2022年中考数学真题分类汇编：22图形的相似解析版

这是一份2022年中考数学真题分类汇编：22图形的相似解析版，共14页。试卷主要包含了单选题，四条直线于D，填空题等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学真题分类汇编：22 图形的相似
一、单选题
1．如图，点A(0，3)、B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是（　　）
A．(7，2) B．(7，5) C．(5，6) D．(6，5)
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；图形的平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】如图过点C作x轴垂线，垂足为点E，
∵∠ABC=90°
∴∠ABO+∠CBE=90°
∵∠CBE+BCE=90°
∴∠ABO=∠BCE
在ΔABO和ΔBCE中，
∠ABO=∠BCE∠AOB=∠BEC=90° ，
∴ΔABO∽ΔBCE，
∴ABBC=AOBE=OBEC=12 ，
则BE=2AO=6 ，EC=2OB=2
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案为：D

【分析】过点C作x轴垂线，垂足为点E，利用余角的性质可证得∠ABO=∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABO∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出BE，EC的长利用点的坐标平移规律可知点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到即可得到点D的坐标.
2．在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝（　　）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC＝DE2BC2=14.
故答案为：D.

【分析】根据中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，则可证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质得出S△ADES△ABC＝DE2BC2，即可解答.
3．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　）
A．OB=12CE B．△ACE是直角三角形
C．BC=12AE D．BE=CE
【答案】D
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥DB，AO=OC，
∴∠AOB=90°，
∵CE∥BD，
∴∠ACE=∠AOB=90°，
∴△ACE是直角三角形，故B选项正确；
∵∠ACE=∠AOB=90°，∠CAE=∠OAB，
∴Rt△ACE∼Rt△AOB，
∴OBCE=ABAE=OAAC=12，
∴OB=12CE，AB=12AE，故A选项正确；
∴BC为Rt△ACE斜边上的中线，
∴BC=12AE，故C选项正确；
现有条件不足以证明BE=CE，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，由平行线的性质可得∠ACE=∠AOB=90°，据此判断B；易证△ACE∽△AOB，根据相似三角形的性质可判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可判断C.
4．如图，在四边形 ABCD 中， ∠B=90° ， AC=6 ， AB∥CD ， AC 平分 ∠DAB .设 AB=x ， AD=y ，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，
∵AC 平分 ∠DAB ，∴∠BAC=∠CAD ，
∴∠ACD=∠CAD ，则 CD=AD=y ，即 △ACD 为等腰三角形，
过 D 点做 DE⊥AC 于点 E .
则 DE 垂直平分 AC ， AE=CE=12AC=3 ， ∠AED=90° ，
∵∠BAC=∠CAD ， ∠B=∠AED=90° ，
∴△ABC∽△AED ，
∴ACAD=ABAE ，∴6y=x3 ，
∴y=18x ，
∵在 △ABC 中， AB ∴x<6 ，
故 y 关于 x 的函数图象是D.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得∠ACD=∠CAD，利用等角对等边可证得CD=AD=y，过点D作DE⊥AC于点E，由等腰三角形的性质，可推出DE垂直平分AC，可求出AE的长；再证明是△ABC∽△AED，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x，y的方程，然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且x＜6，观察各选项中的图象，可得到符合题意的选项.
5．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（　　）（结果精确到 0.01m .参考数据： 2≈1.414 ， 3≈1.732 ， 5≈2.236 ）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度约是xm，则上部的高度为（2-x）m，
∵使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴2-xx=x2
解之：x1=5-1≈1.24，x2=-5-1（舍去）
经检验，x1是方程的根，
故答案为：B.
【解答】设该雕像的下部设计高度约是xm，则上部的高度为（2-x）m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，建立关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值.
6．如图，在 △ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1， △EBD的面积为S2．则 S2S1 =（　　）
A．12 B．14 C．34 D．78
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴S2S1=DE2AC2=122=14，
故答案为：B.

