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高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.1解客观题的8种方法课件
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这是一份高考数学二轮专题训练解题技巧思想导引3.1解客观题的8种方法课件，共60页。PPT课件主要包含了答案15等内容，欢迎下载使用。
选择题、填空题是高考必考的题型,共占80分,因此,探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广,且答案就在给出的选项中.而填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题.解答选择题、填空题时,对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.
一 直接法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条件、相关概念、性质、公式、定理、法则等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而得出正确结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,从而确定选项.其基本求解策略是由因导果,直接求解是解题中最常用的方法.
【典例1】(1)(2020·郴州一模)在数列{an}中,满足a1=2, =an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为( )A.126 B.256 C.255 D.254
【解析】选D.在数列{an}中,满足 =an-1an+1(n≥2,n∈N*),则数列{an}为等比数列,设其公比为q,又由a1=2,a6=64,得q5= =32,则q=2,则S7= =28-2=254.
(2)已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点,若线段MN的长是16,MN的中点到y轴的距离是6,O是坐标原点,则( )A.抛物线C的方程是y2=-8xB.抛物线的准线方程是y=2C.直线l的方程是x-y+2=0D.△MON的面积是8
【解析】选A.设M(x1,y1),N(x2,y2),由抛物线的定义可得|MN|=-(x1+x2)+p=16,又因为MN的中点到y轴的距离是6,所以|x1+x2|=12,所以x1+x2=-12,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=-8x,所以A正确,准线方程为x=2,所以B不正确;设直线l的方程为x=my-2,
联立直线与抛物线的方程: 整理可得y2+8my-16=0,y1+y2=-8m,所以x1+x2=m(y1+y2)-4=-8m2-4=-12,解得m=±1,所以l的方程为:x=±y-2,所以C不正确;设抛物线的焦点为F,则S△MON= |OF|·|y1-y2|= ·2 ,所以D不正确.
【技法点拨】直接法适用范围及注意事项(1)涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法.(2)直接法解题一定要注意概念的内涵与外延,再注意运算的准确性.
【变式训练】1.已知复数z= 为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数a=( )A.-3B.3C.- D. 【解析】选A.由题意,复数z= 因为复数z为纯虚数,可得 解得a=-3.
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2 020)的值为( )A.-1B.0C.1D.2
【解析】选C.因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 所以f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)=-f(x+3)=-[f(x+2)-f(x+1)]=-[f(x+1)-f(x)-f(x+1)]=f(x),所以f(2 020)=f(336×6+4)=f(4)=f(3)-f(2)=f(2)-f(1)-f(2)=-f(1)=-f(0)+f(-1)=-lg21+lg22=1.
二 特值(例)法特值(例)法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程等,针对各选项进行代入对照、排除,从而得到正确的答案.【典例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则 =________.
【解析】取特殊值a=3,b=4,c=5,则cs A= cs C=0,从而 答案:
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=__________. 【解析】方法一(直接法):由9=a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10知原式=lg3(a5a6)5=lg3310=10.方法二(小题巧做):因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列a5=a6=3,q=1,则原式=lg3310=10.答案:10
【技法点拨】特值法应注意的问题用特值法解选择题或填空题时,要注意以下两点:(1)取特值尽可能简单,有利于计算和推理;(2)若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.
【变式训练】已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令 =a, =b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且 =ma, =nb,则 + =( )A.3B.4C.5D.
【解析】选A.由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.方法一:如图1,令PQ∥BC,则 此时,m=n= 故 =3.
方法二:如图2,直线BE与直线PQ重合,此时 故m=1,n= ,所以 =3.
三 图解法 对于一些含有几何背景的问题,往往可以借助图形的直观性,迅速做出判断,解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.
【典例3】(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A. B. C. D.
【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cs θ= ,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为 ,故选B.
(2)(2019·天津高考)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=- x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为( )
【解析】选D.如图,当直线y=- x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方,或者直线y=- x+a与曲线y= 相切在第一象限时符合要求. 即1≤- +a≤2,即 ≤a≤ ,或者- =- ,得x=2,y= ,即 =- ×2+a,得a=1,所以a的取值范围是 ∪{1}.
【技法点拨】图解法解题技巧正确把握各种式子中的变量与几何图形之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.
【变式训练】1.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[1,3]时,f(x)=-x2+4x-3,函数g(x)= 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-3,3]上的零点的个数为( )A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数.在区间[-3,3]上,函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的根的个数,即函数f(x)和g(x)的图象的交点的个数.
