2022届江苏省苏州市八校高三下学期高考适应性检测（三模）数学试题含解析

2022届江苏省苏州市八校高三下学期高考适应性检测（三模）数学试题

一、单选题

1．已知，为R的两个不相等的非空子集，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得，结合韦恩图即可判断；

【详解】解：依题意，所以，

则集合，与的关系如下图所示：

所以；

故选：C

2．设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（       ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】根据正态分布的对称性，即得解.

【详解】∵随机变量服从正态分布，

根据正态分布的对称性，可得，

解得.

故选：B.

3．已知抛物线上的点到该抛物线焦点F的距离为3，则（       ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【分析】根据抛物线的定义，可得，即得.

【详解】由题意，抛物线的准线方程为，

根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，

可得，解得.

故选：C.

4．举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（       ）

A．216 B．180 C．108 D．72

【答案】A

【分析】利用间接法即得.

【详解】由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法种，

其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为，

故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为.

故选：A.

5．《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为（       ）立方尺

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为x，列方程求出x＝2，从而R2，由此能求出该球体的体积．

【详解】解：作出图象如下图所示：

由已知得球心在几何体的外部，

设球心到几何体下底面的距离为x，

则R2＝x2+（）2＝（x+1）2+（）2，

解得x＝2，∴R2，

∴该球体的体积．

故选：C．

6．若，则X可以为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用同角三角函数的基本关系将切化弦，再利用辅助角公式及二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，

所以

故选：D

7．在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面向量的加法的几何意义进行求解即可.

【详解】设，，因为

所以有，

因此，

因为，，，

所以，

故选：B

8．若x，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项.

【详解】设，则（不恒为零），

故在上为增函数，故，

所以，故在上恒成立，

所以，

但为上为增函数，故即，

所以C成立，D错误.

取，考虑的解，

若，则，矛盾，

故即，此时，故B错误.

取，考虑，

若，则，矛盾，

故，此时，此时，故A错误，

故选：C.

【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.

二、多选题

9．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率，从两袋各摸出一个球，则（       ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为

C．2个球至多有一个红球的概率为 D．2个球中至少有1个红球的概率为

【答案】AB

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率逐项分析计算即可判断作答.

【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则，，A，B相互独立，

2个球都是红球的事件为AB，则有，A正确；

2个球中恰有1个红球的事件为，则，B正确；

2个球至多有一个红球的事件的对立事件为AB，故2个球至多有一个红球的概率为，故C错误；

至少有1个红球的事件的对立事件是，则，所以至少有1个红球的概率为，故D错误.

故选：AB.

10．下列命题正确的是（       ）

A．若A，B，C为任意集合，则

B．若，，为任意向量，则

C．若，，为任意复数，则

D．若A，B，C为任意事件，则

【答案】AC

【分析】根据集合运算有结合律，可判断A；根据向量的数量积不满足结合律可判断B；根据复数的乘法运算满足结合律可判断C；根据可判断D.

【详解】对于A，集合运算有结合律，任意集合A，B，C都有，故A正确；

对于B，向量的数量积不满足结合律，即 故B错误；，

对于C，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数，，，有，故C正确；

对于D，若，，故D错误.

故选：AC.

11．已知函数，则（       ）

A．是周期函数 B．是偶函数

C．是上的增函数 D．的最小值为

【答案】BC

【分析】令，则，再分析的奇偶性、周期性与单调性，即可判断；

【详解】解：因为，令，则，

对于A，因为是周期为的周期函数，关于轴对称，不是周期函数，

所以不是周期函数，则也不是周期函数，故A错误；

对于B，的定义域为，

且，

所以为偶函数，则，故为偶函数，故B正确；

对于C，当时，，

，所以单调递减，则单调递增，故C正确；

对于D，当时，，则

故的最小值不为，故D错误．

故选：BC．

12．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（       ）

A．当时，

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，的最小值为

D．当时，存在唯一的点P，使得点P到的距离等于到的距离

【答案】ABD

【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可.

【详解】当时，的轨迹为线段，连接，则，

又平面，，

∴平面，，

同理可得，

故平面，平面，所以，故A正确；

当时，点的轨迹为线段（为的中点），直线平面，故三棱锥的体积为定值，故B正确；

当时，点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知，由余弦定理可得，故C错误；

当时，点轨迹为以为为圆心，1为半径的四分之一圆弧，

由点P到的距离等于到的距离，即点P到点的距离等于到的距离，

则点轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线上，

故存在唯一的点P，使得点P到的距离等于到的距离，故D正确.

故选：ABD．

三、填空题

13．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．

【答案】

【分析】令，由题可得，即得.

【详解】令，则，代入，

可得，

∴，

解得，

即的取值范围为.

故答案为；.

