新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第1节任意角弧度制与任意角的三角函案含解析

这是一份新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第1节任意角弧度制与任意角的三角函案含解析，共8页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第4章 三角函数与解三角形课程标准命题解读1.借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性．2.用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．3.探索和研究三角函数之间的一些恒等关系．4.利用三角函数构建数学模型，解决实际问题．5.能用余弦定理，正弦定理解决简单的实际问题.考查形式：一般为一个选择题或一个填空题和一个解答题考查内容：三角函数的定义、图象与性质、同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理．备考策略：(1)熟练应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式化简、求值．(2)重视对三角函数图象和性质的研究，注意将问题和方法进行归纳、整理．(3)加强正弦、余弦定理应用方面的训练．核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.第一节　任意角、弧度制与任意角的三角函数一、教材概念·结论·性质重现1．角的概念(1)分类(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式①弧度与角度的换算：360°＝2π rad,180°＝π rad.②弧长公式：l＝αR.③扇形面积公式：S扇形＝lR和S扇形＝αR2.说明：②③公式中的α必须为弧度制．有关角度与弧度的两个注意点角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．三角函数的概念(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．(2)三角函数定义的推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)小于90°的角是锐角． (×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然． (×)(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等． (×)(4)三角形的内角必是第一、第二象限角． (×)2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(　　)A．  B．  C．－  D．－D　解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5.故cos α＝＝＝－.故选D．3．已知sin A>0且tan A<0，则角A的终边在(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限B　解析：因为sin A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．4．在与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．－　解析：2 020°＝＝12π－，所以与2 020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－.5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．6π　解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.考点1　象限角及终边相同的角——基础性1．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　)A．－是第二象限角B．是第三象限角C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角BCD　解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)C　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边在～内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边在π＋～π＋内，结合选项知选C.3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．－675°或－315°　解析：所有与45°终边相同的角表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)．令－720°<45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°<k×360°<－45°(k∈Z)，解得－<k<－(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．一或三　解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．(1)判断象限角的两种方法.图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤．①用终边相同的角的形式表示出角α的范围．②写出kα或的范围．③根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．  考点2　扇形的弧长、面积公式——综合性已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)因为α＝60°＝，所以l＝α·R＝×10＝(cm)．(2)由题意得解得(舍去)或故扇形的圆心角为.(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．(方法一)S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.(方法二)S＝lR＝l(2R)≤＝25，当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，此时α＝2. 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值．1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)A．2  B．4  C．6  D．8C　解析：设扇形的半径为r(r＞0)，弧长为l.由扇形面积公式可得2＝lr＝αr2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4.所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.2．(2021·青铜峡市高三期中)《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(　　)A．1.012米  B．1.768米  C．2.043米  D．2.945米B　解析：“弓”所在弧长为l＝＋＋＝，其所对圆心角为α＝＝，所以两手之间的距离约为×1.25≈1.768.考点3　三角函数的定义及应用——应用性考向1　三角函数的定义(1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　)A．(2cos θ，sin θ)   B．(－2cos θ，2sin θ)C．(－2cos θ，－2sin θ)   D．(2cos θ，－2sin θ)C　解析：由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos θ，－2sin θ)．(2)(2020·深圳模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)A．  B．－  C．±  D．±A　解析：因为角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)＝(－8m，－3)，cos α＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝.由cos α＝＝－，解得m＝(m>0)． 三角函数定义的应用策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． 考向2　三角函数值的符号(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)A．cos 2α>0   B．cos 2α<0C．sin 2α>0   D．sin 2α<0D　解析：因为α是第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．故选D.(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)A．小于0   B．大于0C．等于0   D．大于等于0A　解析：因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0.所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.故选A．(3)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　)A．第一象限角   B．第二象限角C．第三象限角   D．第四象限角C　解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． (1)三角函数值符号及角的终边位置判断．已知角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．(2)三角函数值的符号规律．一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　)A．  B．  C．－  D．－D　解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝x＝，解得x＝－3，所以tan α＝＝－.2．(2020·永州祁阳二模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin 2θ＝(　　)A．  B．－  C.  D．－D　解析：在角θ的终边所在直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝|a|.由三角函数的定义知sin θ＝，cos θ＝，故sin 2θ＝2sin θ·cos θ＝2··＝－.故选D.3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　　)A．(－2,3]  B．(－2,3)  C．[－2,3)  D．[－2,3]A　解析：因为cos α≤0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．所以所以－2<a≤3.故选A．