【分析】根据中位线定理得出DE=12AC，DE∥AC，则可证明△BED∽△BAC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.
7．若 △ABC∼△DEF ， BC=6 ， EF=4 ，则 ACDF= （　　）
A．49 B．94 C．23 D．32
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∼△DEF
∴BCEF=ACDF，
∵BC=6 ， EF=4 ，
∴ACDF=64=32
故答案为：D.
【分析】直接根据相似三角形对应边成比例进行计算即可.
8．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ABCD ，其中 ∠A=90° ， AB=9 ， BC=7 ， CD=6 ， AD=2 ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（　　）
A．252 B．454 C．10 D．354
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，

∵剪掉的是两个直角三角形，
∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠FED=∠CBE，
∴△FED∽△CBE，
∴DFCE=FEBC=DEBE
∵矩形ABEF，
∴AB=EF=9，
设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y
∴xy=97=6+yx+2
解之：x=274y=214
经检验x=274y=214是有原方程组的解
∴DE=6+214=454，故B不符合题意；
BE=274+2=354，故D不符合题意；
如图2

同理可知△CFD∽△EFB，
∴DFBF=DCEF=CFBE
设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，
∴n7+m=69=mn+2
解之： m=8n=10
经检验m=8n=10是原方程组的解，
∴DF=10，故C不符合题意；
BF=7+8=15，故A符合题意；
故答案为：A.
【分析】分情况讨论：如图1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；再求出DE，BE的长，可对B，D作出判断；如图2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再求出DF，BF的长，可对A，C作出判断.
9．如图，点E在矩形 ABCD 的 AB 边上，将 △ADE 沿 DE 翻折，点A恰好落在 BC 边上的点F处，若 CD=3BF ， BE=4 ，则 AD 的长为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，
∵△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，
∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∴△FCD∽△EBF，
∴CD：BF=FC：EB，
又∵CD=3BF，
∴FC：EB=3：1，
∵BE=4，
∴FC=12，
设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，
∴BF=a+43，
在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，
∴（a+43）2+42=a2，
整理，解得：a=-4（舍去）或a=5，
∴BF=3，
∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12，设AE=EF=a，则AB=CD=a+4，从而得BF=a+43，由勾股定理得到a的方程（a+43）2+42=a2，解得a=5，求得BF的长，进而求出AD的长.
10．如图，将矩形 ABCD 沿着 GE 、 EC 、 GF 翻折，使得点 A 、 B 、 D 恰好都落在点 O 处，且点 G 、 O 、 C 在同一条直线上，同时点 E 、 O 、 F 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
①GF∥EC ；②AB=435AD ；③GE=6DF ；④OC=22OF ；⑤△COF∽△CEG .
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝2a，
∴AB＝2AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝22a，
∴OF＝DF＝22a，
∴6DF＝6×22a＝3a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=3a，
∴GE=6DF，
∴③符合题意；
∵22OF＝22×22a＝2a，
∴OC=22OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝2a，从而得AB＝2AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝22a，从而得OF＝DF＝22a，进而求得GE=6DF；又22OF＝22×22a＝2a，从而可得∴OC=22OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
11．△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 △DEF的周长是（　　）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比=412=13，
∴△ABC的周长△DEF的周长=13，
∴△DEF的周长=3（2+3+4）=27.
故答案为：C.
【分析】先求出△ABC∽△DEF的相似比=13，从而得出△ABC的周长△DEF的周长=13，即可得出△DEF的周长=3（2+3+4）=27.
12．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设AN＝a，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ANAM
∴DE8=a6
∴DE＝ 43 a，
∴△DEF面积S＝ 12 ×DE×MN
＝ 12 × 43 a•（6﹣a）
＝﹣ 23 a2+4a
＝﹣ 23 （a﹣3）2+6，
∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6.
故答案为：A.
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，设AN＝a，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得DE＝43a，然后根据三角形的面积公式以及偶次幂的非负性进行解答.
