人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案含解析

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、教材概念·结论·性质重现

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．

(2)商数关系：tan α＝.

(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．

(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化．

(3)掌握变形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，sin2α＝，cos2α＝.

2．诱导公式

(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．

(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：

也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．( √ )

(2)诱导公式中的角α可以是任意角．( × )

(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.( × )

(4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则m<－5或m≥3.( × )

2．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－　　　 B．　　　

C．　　　 D．－

D　解析：因为tan α＝，所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－.故选D.

3．已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值是(　　)

A．   B．

C． D．－

B　解析：sin 239°·tan 149°＝sin (270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝.

4．若sin α＝，<α<π，则tan α＝________.

－　解析：因为<α<π，

所以cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－.

5．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．

－sin2α　解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.

考点1　同角三角函数基本关系的应用——应用性

考向1　知弦求切

(2020·福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈，则tan α＝________.

－2　解析：因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈，所以＋8＝0，

整理可得3cos2α－8cos α－3＝0，

解得cos α＝－或cos α＝3(舍去)．

所以sin α＝＝.

所以tan α＝＝－2.

若本例的条件改为“＝2，α∈”．求tan α的值．

解：因为＝2，

所以sin α＝2＋2cos α.

两边平方，得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，

即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，

整理得，5cos2α＋8cos α＋3＝0，

解得cos α＝－1或cos α＝－.

当cos α＝－1时，1＋cos α＝0，无意义；

当cos α＝－时，sin α＝，所以tan α＝＝－.

本例为已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的取值范围，即三角函数值的符号．

考向2　知切求弦

已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋2.

解：由已知得tan α＝.

(1)＝＝－.

(2)sin2α＋sin αcos α＋2

＝＋2＝＋2

＝＋2＝.

利用“切弦互化”的技巧

(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值．

常见的结构：

①sin α，cos α的齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)；

②sin α，cos α的齐次分式.

(2)切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切、余切时，采用此技巧．

考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系

已知－π<x<0，sin x＋cos x＝，求sin x－cos x的值．

解：由已知，得sin x＋cos x＝，

两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，

所以sin x－cos x＝±.

由－π<x<0知，sin x<0，

又sin xcos x＝－<0，

所以cos x>0.所以sin x－cos x<0.

故sin x－cos x＝－.

本例中若将条件“－π<x<0”改为“0<x<π”，求sin x－cos x的值．

解：因为0<x<π，2sin xcos x＝－，

所以sin x>0，cos x<0，

所以sin x－cos x>0，

故sin x－cos x＝.

“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用

sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解题时已知一个可求另外两个．

1．已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)

A． B．－ 

C． D．－

D　解析：因为cos α＝－且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－.故选D.

2．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　)

A．－   B． 

C． D．－

D　解析：因为sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcos x＝1－，所以2sin xcos x＝－＜0，所以x为钝角，所以sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.

3．(2020·化州二模)已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则的值为________．

　解析：由f(x)＝x3得f′(x)＝2x2，

所以f′(1)＝2，故tan α＝2.

所以＝＝＝.

考点2　诱导公式的应用——基础性

(1)(多选题)在△ABC中，下列关系恒成立的是(　　)

A．tan(A＋B)＝tan C 

B．cos(2A＋2B)＝cos 2C

C．sin＝sin

D．sin＝cos

BD　解析：对于A，由于tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，故A错误；

对于B，由于cos(2A＋2B)＝cos 2(π－C)＝cos 2C，故B正确；

对于C，sin＝sin＝cos，故C错误，D正确．

(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．

0　解析：因为cos＝cos＝－cos

＝－a，

sin＝sin ＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.

(1)利用诱导公式解题的一般思路

①化绝对值大的角为锐角；

②角中含有±的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

(2)常见的互余和互补的角

提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错．

1．已知sin(π＋α)＝－，则tan＝(　　)

A．2 B．－2 

C． D．±2

D　解析：因为sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，所以tan＝＝±2.故选D.

2．(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)

A．充分而不必要条件 

B．必要而不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

C　解析：①当存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ时，

若k为偶数，则sin α＝sin(kπ＋β)＝sin β；

若k为奇数，则sin α＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β，充分性成立；

②当sin α＝sin β时，α＝β＋2nπ或α＝π－β＋2nπ，n∈Z，

即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n＋1)，

亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性成立．

所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的充要条件．故选C.

已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值．

[四字程序]

思路参考：解方程组

解：由消去cos x，

整理得(5sin x－4)2＝0.

解得sin x＝，cos x＝.

故tan x＝＝.

思路参考：注意到3cos x＋4sin x的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．

解：3cos x＋4sin x＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝.

所以tan φ＝.

所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．

于是tan x＝tan＝＝.

思路参考：令tan x＝t，借助已知条件用t表示sin x和cos x.

解：令tan x＝t，即tcos x＝sin x，

代入3cos x＋4sin x＝5，

得3cos x＋4tcos x＝5，

所以cos x＝，sin x＝.

再代入sin2x＋cos2x＝1，得2＋2＝1，解得t＝，即tan x＝.

思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝，利用三角函数的定义．

解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝.

把sin x＝，cos x＝代入已知等式得3·＋4·＝5.

即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．

整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.

显然m≠0，故tan x＝＝.

思路参考：设点A(cos x，sin x)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tan x＝kOA.

解：由3cos x＋4sin x＝5可知点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．

由于直线3x＋4y＝5的斜率为－，所以OA的斜率为，即tan x＝.

思路参考：m＝(cos x，sin x)，n＝，证明m∥n.

解：因为cos x＋sin x＝1，不妨令m＝(cos x，sin x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1.

所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.

由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，

则有cos x＝sin x，即tan x＝.

1．基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握运算求解能力，转化与化归的能力，体现数学运算的核心素养．

2．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，对提升思维的灵活性起到了积极的作用．

已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值．

解：因为sin θ－2cos θ＝－，

所以sin θ＝2cos θ－.

所以2＋cos2θ＝1.

所以5cos2θ－cos θ－＝0，

即＝0.

又因为θ为第一象限角，所以cos θ＝，

所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝.