2022届河北省衡水中学高考一模数学试题含解析

这是一份2022届河北省衡水中学高考一模数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届河北省衡水中学高考一模数学试题一、单选题1．已知､是全集的两个非空子集.若，则下列说法可能正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过，得到之间的关系，再结合韦恩图即可得到答案.【详解】由可得       ，如图， 由图①②，，，，A,B,C错误；由图②，D正确.故选：D.2．已知，则下列结论一定正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，则，对于A中，由，所以，所以A不正确；对于B中，由，且，则，所以B不正确；对于C中，由，且，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以C不正确；对于D中，由，因为，可得，所以，可得，所以D正确.故选：D.3．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（       ）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有 种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由 种方法；按照分步乘法原理，共有 种方法；故选：C.4．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用对数的运算性质求出，由此可得答案.【详解】,所以.故选：C5．若，则的值为（       ）A．1或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】由已知得，所以或，解三角方程可得答案.【详解】由，得，即，所以或，由得，由得或，综上的值为、.故选：D.6．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，过点与轴垂直的直线与直线交于点.若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】联立直线与，得到，继而得到，代入椭圆求解即可【详解】由题意，由直线方程的截距式可得直线为：过点与轴垂直的直线为：联立可得故，中点，代入椭圆方程得，解得（舍负）故选：A7．已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设球的半径为，外接圆的半径为，根据题意求出，再根据球心到的距离，即三棱锥的高，从而可得出答案.【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，在中，由，，则得，所以，因为球O的表面积为，则，解得，所以球心到的距离，即三棱锥的高为，，所以三棱锥的体积.故选：C.8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式【详解】因为，所以，函数在上单调递增，且，因为所以，所以，即，又，所以，所以，即，综上，.故选：D二、多选题9．如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（       ）A．三棱柱外接球的表面积为B．C．若交于，则D．将三棱柱分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为【答案】CD【解析】对于，将该三棱柱视为正方体的一部分，利用正方体的对角线为外接球的直径可求得外接球的表面积为，故A项错误；对于，延长与交于点，连接交于，连接得到截面，可推得与不平行，可知B项错误；对于，在中，计算可知C项正确；对于，利用体积公式计算可知D项正确.【详解】如图所示：将该三棱柱视为正方体的一部分，则三棱柱外接球的半径，，其表面积为，故A项错误；延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面.因为，是中点，所以是的中点，由与相似，得，得，而是的中点，所以与不平行且必相交，所以与截面不平行，故B项错误；因为，又，所以在中，，故C项正确；延长交于点，则将三棱柱分成体积较大部分的体积为，所以剩余部分的体积为，所以体积之比为，故D项正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：将该三棱柱视为正方体的一部分，利用正方体的对角线为外接球的直径是解题关键.10．已知i是虚数单位，若，则（       ）A．复数z的虚部为 B．C．复数z对应的点在第二象限 D．【答案】AD【分析】根据复数的乘除法运算求出，结合共轭复数的概念和复数的几何意义依次判断选项即可.【详解】由题意得，，故其虚部为，．复数z对应的点为（，），在第四象限，，故选：AD.11．已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】画出函数图像，得到x1，x2，x3的范围，由得出A正确，由得出B错误，由得出C正确，由得出D正确.【详解】在上单调递增，在上单调递减，.，在上单调递增，在上单调递减，.，则，A对.在上单调递增，，B错.在单调递减，，C对.对.故选：ACD.12．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（       ）A．对于任意的，都有B．对于任意的，数列不可能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，【答案】ACD【分析】A由递推式有上，结合恒成立，即可判断：B反证法：假设为常数列，根据递推式求判断是否符合，即可判断；C、D由上，讨论、研究数列单调性，即可判断.【详解】A：由，对有，则，即任意都有，正确；B：由，若为常数列且，则满足，错误；C：由且，当时，此时且，数列递增；当时，此时，数列递减；所以时数列为递增数列，正确；D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设为常数列求通项，判断是否与矛盾；对于C、D，将递推式变形为，讨论、研究数列单调性.三、双空题13．为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”，假设待检测的总人数是，将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推，每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定），若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”构测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数的所有可能值为________人．若待检测的总人数为，且假设其中有2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为__________．【答案】     1，2     4m－1【分析】①利用二分检测法分析每轮检测的人数再判断感染人数即可；②分类讨论分析每轮检测的人数情况即可【详解】①若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次；第2轮需检测2次，每次检查的均是4人组；第3轮需检测2次，每次检查的是有感染的4人组均分的两组；第4轮需检测2次；则共需检测7次，此时感染者人数为1或2人；②若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需次检测；若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，此时相当两个待检测均为的组，每组1个感染者，此时每组需要次检测，所以此时两组共需次检测，故有2个感染者，且检测次数最多，共需次检测，所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为.