13．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BAG+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠APB＝90°，
∴∠BCE+∠OPC＝90°，
∴∠POC＝90°，
∴EC⊥AG，故①正确；
取AC的中点K，如图：
在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝OK，
在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，
∴AK＝CK＝BK，
∴AK＝CK＝OK＝BK，
∴A、B、O、C四点共圆，
∴∠BOA＝∠BCA，
∵∠BPO＝∠CPA，
∴△OBP∽△CAP，故②正确，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴∠AOC+∠ADC＝180°，
∴A、O、C、D四点共圆，
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，
由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，
故正确的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取AC的中点K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.
14．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， ADDB=23 ，DE＝6cm，则BC的长为（　　）
A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ADDB=23 ，
∴ADAB=25，
∵DE∥BC，
∴DEBC=ADAB=25，
∴BC=DE×52=15cm.
故答案为：C.

【分析】根据比例的性质得出ADAB=25，然后根据平行线分线段成比例的性质求出DEBC=ADAB=25，则可解答.
15．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上：若线段AB=3，则线段BC的长是（　　）
A．23 B．1 C．32 D．2
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，

∵AD=2DE，
∵BD∥CE，
∴ABAC=ADAE=2，
∵AB=3，
∴BC=12AB=32.
故答案为：C.

【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3，即可求出BC长.
二、填空题
16．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是　 　米.
【答案】134
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵BF∥ED ，
∴∠BAO=∠EDF ，
∵∠AOB=∠DEF=90° ，
∴△ABO∽△DEF ，
∴BO∶EF=AO∶FD ，
∴BO∶2=268∶4 ，
∴BO=134 .
故答案为：134.
【分析】根据平行线的性质可得∠BAO=∠EDF，易证△ABO∽△DEF，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出BO的值.
17．在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为　 　．
【答案】313或154或6
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=9，AD=BC=12，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
如图，当∠APE=90°时，
∴∠APB+∠CPE=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠CPE，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴ABPC=BPCE，即912−BP=BP4，
解得：BP=6；
如图，当∠AEP=90°时，
∴∠AED+∠PEC=90°，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠PEC，
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECP，
∴ADCE=DEPC，即124=9−4PC，
解得：PC=53，
∴BP=BC−PC=313；
如图，当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，
根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，
∴四边形ABPF为矩形，
∴PF=AB=9，AF=PB，
∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠DAE=∠APF，
∵∠F=∠D=90°，
∴△APF∽△EAD，
∴AFDE=PFAD，即AF9−4=912，
解得：AF=154，即PB=154；
综上所述，BP的长为313或154或6．
故答案为：313或154或6

【分析】分三种情况：①当∠APE=90°时，②当∠AEP=90°时，③当∠PAE=90°时，过点P作PF⊥DA交DA延长线于点F，分别画出图象并利用相似三角形的判定和性质求解即可。
18．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1=∠2.若BC=4，AF=2，CF=3，则EF=　 　.
【答案】85
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFBC=AFAC，
∵BC=4，AF=2，CF=3，
∴EF4=22+3，
∴EF=85.
故答案为：85.
【分析】易证△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
19．如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时t的值为　 　.
【答案】25+2
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
由图2可得AB=BC=4cm，
∵∠B=36°，AB=BC，
∴∠BAC=∠C=72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°，
∴AP=BP，∠APC=72°=∠C，
∴AP=AC=BP，
∵∠PAC=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴APAB=PCAC，
∴AP2=AB⋅PC=4(4−AP)，
∴AP=25−2=BP，(负值舍去)，
∴t=4+25−21=25+2.
故答案为：25+2.
【分析】连接AP，由图2可得AB=BC=4cm，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠C=72°，根据角平分线的概念可得∠BAP=∠PAC=36°，推出AP=AC=BP，证明△APC∽△BAC，根据相似三角形的性质可得AP，据此求解.
