2021-2022学年山东省枣庄市高二下学期期末数学试题含解析

这是一份2021-2022学年山东省枣庄市高二下学期期末数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由排列数公式判断即可
【详解】因为是连续9个数和相乘，
所以，
故选：A
2．从1~7这七个数字中选3个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．210B．120C．90D．45
【答案】C
【分析】先从2，4，6中选1个排在个位，再从剩下的6个数选2个排在十位和百位，根据分步乘法计数原理可求.
【详解】先从2，4，6中选1个排在个位，有种情况，再从剩下的6个数选2个排在十位和百位，有种，则根据分步乘法计数原理可得偶数的个数为个.
故选：C.
3．的展开式的第6项的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用通项公式可得答案.
【详解】通项为，令，解得，
所以展开式的第6项的系数为.
故选：D.
4．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的（ ）
A．30倍B．25倍C．20倍D．15倍
【答案】B
【分析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果．
【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，
所以，，
所以，
所以净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的倍；
故选：B
5．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A．变量与不独立
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【分析】直接利用独立性检验的知识求解.
【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B;
依据的独立性检验，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过”这个结论.故C正确，D错误.
故选：C
6．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
7．某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】若最大，则，解出的范围，代入数值.
【详解】因为 ，若最大，则
，化简得： ， .
代入已知数值得： ，所以 时最大.
故选：C.
8．已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，将点M的坐标代入切线方程，可得关于的方程有三个不同的解，利用参变分离可得，令，利用导数求出的单调性和极值，则根据与有三个不同的交点，即可求出实数t的取值范围
【详解】设切点为，
由，得，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为点M（1，t）在切线上，
所以，
化简整理得，
令，则，
所以当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
所以的极小值为，极大值为，
当时，，
所以的图象如图所示，
因为过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，
所以的图象与直线有三个不同的交点，
所以由图象可得，
故选：D
二、多选题
9．对经验回归方程，下列正确的有（ ）
A．决定系数越小，模型的拟合效果越好
B．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
C．不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值
D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好
【答案】BCD
【分析】利用相关系数与模型的拟合效果可判断A选项；利用经验回归方程的特点可判断BC选项；利用残差平方和与模型的拟合效果可判断D选项.
【详解】对于A选项，决定系数越小，模型的拟合效果越差，A错；
对于B选项，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，B对；
对于C选项，经验回归方程得到的是响应变量的预报值，不是响应变量的精确值，C对；
对于D选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D对.
故选：BCD.
10．甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（附：若随机变量，则，，）
A．甲地数学的平均成绩比乙地的低B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C．D．若，则
【答案】AD
【分析】从图像的对称轴可以读出平均分大小关系，从图像的离散程度可分析出方差的关系，选项C利用正态曲线的对称性判断，选项D可以通过计算得出.
【详解】观察图像可以看出，甲的平均分为，小于乙的平均分，A选项正确；图像中还可以看出乙地数据更加集中，故乙地方差更小，B错误；根据对称性，，C选项错误；时，根据题干数据，，根据对称性，，另有，根据对称性，，于是，D选项正确.
故选：AD.
11．下列命题正确的有（ ）
A．现有1、3、7、13四个数，从中任取两个相加得到个不相等的和；从中任取两个相减得到不相等的差，则
B．在的展开式中，含的项的系数为65
C．若（，为有理数），则
D．
【答案】BC
【分析】由组合与排列公式判断A，根据二项式定理判断B、C，根据组合数的性质判断D；
【详解】解：对于A：因为个数各不相同，且不存在两个数之和与另外两数之和相等，
所以从中任取两个相加可得到个不相等的和，即，
因为，，所以从中任取两个相减得到不相等的差， 即，所以，故A错误；
对于B：展开式中含项为，即项的系数为，故B正确；
对于C：因为展开式的通项为，
所以，即，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：BC
12．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意可得方程的两根为，利用导数和数学结合的思想研究函数的单调性，即可判断A；利用二次求导和研究函数的单调性，即可判断C、D；构造函数，
利用二次求导和函数的对称性研究函数的单调性，进而判断B.
【详解】由题意知，函数的定义域为，
，则的两根为，
由，得，
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，作出函数与函数的图像，如图，
由图可知，解得，故A错误；
又，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
由，得，所以，
又，所以，
故函数在和上单调递减，在上单调递增，
有，故C错误；，故D正确；
设，
则，即函数关于点对称，
，令，
则，
当时，，，
所以在上，，函数单调递减，且，
则在上，即，函数单调递增，
又关于点对称，所以函数在单调递增，
所以，有，
又，所以，由，
得，又函数在单调递增，
所以，即，故B正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知函数，则曲线在点处的切线的方程为______．
【答案】
【分析】求导，根据导数的几何意义即可得出答案.
