人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第5节指数与指数函数学案理含解析

第五节　指数与指数函数

‖知识梳理‖

1．根式的性质

(1)()n＝a(a使有意义)．

(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝

2．分数指数幂的意义

(1)a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

(2)a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

4．指数函数的图象和性质

►常用结论

(1)画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

(2)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．

(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．

(4)指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x轴有交点，向上(或向下)平移a个单位长度后，图象都在直线y＝a(或y＝－a)的上方．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)＝π－4.(　　)

(2)与()n都等于a(n∈N*)．(　　)

(3)(－1)＝(－1)＝.(　　)

(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数. (　　)

(5)若am>an，则m>n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

二、走进教材

2．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过，则f(－1)＝(　　)

A．1 B．2

C． D．3

答案：C

3．(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　)

A．y＝a(1＋p%)x(0<x<m)

B．y＝a(1＋p%)x(0<x≤m，x∈N)

C．y＝a(1＋xp%)(0<x<m)

D．y＝a(1＋xp%)(0<x≤m，x∈N)

答案：B

三、易错自纠

4．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)

A．－9 B．7

C．－10 D．9

解析：选B　原式＝26×－1＝23－1＝7.故选B．

5．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．

解析：令x－2＝0，则x＝2，

此时f(x)＝1－3＝－2，

故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．

答案：(2，－2)

6．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．

解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，

∴0<a－2<1，即2<a<3.

答案：(2，3)

|题组突破|

1．求值：＋2－2×－(0.01)0.5.

解：原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.

2．化简：a×b－2×(－3a－b－1)÷(4a·b－3).

解：原式＝－ab－3÷(4a·b－3)

＝－ab－3÷(ab)

＝－ab

＝－·＝－.

3．化简：(a>0，b>0)．

解：原式＝

＝a－1b1－2＝ab－1＝.

►名师点津

【例1】　(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

(2)已知f(x)＝|2x－1|，当a<b<c时，有f(a)>f(c)>f(b)，则必有(　　)

A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b>0，c>0

C．2－a<2c D．1<2a＋2c<2

[解析]　(1)由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D；又当x＝0时，f(x)＝0，排除C．

(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a<b<c，且有f(a)>f(c)>f(b)，所以必有a<0，0<c<1，且|2a－1|>|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1.故选D．

[答案]　(1)A　(2)D

►名师点津

有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

|跟踪训练|

1．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)

解析：选D　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，所以A项错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C项错误，D项正确．故选D．

2．(2019届唐山模拟)当x∈[1，2]时，函数y＝x2与y＝ax(a>0且a≠1)的图象有交点，则a的取值范围是(　　)

A． B．∪(1，]

C． D．

解析：选B　当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足×22≥a2，即1<a≤；当0<a<1时，如图②所示，需满足×12≤a1，即≤a<1，综上可知，a∈∪(1，]．故选B．

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．

常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．

●命题角度一　比较指数式的大小

【例2】　(2019届大连模拟)设y1＝0.90.2，y2＝0.90.4，y3＝1.20.1，则(　　)

A．y2>y1>y3 B．y3>y1>y2

C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2

[解析]　对于y1＝0.90.2，y2＝0.90.4，y3＝1.20.1，∵y＝0.9x在R上是减函数，故有1>y1>y2.

∵y＝1.2x在R上是增函数，y3＝1.20.1>1.20＝1，

∴y3>y1>y2，故选B．

[答案]　B

►名师点津

比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．

●命题角度二　与指数函数有关的函数值域问题

【例3】　已知0≤x≤2，则y＝4x－3·2x＋5的最大值为________．

[解析]　令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，

又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，∵1≤t≤4，∴当t＝1时，ymax＝.

[答案]　

►名师点津

形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0且a≠1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．

●命题角度三　探究指数型函数的性质

【例4】　(1)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]

(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

[解析]　(1)由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．

(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

[答案]　(1)B　(2)(－∞，4]

►名师点津

与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．

|跟踪训练|

3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c B．a<c<b

C．b<a<c D．b<c<a

解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.故选C．

4．(2019届福州模拟)设函数f(x)＝则满足f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是______________．

解析：由题意知，当x>0时，f(x)单调递增，故f(x)>f(0)＝0，而x≤0时，x＝0，

故由f(x2－2)>f(x)，则x2－2>x，且x2－2>0，

解得x>2或x<－.

答案：(－∞，－)∪(2，＋∞)

【例】　设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)

A．K的最大值为0 B．K的最小值为0

C．K的最大值为1 D．K的最小值为1

[解析]　根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D．

[答案]　D

►名师点津

根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解．

|跟踪训练|

(2019届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数f(x)的图象上；②点A，B关于坐标原点对称，则(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，(A，B)与(B，A)可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f(x)＝则f(x)的“姊妹点对”有(　　)

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

解析：选C　依题意知，“姊妹点对”(A，B)满足：点A，B都在函数f(x)的图象上，且点A，B关于坐标原点对称．作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可．当x＝1时，0<<1，观察图象可得它们有2个交点，即f(x)的“姊妹点对”有2个，故选C．