20．九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈　 　DE.（精确到0.001）
【答案】0.618
【知识点】矩形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，
则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴EGDE=yx−y≈0.382xx−0.382x≈0.618，
∴EG≈0.618DE.
故答案为：0.618.
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝x-y，易得四边形EFGM是矩形，EG＝MF＝y，根据DE≈0.618AD可得y≈0.382x，然后根据EGDE=yx-y进行解答.
三、综合题
21．如图1，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(−1，0)、C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；
（3）点Q在抛物线上，当PDAD的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(−1，0)、C(0，3)，
∴a−2+c=0c=3解得a=−1c=3
∴该抛物线的函数表达式为y=−x2+2x+3
（2）解：如图，连接OP，
令y=−x2+2x+3=0，
∴x1=−1，x2=3.
∴B(3，0)
∵C(0，3)，P(1，4)，
∴OC=3，OB=3，xP=1，yP=4.
∴S△POC=12OC⋅xP=32，S△BOP=12OB⋅yP=6.
∴S四边形BOCP=S△POC+S△BOP=152
（3）解：如图，作PF∥x轴，交直线BC于点F，
则△PFD∽△ABD.
∴PDAD=PFAB.
∵AB=4是定值，
∴当PF最大时，PDAD=PFAB最大.
设yBC=kx+b，
∵C(0，3)，B(3，0)，
∴yBC=−x+3.
设P(m，−m2+2m+3)，则F(m2−2m，−m2+2m+3).
∴PF=m−(m2−2m)=−m2+3m=−(m−32)2+94.
∴当m=32时，PF取得最大值94，此时P(32，154).
设点Q(t，−t2+2t+3)，若△APQ是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合，
∴t≠32，t≠−1，下面分三类情况讨论：
①若∠APQ=90°，如图，
过点P作PP2⊥x轴于点P2，作QP1⊥P2P交P2P的延长线于点P1，则△PP1Q∽△AP2P.
∴QP1PP1=PP2AP2.
∴32−t−t2+2t+3−154=15432+1.
∵t≠32，
∴1t−12=32.
∴t=76.
②若∠PAQ=90°，如图，过点P作直线PA1⊥x轴于点A1，过点Q作QA2⊥x轴于点A2，△APA1∽△QAA2.
∴PA1AA1=AA2QA2.
∴15432+1=t+1t2−2t−3.
∵t≠−1，
∴32=1t−3.
∴t=113.
③若∠AQP=90°，如图，过点Q作QQ1⊥x轴于点Q1，作PQ2⊥Q1Q交Q1Q的延长线于点Q2，则△PQQ2∽△QAQ1.
∴PQ2QQ2=QQ1AQ1.
∴t−32154−(−t2+2t+3)=−t2+2t+3t+1.
∵t≠32，t≠−1，
∴22t−1=3−t.
∴t1=1，t2=52.
综上所述，当PDAD的值最大且△APQ是直角三角形时，点Q的横坐标为76，113，52，1.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、C（0，3）代入y=ax2+2x+c中可求出a、c的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）连接OP，令y=0，求出x的值，可得点B的坐标，然后根据S四边形BOCP=S△POC+S△BOP结合三角形的面积公式进行解答；
（3）作PF∥x轴，交直线BC于点F，则△PFD∽△ABD，可得：当PF最大时，PDAD=PFAB最大，利用待定系数法求出直线BC的解析式，设P（m，-m2+2m+3），则F（m2-2m，-m2+2m+3），表示出PF，根据二次函数的性质可得PF的最大值以及对应的点P的坐标，设Q（t，-t2+2t+3），①若∠APQ=90°，过点P作PP2⊥x轴于点P2，作QP1⊥P2P交P2P的延长线于点P1，则△PP1Q∽△AP2P，根据相似三角形的性质可得t；②若∠PAQ=90°，如图，过点P作直线PA1⊥x 轴于点A1，过点Q作QA2⊥x轴于点A2，则△APA1∽△QAA2，根据相似三角形的性质可得t；③若∠AQP=90°，过点Q作QQ1⊥x轴于点Q1，作PQ2⊥Q1Q交q1q的延长线于点q2，则△PQQ2∽△QAQ1，根据相似三角形的性质可得t.