故答案为：1，2；四、填空题14．已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为______．【答案】；【分析】首先求时，函数的解析式，再利用导数的几何意义求切线方程.【详解】设，，因为函数是偶函数，所以，当时，，，，所以在处的切线方程为，即.故答案为：15．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.【答案】【解析】设点的坐标是，求出，再利用配方法可得答案.【详解】设点的坐标是，即，因为向量，，所以，，，当时，有最小值，此时点的坐标是，故答案为：.【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.16．已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多.【答案】【分析】作出函数的图象，由得，设，分，，分别讨论与的交点个数，当时，求得与相切时切线的斜率，与相切时切线的斜率，由此可求得实数的取值范围.【详解】解：作出函数的图象如图：由得，设，当时，与有2个交点；当时，与有2个交点；.当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以当时，与有1个交点；当时，与有2个交点；当时，与有3个交点；当时，与有4个交点；所以实数的取值范围为时，的零点最多，故答案为：.五、解答题17．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解【详解】(1)由，，，，，．(2)，，，由余弦定理有：，，所以，，由正弦定理，，，，，，因为为锐角三角形，所以且，则，,则，．18．在①，②为等比数列，且，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列，数列的前项和是，______．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明：对任意均有恒成立．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）若选①，利用退一相减法可得通项公式；若选②，直接可得数列的首项及公比，进而可得通项公式；（2）利用错位相减法可得，进而得证.【详解】(1)解：若选①，当时，，即；当时，，，作差可得，即，所以数列为等比数列，其首项为，公比，所以；若选②，，则，即，又数列为等比数列，所以，且，所以；(2)证明：由（1）得，所以，所以，，则，所以，又，所以恒成立.19．如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．(1)求证：；(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由线面平行性质定理去证明即可.（2）建立空间直角坐标系，以向量法去表示二面角的余弦值为，进而可求得AB的值．【详解】(1)因为平面SAB，平面SBD，平面平面，故．又因为四边形ABCD为矩形，故，则．(2)∵四边形ABCD为矩形，∴．又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，∴平面SAD．∵平面SAD，∴．同理．又，平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．设，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．,，,设为平面ABE的法向量，∵，∴，令，则．∴．设为平面CBE的法向量，∵，∴，令，则．∴．∴，解得．故20．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望；(3)转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？【答案】(1)，68(2)分布列见解析，(3)，，1，3，，40，40【分析】（1）利用频率之和为列方程，化简求得的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.（2）结合超几何分布的知识计算出的分布列和数学期望.（3）根据二项分布的知识求得，由此列不等式，解不等式来求得的最大值时对应的的值.【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得，，解得，设中位数为，，解得．(2)，，，，，的三组频率之比为，从，，，，，中分别抽取7人，3人，1人，所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123 故．(3)等级的概率为，等级为，，，1，3，，40，令①，②，由①可得，，解得，由②可得，，解得，故时，取得最大．21．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b,即得答案;（2）根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可推出，设，，，从而可以用点的坐标表示出t,再设直线，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案.【详解】(1)因为实轴长为4，即，，又，所以，，故C的方程为.(2)由O，A，N，M四点共圆可知，，又，即，故，即，所以,设，，，由题意可知，则直线，直线，因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，故M坐标为，所以，又，由，则，整理可得，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线，代入双曲线方程：中，可得，所以，，又，所以,故，即，所以点P坐标为.【点睛】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.22．已知函数．(1)证明：当时，；(2)记函数，判断在区间上零点的个数．【答案】(1)证明见解析(2)个零点【分析】（1）求导后可知在上单调递增，由可得结论；（2）由可知是的一个零点；分别在、和的情况下，结合零点存在定理判断导函数的正负，从而得到的单调性，确定区间内零点个数，得到在上的零点个数；根据奇函数性质可得最终结果.【详解】(1)由题意得：；当时，，，在上单调递增，.(2)，，，是的一个零点；①当时，设，则，在上单调递减，，又，，即在上无零点；②当时，，，在上单调递减，又，，，使得，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；，，在上存在唯一零点，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，在有唯一零点；③当时，，，在上单调递减，，在上无零点；综上所述：在上有两个零点；，为奇函数，图象关于原点对称，在上有两个零点；又，在上共有个零点.【点睛】思路点睛；本题考查利用导数研究函数零点个数的问题，解题基本思路是能够根据导函数的形式，对所给区间进行分段，通过说明导函数在每段区间内的符号，得到原函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.