2021-2022学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年河南省商丘市梁园区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 点在函数的图象上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 如图，在▱中，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

5. 下列命题中是假命题的是(    )

A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

6. 在一次中学生田径运动会上，参加女子立定跳远的名运动员的成绩情况统计如下：

则这名运动员立定跳远成绩的众数与中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，折线表示一骑车人离家的距离与时间的关系，骑车人：离开家，：回到家，则下列说法错误的是(    )

A. 骑车人离家最远距离是
B. 骑车人中途休息的总时间长是
C. 从：到：骑车人离家的速度越来越大
D. 骑车人返家的平均速度是

9. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，过点作交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 边长为的正方形中，点、分别是、的中点，连结、，点，分别是、的中点，连结，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 代数式有意义时，实数的取值范围是______．
12. 长方形零件尺寸单位：如图，则两孔中心和的距离为______ ．

13. 已知矩形的面积为，相邻两边长分别为，，若，，则 ______ ．
14. 如图，菱形的对角线，相交于点，点为中点，若，，则菱形的面积为______．

15. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，点的坐标为点为的中点，的垂直平分线交轴于点，交于点，点为线段上的一动点，当的周长最小时，点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 如图，在菱形中，点，分别是边和上的点，且求证：．

18. 杆称是我国传统的计重工具，如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离厘米，来得出秤钩上所挂物体的重量斤如表中为若干次称重时所记录的一些数据．

请在图平面直角坐标系中描出表中五组数据对应的点，并作出图象；
秤钩上所挂物体的重量是否为秤纽的水平距离的函数？如果是，请求出符合表中数据的函数解析式；
当秤钩所挂物重是斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
 

19. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取名学生的测试成绩，整理如下：
    小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分：
    根据图表，解答问题：

填空：表中的______，______；
你认为______年级的成绩更加稳定，理由是______；
若规定分及分以上为合格，该校八年级共名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

20. 如图，长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
    在图中画出以为边的正方形；
    在图中画出以为边的等腰三角形，且的周长为；
    在的条件下，连接，则线段的长为______．

21. 为了满足开展“阳光体育”大课间活动的需求，某学校计划购买一批篮球根据学校的规模，需购买、两种不同型号的篮球共个已知购买个型篮球和个型篮球共需元，购买个型篮球和个型篮球共需要元．
    求购买一个型篮球、一个型篮球各需多少元？
    若该校计划投入资金元用于购买这两种篮球，设购进的型篮球为个，求关于的函数关系式；
    在的条件下，若购买型篮球的数量不超过型篮球数量的倍，则该校至少需要投入资金多少元？
22. 在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
    当点移动到点时，______秒；  
    连接点，，求直线的解析式；
    若点是直线上第一象限内一点，是否存在某一时刻，使得四边形为平行四边形？若存在，请直接写出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

23. 如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
    ______ 直接写出结果不写解答过程；
    求证：四边形是正方形．
    若，求的长．
    如图，在中，，高，，则的长度是______ 直接写出结果不写解答过程．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式，被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：把，代入，
解得：．
故选：．
用代入法即可．
若一点在函数图象上，则这点的横、纵坐标满足函数解析式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，且，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是真命题；
B、对角线相等的菱形是正方形，原命题是真命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是真命题；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：．
利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：出现的次数最多，出现了次，所以众数为；
把数据从低到高排列，第个数是，所以中位数为．
故选：．
根据中位数与众数的定义，众数是出现次数最多的一个，从小到大排列后，中位数是第个数，解答即可．
本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

7.【答案】 

【解析】解：中，
随增大而增大，
，
，
故选：．
利用一次函数的性质可得答案．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，以及一次函数的性质，关键是掌握，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可知，骑车人离家最远距离是，故本选项不合题意；
B.骑车人中途休息的总时间长是：，故本选项不合题意；
C.由图可知，从：到：骑车人离家的速度不变，故本选项符合题意；
D.骑车人返家的平均速度是，故本选项不合题意；
故选：．
根据函数图象，可以写出何时离家最远，这时他离家多远；
根据函数图象，可以得出中途两次休息的时间和；
根据函数图象中的线段的陡与缓，可得从：到：骑车人离家的速度不变；
根据函数图象中的数据，利用“时间路程速度”计算即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

是矩形，
．
，
为线段的垂直平分线．
．
设，则．
，
在中，
，
．
解得：．
．
故选：．
连接，利用垂直平分线的性质可得，设，利用勾股定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、交于点，连接、，如图所示，

点、分别是、的中点．
，．
点是正方形对角线的交点．
点是、的中点．
点是的中点．
是的中位线．
，且．
同理，，且．
．
．
．
．
在中，
．
故选：．
连接、交于点，连接、，可得、分别是、的中位线，从而求出，的长，在通过证明是直角三角形，利用勾股定理求出的长．
本题考查了正方形的性质与三角形的中位线性质定理，通过作辅助线把归纳到直角三角形中是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，属于基础题．根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
在中，，
由勾股定理，得：，
故答案为：．
根据题意可得与的取值，又由勾股定理，即可求得的值，即可求得两圆孔中心和的距离．
此题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是得出，的长．
 