22．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，14a）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣14a上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣14a叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF= 12a，例如，抛物线y＝12x2，其焦点坐标为F（0，12），准线方程为l：y＝﹣12.其中MF=MN，FH=2OH=1.
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　.
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝18x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：ACAB＝BCAC＝5−12.后人把5−12这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.
如图4所示，抛物线y＝14x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当MHMF＝2时，请直接写出△HME的面积值.
【答案】（1）（0，18）；y=−18，
（2）解：由题意得抛物线y＝18x2的准线方程为y=−14a=−2，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当y=4时，18x2=4，
解得x=±42，
∴点P的坐标为（42，4）或（−42，4 ）
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，14a）直线l的解析式为：y＝﹣14a，
∴BD∥AE∥CH，FH=12a，
∴△FDB∽△FHC，
∴BDHC=FDFH=FBFC，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴BDHC=FDFH=FBFC=13，
∴FD=16a，
∴OD=OF−DF=112a，
∴点B的纵坐标为112a，
∴112a=ax2，
解得x=36a（负值舍去），
∴BD=36a，
∵AE∥BD，
∴△AEF∽△BDF，
∴AEEF=BDDF=3，
∴AE=3EF，
∵AE2+EF2=AF2，
∴4EF2=AF2=16，
∴EF=2，
∴AE=23，
∴点A的坐标为（−23，2+14a），
∴2+14a=12a，
∴48a2−8a−1=0，
∴(12a+1)(4a−1)=0，
解得a=14（负值舍去）
（4）解：S△HME=25−2或S△HME=3−5
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，18），y=−18，
故答案为：（0，18），y=−18，
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，
则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，sin∠MHN=MNMH=MFMH=22，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，14m2），
∴MN=14m2+1=−m=HN，
∴m=−2，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴HE=5−12HF=5−1，
∴S△HME=12HE⋅NH=5−1；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，EF=5−12HF=5−1，
∴HE=2−5+1=3−5，
∴S△HME=12HE⋅NH=3−5，
综上所述，S△HME=25−2或S△HME=3−5
【分析】（1）根据y=2x2可得a=2，则焦点坐标为（0，14a），准线l的方程为y=-14a，据此解答；
（2）由题意得抛物线y＝18x2的准线方程为y=-14a=-2，结合点P到准线l的距离为6可得点P的纵坐标为4，令y=4，求出x的值，据此可得点P的坐标；
（3）过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，由题意得F（0，14a），直线l的解析式为：y＝-14a，易证△FDB∽△FHC，根据相似三角形的性质可得CF=3BF，FD=16a，OD=112a，令y=112a，求出x，据此可得BD，证明△AEF∽△BDF，根据相似三角形的性质可得AE=3EF，结合勾股定理求出EF，进而可得AE，然后表示出点A的坐标，据此求出a的值；
（4）当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，求出sin∠MHN的值，可得∠MHN=45°，推出△MNH是等腰直角三角形，设M（m，14m2），根据MN=HN可得m的值，根据黄金分割点的特征求出HE，利用三角形的面积公式求出S△HME，同理可求出当E时靠近H的黄金分割点时△HME的面积.
23．如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2.
（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE=　 　，直线AD与直线CE的位置关系是　 　；
（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan(60°−α)的值.
【答案】（1）3；垂直
（2）解：结论成立.
理由：∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
∵AB=3BC，BD=3BE，
∴ACBC=DBEB，
∴△ABD∽△CBE，
∴ADEC=ABBC=3，∠ADB=∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB=180°，
∴∠CDB+∠BEC=180°，
∴∠DBE+∠DCE=180°，
∵∠DBE=90°，
∴∠DCE=90°，
∴AD⊥EC
（3）解：如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K.
