人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形新高考新题型微课堂4开放题命题热点之解三角形学案含解析

第4章 三角函数与解三角形

四　开放题命题热点之解三角形

数学开放题是高考的一种新题型，此类问题的核心是培养学生的创造意识和创新能力，激发学生独立思考和创新的意识．开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考．解三角形是开放性命题的热点之一．

　三角形中基本量的计算

(2020·全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？

解：(方法一)由sin A＝sin B可得＝，

不妨设a＝m，b＝m(m>0)，

则c2＝a2＋b2－2abcos C＝3m2＋m2－2×m×m×＝m2，即c＝m，所以b＝c.

选择条件①：

据此可得ac＝m×m＝m2＝，所以m＝1，此时a＝，b＝c＝1，三角形存在．

选择条件②：

据此可得cos A＝＝＝－，所以A＝.

则sin A＝，

所以csin A＝m×＝3，所以m＝2，则b＝c＝2，a＝6，三角形存在．

选择条件③：

因为b＝c，与条件c＝b矛盾，所以问题中的三角形不存在．

(方法二)因为sin A＝sin B，C＝，B＝π－(A＋C)，

所以sin A＝sin(A＋C)

＝sin

＝sin A＋cos A，

所以sin A＝－cos A，所以tan A＝－，所以A＝，

所以B＝C＝，所以b＝c.

若选①，ac＝，因为a＝b＝c，所以c2＝，

所以c＝1，即a＝，b＝c＝1，三角形存在；

若选②，csin A＝3，则＝3，得c＝2，即a＝6，b＝c＝2，三角形存在；

若选③，与条件c＝b矛盾，三角形不存在．

避免失误准确解题

(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的情况，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．

(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角、大角对大边的规则，可以通过画图来帮助判断．

(2020·德州一模)在条件①2cos A(bcos C＋ccos B)＝a，②csin＝asin C，③(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝，b－c＝2，________.

求BC边上的高．

解：若选条件①.

由正弦定理得2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A＝sin(B＋C)，

即2cos Asin(B＋C)＝sin(B＋C)，得cos A＝.

因为0<A<π，所以A＝.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

所以化简得c2＋2c－3＝0，

解得c＝1或c＝－3(舍)，从而b＝3.

设BC边上的高为h，所以bcsin A＝ah，

解得h＝.

若选条件②.

由正弦定理得sin Csin＝sin Asin C.

因为sin C≠0，所以sin＝sin A.

由A＋B＋C＝180°，

可得sin＝cos，

故cos＝2sincos.

因为cos≠0，所以sin＝，因此A＝.

下同选条件①.

如选条件③.

由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，

由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得cos A＝＝.

因为0<A<π，所以A＝.

下同选条件①.

　与三角形的面积和周长有关的问题

(2020·青岛三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.

(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面积S＝10，请指出这三个条件，并说明理由；

(2)若a＝3，求△ABC周长L的取值范围．

解：因为＝，

所以sin Acos B＋sin Acos C＝cos A·sin B＋cos Asin C，

即sin Acos B－cos Asin B＝sin Ccos A－cos Csin A，

所以sin(A－B)＝sin(C－A)．

因为A，B，C∈(0，π)，

所以A－B＝C－A，即2A＝B＋C，所以A＝.

(1)△ABC还同时满足条件①③④.

理由如下：

若△ABC同时满足条件①②，

由正弦定理得sin B＝＝>1，此时B无解．

所以△ABC不能同时满足条件①②，

所以△ABC同时满足条件③④.

所以S△ABC＝bcsin A＝×b×8×＝10，

解得b＝5与②矛盾，

所以△ABC还同时满足条件①③④.

(2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2.

因为C＝－B，

所以b＝2sin B，

c＝2sin，

所以L＝a＋b＋c

＝2＋3

＝6＋3

＝6sin＋3.

因为B∈，所以B＋∈，

所以sin∈.

所以△ABC周长L的取值范围为(6,9]．

解答三角形的面积和周长有关问题的策略

(1)利用三角恒等变换公式化简已知条件等式，并注意用正弦定理、余弦定理进行边角互化．

(2)根据条件选择三角形面积公式或计算三角形的周长．

(3)若求最值，注意根据条件利用均值不等式或三角函数的性质求最值．

(2020·临沂高三期末)在①cos A＝，cos C＝，②csin C＝sin A＋bsin B，B＝60°，③c＝2，cos A＝三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，________，求△ABC的面积S.

解：若选①.

因为cos A＝，cos C＝，A，C∈(0，π)，

所以sin A＝，sin C＝，

所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.

由正弦定理得b＝＝＝，

所以S＝absin C＝×3××＝.

若选②.

因为csin C＝sin A＋bsin B，

所以由正弦定理得c2＝a＋b2.

因为a＝3，所以b2＝c2－3.

又因为B＝60°，

所以b2＝c2＋9－2×3×c×＝c2－3，

解得c＝4，

所以S＝acsin B＝3.

若选③.

因为c＝2，cos A＝，

所以由余弦定理得＝，

即2b2－b－10＝0，

解得b＝或b＝－2(舍去)．

因为A∈(0，π)，所以sin A＝＝，

所以S＝bcsin A＝××2×＝.