13.【答案】 

【解析】解：矩形的面积为，相邻两边长分别为，，，，
．
故答案为：．
直接利用二次根式的除法运算法则结合矩形面积公式得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的除法运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求得，则，最后由菱形的面积公式即可求解．
本题考查了菱形的性质、由直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，．

，，
，
垂直平分线段，
，，
，
，
，，
，
，
的周长，
又，
，，共线时的值最小，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
满足条件的点
故答案为：
如图，连接，，首先证明，利用勾股定理求出，根据，推出，，共线时的值最小，可得直线的解析式为，直线的解析式为，构建方程组确定点坐标．
本题考查轴对称最短问题，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明，求出的最小值．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
先利用二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简后合并即可．
 

17.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“”即可证明≌，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
本题主要考查菱形的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．
 

18.【答案】解：描出表中五组数据对应的点，作出图象如图所示：

由图形可知，秤钩上所挂物体的重量是秤纽的水平距离的一次函数，
设，
把，；，代入得：
，
解得：，
；
当时，，
解得：，
答：当秤钩所挂物重量是斤时，秤杆上秤驼到秤纽的水平距离为厘米． 

【解析】根据表格描点，连线即可；
用待定系数法可得函数解析式；
结合的函数解析式，令求出的值即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是应用待定系数法求出函数关系式．
 

19.【答案】解：，；
  八，  八年级成绩的方差小于七年级；
估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是人． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、中位数、众数、方差、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据众数和中位数的定义求解即可；
根据方差的意义求解即可；
用总人数乘以样本中分及分以上人数所占比例即可．
【解答】
解：由表可知，八年级成绩的平均数，
所以其众数；
八年级成绩最中间的个数分别为、，
所以其中位数，
故答案为：，；
八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级；
见答案．  

20.【答案】 

【解析】解：如图，所作正方形即为以为边的正方形；

如图，所作即为以为边的等腰三角形，且的周长为；

如图，．
根据正方形的判定画出以为边的正方形即可；
画出以为边的等腰三角形，且的周长为等腰三角形即可；
由勾股定理求出即可．
本题考查作图应用与设计，勾股定理，解题的关键是理解题意，根据画出等腰三角形．
 

21.【答案】解：设购买一个型篮球需要元，购买一个型篮球需要元，
由题意，得：，
解得：，
答：购买一个型篮球需要元，购买一个型篮球需要元；
设购进的型篮球为个，则设购进的型篮球为个，
由题意，得：，
关于的函数关系式为；
购买型篮球的数量不超过型篮球数量的倍，
，
解得：，
，，
随的增大而增大，
当时，有最小值，元，
该校至少需要投入资金元． 

【解析】设购买一个型篮球需要元，购买一个型篮球需要元，由题意列二元一次方程组，求解即可；
设购进的型篮球为个，则设购进的型篮球为个，根据总费用等于、两种型号篮球的费用之和列出函数关系式即可；
在条件下，根据购买型篮球的数量不超过型篮球数量的倍以及，求出的取值范围，然后根据一次函数的性质求最小值即可．
本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，关键是根据总费用等于、两种型号篮球的费用之和列出函数关系式．
 

22.【答案】解：
设直线解析式为，
将点、代入中，
得：，解得：
直线解析式为．
，． 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：求出线段的长；利用待定系数法求出函数解析式；分三种情况讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质--对角线互相平分，由平行四边形的三个顶点坐标求出第四个顶点的坐标是关键．
根据矩形以及角平分线的性质可得出为等腰直角三角形，再根据点的坐标结合等腰直角三角形的性质即可得出的长度，从而可得出值；
设直线解析式为，根据点、的坐标利于待定系数法即可求出直线的解析式；
假设存在，找出点、、三点的坐标，根据平行四边形的性质--对角线互相平分，分别以、、为对角线求出点的坐标，再根据点是直线上第一象限内一点，即可求出值以及点的坐标．
【解答】
解：四边形为矩形，且的平分线交于点，
为等腰直角三角形，
点，
，，
点移动到点时，秒．
故答案为：．
见答案；
假设存在，过点作轴于点，如图所示．
由可知为等腰直角三角形，
点．
，．
四边形为平行四边形分三种情况：
以为对角线时，点，即，
点在第一象限，
此情况不符合要求；
以为对角线时，点，即，
点在第一象限，
此情况不符合要求；
以为对角线时，点，即，
点在第一象限内，且点在直线上，
，解得：，
此时点的坐标为．
综上可知：若点是直线上第一象限内一点，存在某一时刻，使得四边形为平行四边形，此时，点的坐标为．
故答案为：，．  

23.【答案】
证明：作于，如图所示：
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
解：设，
，
，
由得四边形是正方形，
，
在与中，
，
≌，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
  

【解析】解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案；
解：如图所示：
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即；
故答案为：．
根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
设，根据已知条件得到，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．