∵∠AJB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABJ=60°，
∴∠KBJ=60°−α.
∵AB=33，
∴BJ=12AB=332，AJ=3BJ=92，
当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，
∴∠ADB=90°，AD=AB2−BD2=(33)2−(23)2=15，
设KT=m，则AT=3m，AK=2m，
∵∠KTB=∠ADB=90°，
∴tanα=KTBT=ADBD，
∴mBT=1523，
∴BT=255m，
∴3m+255m=33，
∴m=45−61511，
∴AK=2m=90−121511，
∴KJ=AJ−AK=92−90−121511=2415−8122，
∴tan(60°−α)=KJBJ=85−9311
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，∠A=30°，
∴AB=3BC=33，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，BE=2，
∴BD=3BE=23，
∴EC=1，AD=3，
∴ADEC=3，此时AD⊥EC.
故答案为：3，垂直；
【分析】（1）根据三角函数的概念可得AB=3BC=33，BD=3BE=23，易得EC=BC-BE=1，AD=AB-BD=3，据此求解；
（2）根据同角的余角相等可得∠ABD=∠CBE，证明△ABD∽△CBE，由相似三角形的性质可得
ADEC=ABBC=3，∠ADB=∠BEC，由邻补角的性质可得∠ADB+∠CDB=180°，结合∠DBE=90°可得∠DCE=90°，据此解答；
（3）过B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过K作KT⊥AC于点K，易得∠ABJ=60°，∠KBJ=60°-α，根据三角函数的概念可得BJ、AJ，当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，利用勾股定理可得AD，设KT=m，则AT=3m，AK=2m，根据三角函数的概念可得BT，由AB=AT+BT可得m，然后求出AK、KJ，再根据三角函数的概念计算即可.
24．回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE =12∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（2）解：添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，
∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（3）能.
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，
当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴BFAF=CFBF，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴2x+2=x2，
整理，得x2+2x−4=0，
解得x=5−1，x=−5−1（舍去），
故CF= x=5−1，
∴0＜CF＜5−1．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
②方法同①，通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（2）添加条件CD=BE，再通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，先证明△CBF∽△BAF，可得BFAF=CFBF，再设CF=x，可得2x+2=x2，整理得到x2+2x−4=0，求出x的值，即可得到答案。
25．如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线 MN∥AB ．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： tan76° 取4， 17 取4.1）
【答案】（1）解：∵水面截线 MN∥AB
∴BC⊥AB ，
∴∠ABC=90° ，
∴∠C=90°−∠CAB=76° ，
在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90° ， BC=1.7 ，
∴tan76°=ABBC=AB1.7 ，
解得 AB≈6.8(m) ．
（2）解：过点 O 作 OH⊥MN ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
∵ 水面截线 MN∥AB ， OH⊥AB ，
∴DH⊥MN ， GM=OD ，
∴DH 为最大水深，
∵∠BAM=7° ，
∴∠BOM=2∠BAM=14° ，
∵∠ABC=∠OGM=90° ，且 ∠BAC=14° ，
∴△ABC∼△OGM ，
∴OGAB=MGCB ，即 OG6.8=MG1.7 ，即 OG=4GM ，
在 Rt△OGM 中， ∠OGM=90° ， OM=AB2≈3.4 ，
∴OG2+GM2=OM2 ，即 （4GM）2+GM2=(3.4)2 ，
解得 GM≈0.8 ，
∴DH=OH−OD=6.8−0.8≈6 ，
∴ 最大水深约为 6.0 米．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数可得tan76°=ABBC=AB1.7，再求出AB≈6.8(m)即可；
（2）过点 O 作 OH⊥MN ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，先证明△ABC~△OGM可得 OGAB=MGCB ，即 OG6.8=MG1.7 ，所以OG=4GM，再利用勾股定理可得（4GM）2+GM2=(3.4)2，求出GM≈0.8，再利用线段的和差可得DH=OH−OD=6.8−0.8≈6。