人教版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数i第4节二次函数与幂函数学案理含解析

第四节　二次函数与幂函数

‖知识梳理‖

1．幂函数

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.

(2)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

►常用结论

(1)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．

(2)一元二次不等式恒成立的条件

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是

②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)

(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、走进教材

2．(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)

A． B．1

C． D．2

答案：C

3．(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是___________________．

答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞)

三、易错自纠

4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)

A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0

C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0

解析：选A　由f(0)＝f(4)>f(1)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0.又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A．

5．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，则a的取值范围是____________________．

解析：由y＝x－2的图象关于y轴对称知，函数y＝x－2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

因为(a＋1)－2>(3－2a)－2，

所以或

或或

解得－1<a<或a∈∅或a<－1或a>4，所以a的取值范围是(－∞，－1)∪∪(4，＋∞)．

答案：(－∞，－1)∪∪(4，＋∞)

|题组突破|

1．(2019届福建龙岩新罗区期中)若函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f(x)(　　)

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是单调递减函数 D．在定义域内有最小值

解析：选B　由幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm的图象与坐标轴无交点，可得m2－m－1＝1，且m≤0，解得m＝－1，则函数f(x)＝x－1，是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B．

2．已知点在幂函数f(x)＝(t－2)xa的图象上，则t＋a＝(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析：选B　∵点在幂函数f(x)＝(t－2)xa的图象上，∴f＝(t－2)＝27，且t－2＝1，

解得t＝3，a＝－3，∴t＋a＝3－3＝0.故选B．

3．如图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象．已知n分别取±2，±四个值，与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为(　　)

A．2，，－，－2 B．2，，－2，－

C．－，－2，2， D．－2，－，，2

解析：选A　根据幂函数y＝xn的性质及在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，递增速度越快，故曲线C1对应的n＝2，曲线C2对应的n＝；当n<0时，x→＋∞时，|n|越大，曲线递减速度越快，所以曲线C3对应的n＝－，曲线C4对应的n＝－2.故选A．

►名师点津

幂函数的图象与性质问题的解题策略

(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．

(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．

(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．

|题组突破|

4．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是(　　)

A．②④ B．①④

C．②③ D．①③

解析：选B　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B．

5．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3，0) B．(－∞，－3]

C．[－2，0] D．[－3，0]

解析：选D　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件；

当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，由f(x)在[－1，＋∞)上递减，知解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．故选D．

6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是(　　)

A．在x轴上截得的线段的长度是2

B．与y轴交于点(0，3)

C．顶点是(－2，－2)

D．过点(3，0)

解析：选C　由已知得，解得b＝－4a，c＝3a，∴二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，∴其顶点的横坐标为2.故选C．

►名师点津

二次函数性质应用的求解策略

(1)先定性：当二次项系数含参数时，要分类讨论：二次项参数大于0，等于0，小于0.

(2)再定量：根据分类，画出符合条件的草图，结合图象列式计算．

【例】　设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，求g(a)．

[解]　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，

∴对称轴为直线x＝1.

当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；

当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.

综上，g(a)＝

|变式探究|

1．(变条件)若“y＝x2－ax，x∈[－2，2]”，问题不变．

解：∵对称轴x＝，∴①当≤－2，即a≤－4时，此时在[－2，2]上单调递增，故当x＝－2时，ymin＝g(－2)＝4＋2a.

②当≥2，即a≥4时，此时在[－2，2]上单调递减，∴当x＝2时，ymin＝g(2)＝4－2a.

③当－2<<2，即－4<a<4时，

函数在x＝时取得最小值，即ymin＝g＝－.

综上，g(a)＝

2．(变条件)若“y＝ax2－2x，x∈[0，1]”，问题不变．

解：①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，

∴f(x)min＝f(1)＝－2；

②当a≠0时，有f(x)＝a－.

(ⅰ)当a>0时，函数f(x)的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.∴f(x)min＝f＝－；当＞1，即0<a<1时，函数f(x)的图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2；

(ⅱ)当a<0时，函数f(x)的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在[0，1]的左侧，∴f(x)在[0，1]上递减，

∴f(x)min＝f(1)＝a－2.

综上所述，g(a)＝

►名师点津

求二次函数在给定区间上最值的方法

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：

(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：

f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．

(2)当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：

f(x)在[m，n]上是单调函数．若－<m，f(x)在[m，n]上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<－，f(x)在[m，n]上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)．

(3)当不能确定对称轴－是否属于区间[m，n]时：

则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．

|跟踪训练|

求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．

解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，

由题意得，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.

①当－a<，即a>－时，

f(x)max＝f(2)＝4a＋5；

②当－a≥，即a≤－时，

f(x)max＝f(－1)＝2－2a，

综上，f(x)max＝

【例】　设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是________．

[解析]　由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图象有两个交点时，m的取值范围为.

[答案]　

►名师点津

本题的关键是抓住“关联函数”的定义，充分利用二次函数图象结合数形结合思想去求解．

|跟踪训练|

(2019届江西红色七校第一次联考)定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f′(x1)＝f′(x2)＝，则称函数f(x)是[a，b]上的“中值函数”．已知函数f(x)＝x3－x2＋m是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是________．

解析：由题意，知f′(x)＝x2－x在[0，m]上存在x1，x2(0<x1<x2<m)，满足f′(x1)＝f′(x2)＝＝m2－m，所以方程x2－x＝m2－m在(0，m)上有两个不相等的解．令g(x)＝x2－x－m2＋m(0<x<m)，

则

答案：