【详解】解：，
则，
所以曲线在点处的切线的方程为，
即.
故答案为：.
14．将4名博士分配到3个不同的实验室，每名博士只分配到一个实验室，每个实验室至少分配一名博士，则不同的分配方案有______种．
【答案】36
【分析】可得必有2名博士分配到同一个实验室，直接计算可得.
【详解】必有2名博士分配到同一个实验室，所以不同的分配方案有种.
故答案为：36.
15．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
【答案】
【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值.
【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增，是极小值点，于是在，只可能使得最大.
故答案为：
16．已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．
【答案】
【分析】根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解.
【详解】因为，
由，
得.
故答案为：.
四、解答题
17．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”，利用条件概率公式可得的值；
（2）利用条件概率的性质和公式可求得所求事件的概率.
【详解】(1)解：设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”．
则，，，，
由全概率公式，所求概率为
．
(2)解：所求概率为.
18．若的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中的常数项为．
(1)求n，a的值；
(2)若，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）展开式中只有第4项的二项式系数最大可得n，利用展开式中的常数项为和通项可得a；
（2）令得，两边再同乘以得，求出可得答案．
【详解】(1)由题意，n＝6，
展开式的通项，k＝0，1，…，6，
令6－2k＝0，得k＝3，
由题意，得，即．
解得a＝1．
(2)由（1），知，
令，得，
即，
上式两边同乘以，得，
由，
令，得，
所以．
19．某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为，甲做完4道题后的总得分为．
(1)试建立关于的函数关系式，并求；
(2)求的分布列及 ．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
【分析】（1）答对的题数和得分列很容易列出一次函数关系，在利用二项分布的概率公式求；
（2）根据（1）中的关系，及二项分布的概率公式来写出分布列，然后先求，利用数学期望运算性质求出.
【详解】(1)由题意，
由，得．所以，而，
所以．
(2)由题意，知．
的对应值表为：
于是，；
；
；
；
．
20．已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)求证：时，．
【答案】(1);
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得在恒成立，求出，再分离常数即可求得答案；
(2)由可得，所以转化成证明．
方法一：令，只需证明 即可.
方法二：即证，令，利用导数求出的最小值；令，利用导数求出的最大值，即可证明.
方法三：因为，，由不等式的传递性即可证明.
【详解】(1)因为在单调递增，
所以在恒成立，即，
所以．
令，显然在上单调递减，所以在上的最大值为．
因此，．
(2)证明：当时，．只需证明．
令，则函数的定义域为．
．因为是增函数，在上单调递增，
所以在上单调递增．
又因为，，
由零点存在性定理，存在唯一的，使得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，．
由，得，．
于是．
所以，．
证法2：要证，即证．
设，则．
；，
所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增．
所以．
设，则．
；，
所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减．
所以．
可见，．
所以原结论成立．
证法3：要证明，而，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号．
所以，即．
21．某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
(1)求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；如果，则线性相关程度较弱）；
(2)求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；
(3)当公司对其产品研发的年投资额为600万元时，估计产品的年销售量．
参考公式：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和；
称为变量x和y的样本相关系数；
线性回归方程中，，；
参考数据：．
【答案】(1)，变量x和y的线性相关程度很强
(2)
(3)15.9千件
【分析】（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；
（2）根据公式即可求出和即可得出回归方程；
（3）代入即可求出.
【详解】(1)由题意，，，
，
，
所以，
因为，所以变量x和y的线性相关程度很强．
(2)，．
所以年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为．
(3)当x＝6时，由（2）．
所以研发的年投资额为600万元时，产品的年销售量约为15.9千件．
22．已知函数在区间内存在极值点．
(1)求a的取值范围；
(2)判断关于x的方程在内实数解的个数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)实数解有三个，理由见解析
【分析】（1）求出函数导数，讨论和，讨论导数的正负即可求解；
（2）两次求导，根据零点存在性定理进行判断可以得出.
【详解】(1)．
①当时，因为，所以．
所以在（－1，0）上单调递减，所以在（－1，0）上无极值点．
故不符合题意．
②当a>1时，因为在（－1，0）上单调递增，在（－1，0）上单调递增，
所以在（－1，0）上单调递增．
又，，，
所以存在唯一的，使得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以在（－1，0）内存在极小值点，满足题意．
综上，a的取值范围是．
(2)当时，单调递减．
又，，所以存在唯一的，使得．
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，，所以存在唯一的，使得．
当时，；当时，．
又当时，恒成立，
结合（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，，，，所以在内共有三个零点，方程在内的实数解有三个．
【点睛】关键点睛：本题考查含参函数的极值点和零点问题，解题的关键是利用存在性定理结合单调性判断导数的正负.
0
1
2
3
4
－8
－2
4
10
16
x
1
2
3
4
5
y
1.5
2
3.5
8
15