14．已知，则________．

【答案】

【分析】令，将原式化为，求出二项式展开式的通项，即可求出；

【详解】解：因为，

令，则，则，

其中展开式的通项为，令，解得，

所以，所以；

故答案为：

15．数列满足，，则前40项和为________．

【答案】

【分析】根据题设中的递推关系可得、，利用分组求和可求前40项和，

【详解】当时，，

故

，

当时，，

所以，

所以，

当时，；

当时，

；

当时，

；

当时，

；

故

，

故前40项和为，

故答案为：

四、双空题

16．任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________．

【答案】         

【分析】利用给定定理直接计算即得；令，求出等比数列前项的和，再利用复数相等求解作答.

【详解】当，时，，所以；

，令，则，

，

，

而，则，，

所以.

故答案为：-i；

【点睛】思路点睛：涉及复数的次幂的求和问题，可把视为等比数列的第n项，再借助数列问题求解.

五、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，令，求数列的前n项和．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出,则可写出其通项公式.

（2）利用错位相减，化简解可得出答案.

【详解】（1）由题意知：，

即：化简得.

所以数列的通项公式.

（2）因为

所以

化简得：.

18．在四边形中，，，其中．

(1)若，求；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再利用余弦定理求出，最后由余弦定理计算可得；

（2）依题意将四边形放到如图所示的圆中，设，利用勾股定理求出，最后根据计算可得；

【详解】(1)解：因为，所以，即，又，所以，

当时，所以，

所以，

由于，

所以，

即，

所以，

所以．

(2)解：如图所示，过作交于点，过作交于点，

设，则，

设，

则，

整理得

即，

解得或（负值舍去）．

所以

所以

19．在三棱台中，，，，点在棱上，且满足，，，．

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，先证明平面，进而根据即可证明；

（2）结合（1）得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，再结合平面与平面为同一个平面将问题转化为求平面的一个法向量，再根据向量求解即可.

【详解】(1)证明：因为，，

所以在中，．

又因为，，

所以．

又因为，，

所以平面，

因为在三棱台中，，

所以平面；

(2)解：结合（1）得，

所以两两垂直，故以为原点，方向分别为轴，过且与平行的直线为轴，如图，建立空间直角坐标系，

所以，

所以，

因为平面与平面为同一个平面，

所以，，

设平面的法向量为，

所以，故令，则，

所以平面的一个法向量，

设与平面所成角为，

所以．

所以与平面所成角的正弦值为.

20．某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若出现的次品数大于等于2，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．

(1)假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求；

(2)该设备由甲、乙、丙三个部件构成，若出现两个或三个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为，由乙部件故障造成的概率为，由丙部件故障造成的概率为．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理，如果已经检测两个部件未出现故障，则第三个部件无需检测，直接修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元，丙部件的检测费用2400元，修理费用3600元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，工程师根据经验给出了三个方案：①按甲、乙、丙的顺序检测修理；②按乙、甲、丙的顺序检测修理；③按丙、乙、甲的顺序检测修理．你运用所学知识，从总费用花费最少的角度，你认为应选用哪个方案，并说明理由．

参考数据：，，．

【答案】(1)

(2)应选用①，理由见解析.

【分析】（1）利用二项分布可求概率.

（2）设为第个方案对应的总费用，求出它们的分布列和期望后可求合适的方案.

【详解】(1).

(2)设为第个方案对应的总费用，则可取，

由题设可得，，，

故，

可取，

由题设可得，，，

故，

可取，

由题设可得，，，

故，

故，

故选方案①.

21．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．

(1)求曲线，的方程；

(2)点P是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据对称性可得椭圆上的三个点，利用待定系数法可求椭圆的方程，从而可求抛物线的方程.

（2）设点，，，其中，联立直线方程和抛物线线方程，消元后利用判别式可得诸变量之间的关系，从而可得的中点满足平行于轴并可用表示三角形的面积，从而可求其最大值.

【详解】(1)根据对称性可得，，在椭圆上，

故，且，故，所以.

椭圆的右焦点为，所以即，

故.

.

(2)

设点，，，其中，

由可得，

整理得到：，

所以，故，

且，故， 同理，，

故为方程的两个根，故，

而的中点的纵坐标为，故平行于轴，

故三角形面积为

由可得，故或（舍），

故，

故当时，有.

22．函数．

(1)求函数在上的极值；

(2)证明：有两个零点．

【答案】(1)极大值，；极小值，；

(2)详见解析.

【分析】（1）由题可得，进而可得；

（2）当时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当，时，利用导数可得，即得.

【详解】(1)∵，

∴，，

由，可得，或，

∴，单调递增，，单调递减，，单调递增，

∴时，函数有极大值，时，函数有极小值；

(2)∵，

∴，

∴，

当时，单调递增，即单调递增，

又，

故存在，，

所以单调递减，单调递增，

∴时，函数，，，

故时，有两个零点，

当时，，

对于函数，则，又，

∴，，即，此时函数没有零点，

当时，，

由上可知，故当时，函数没有零点，

综上，函数有两个零点．

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.