|，试求函数f(x)的单调区间．

[解]　先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象．如图所示．

由图可知f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的单调递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2,3]．

点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．

(2)重视函数f(x)＝(ac≠0)的图象与性质(对称中心、单调性、渐近线)．

1．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)

A．[1,2]   B．[－1,0]

C．(0,2]   D．[2，＋∞)

A　[由题意得，f(x)＝

当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；

当x＜2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1,2]是函数f(x)的单调递减区间．]

2．函数f(x)＝的单调递减区间为________．

(－∞，1)和(1，＋∞)　[由x－1≠0得x≠1，即函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，

又f(x)＝＝＝1＋，其图象如图所示，由图象知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．]

3．函数f(x)＝的单调递增区间为________．

[－1,1)　[由3－2x－x2＞0得－3＜x＜1，即函数f(x)的定义域为(－3,1)，令u＝3－2x－x2，则u＝－(x＋1)2＋4，易知u在(－3，－1]上是增函数，在[－1,1)上是减函数，而y＝在(0，＋∞)上是减函数，则f(x)＝的单调递增区间为[－1,1)．]

考点二　函数单调性的判断与证明              

[典例2]　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

[解]　法一：设－1＜x1＜x2＜1，

f(x)＝a＝a，

f(x1)－f(x2)＝a－a

＝，

由于－1＜x1＜x2＜1，

所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，

故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上递增．

法二：f′(x)＝＝，

所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，

即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，

当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．

判断函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．

[解]　设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．

当0＜x1＜x2≤时，0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

所以函数f(x)在(0，]上是减函数；

当≤x1＜x2时，x1x2＞a，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．

综上可知，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

考点三　函数单调性的应用                  

　比较函数值的大小

[典例3－1]　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＞a＞b　　　　　　 B．c＞b＞a

C．a＞c＞b   D．b＞a＞c

D　[根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]

点评：本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．

　解函数不等式

[典例3－2]　已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)＜f(m2－1)的解集为________．

(0,1)　[f(x)＝则f(x)在(－1,1)上单调递减，不等式f(1－m)＜f(m2－1)可转化为

解得0＜m＜1.]

点评：解答此类题目时，应注意隐含条件，如本例

　求参数的值或取值范围

[典例3－3]　(1)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)

A．{－3}   B．(－∞，3)

C．(－∞，－3]   D．[－3，＋∞)

(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是(　　)

A．(1,2)   B．

C．   D．

(1)C　(2)C　[(1)y＝＝1＋＝1＋，由题意知得a≤－3.

所以a的取值范围是(－∞，－3]．

(2)由已知条件得f(x)为增函数，

所以

解得≤a＜2，

所以a的取值范围是.故选C．]

点评：分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．

1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)

B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)

C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)

D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)

A　[因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．]

2．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)

A．[－1,2)   B．[0,2)

C．[0,1)   D．[－1,1)

C　[因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，

所以函数在[－2,2]上单调递增，

所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C．]

3．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．

(－∞，－4)　[函数y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上是增函数．

y＝＝＝2＋，

由题意知函数y＝在(3，＋∞)上是增函数，

则有4＋k＜0，解得k＜－4.]

4．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．

　[由题意知，

解得

所以a∈.]

考点四　函数的最值(值域)                

[典例4]　(1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,2]   B．[－1,0]

C．[1,2]   D．[0,2]

(2)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．

(1)D　(2)3　(3)　[(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，

即x＝1时，等号成立．

故当x＝1时取得最小值2＋a，

∵f(x)的最小值为f(0)，

∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，

此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.

又a≥0，得0≤a≤2.故选D．

(2)∵f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.

(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]

1．函数f(x)＝的最大值为________．

2　[当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.]

2．函数f(x)＝x＋的最小值为________．

1　[法一：(换元法)令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，

所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.

配方得y＝＋，

又因为t≥0，所以y≥＋＝1，

故函数y＝x＋的最小值为1.

法二：(单调性法)因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.]