于是,在同一平面直角坐标系内分别画出函数f(x)和g(x)的图象(如图),则由图可知:在区间[-3,3]上两个函数的图象共有4个交点.
2.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)恰有一个零点,则实数a的取值范围为________.
【解析】f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有一个零点等价于函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图象有一个交点,由图象(如图1)可知,当01时(如图2),因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),
而直线y=x+a所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所以实数a的取值范围是0
【典例4】(1)函数f(x)= 的部分图象大致是( )
【解析】选A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项C,D.又f(π)=- <0,则排除B.
(2)如图,半径为1的圆O中,A,B为直径的两个端点,点P在圆上运动,设∠BOP=α,将动点P到A,B两点的距离之和表示为α的函数f(α),则y=f(α)在[0,2π]上的图象大致为( )
【解析】选A.以角度为变量的三角函数图象是弯曲的,排除C,D.当∠BOP= 时,y=f(α)=2 <3,排除B.
【技法点拨】排除法解题策略(1)逻辑排除:通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定.(2)逐一验证:将选项逐一代入条件验证排除.
【变式训练】1.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,判断下列结论不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】选D.从2006年开始,将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较,得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大,A选项正确;2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多,B选项正确;虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些,但自2006年以来,整体呈递减趋势,即C选项正确;自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,D选项错误.
2.函数f(x)= cs x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
【解析】选D.因为f(x)= cs x,所以f(-x)=-f(x),又定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,排除A,B;当x=π时,f(x)<0,排除C.
五 构造法 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.
关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,首先应观察题目,观察已知(例如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速解题的目的.
【典例5】(1)在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )A. B.- C. D.-
【解析】选A.由题意,可补成正方体,如图,异面直线AC与BD所成角就是ED与BD所成角,而△BDE为等边三角形,所以ED与BD所成角为 ,cs = .故选A.
(2)(2019·天津高考)设x>0,y>0,x+2y=5,则 的最小值为________. 【解析】 当且仅当xy=3时等号成立.故所求的最小值为4 .答案:4
【技法点拨】构造法的解题策略(1)认真阅读题设条件;(2)联想、类比已有知识;(3)构造一个数学模型解决问题.如(1)题巧妙地构造出正方体,而(2)构造基本不等式,问题都很容易地解决了.
【变式训练】1.已知m,n∈(2,e),且 ,则( )A.m>nB.m2+ D.m,n的大小关系不确定
【解析】选A.由不等式可得0,故函数f(x)在(2,e)上单调递增.因为f(n)
【解析】因为an+1=2Sn+1,所以Sn+1-Sn=2Sn+1,所以Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+ =3所以数列 是公比为3的等比数列,所以 =3.又S2=4,所以S1=1,所以a1=1,所以S5+ = ×34= ×34=所以S5=121.答案:1 121
六 估算法 估算法就是不需要计算出准确数值,可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围,从而解决相应问题的方法.
【典例6】(1)(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ( ≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm
【解析】选B.如图所示,设a,b,c,d分别为头顶到肚脐、肚脐到足底、头顶到咽喉、咽喉到肚脐的长度. 由条件①c≤26,而 ≈0.618,所以d≤ ≈42.所以c+d<68.即a<68.而 ≈0.618,所以b< ≈110,所以a+b<178.
由条件②b≥105,因为 ≈0.618,所以a≥105×0.618,即a≥64.9.所以a+b≥169.9.综上,169.9≤a+b<178.故选B.
(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF= ,EF到平面AC的距离为2,则该多面体的体积为( ) A. B.5C.6D.
【解析】选D.该多面体体积直接求比较困难,可连接BE,CE,原体积转化为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF的体积之和,而VE-ABCD=6,故由局部估算出整体,原多面体体积大于6,只有D符合.
【技法点拨】估算法的应用技巧对于数值计算,常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等;对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.
【变式训练】若0<α<β< ,sin α+cs α=a,sin β+cs β=b,则( )A.abC.ab<1D.ab>2
【解析】选A.若α→0,则sin α+cs α=a→1.若β→ ,则sin β+cs β=b→ ,从而b>a.对f(x)=sin x+cs x= sin(x+ ),0
【典例7】如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如:第三季度华为销量约占50%,三星销量约占30%,苹果销量约占20%),根据该图,以下结论中不正确的是( )
A.四个季度中,每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B.苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C.第一季度销量最大的为三星,销量最小的为苹果D.华为的全年销量最大
【解析】选ABC.对于A,第四季度中,华为销量大于50%,三星和苹果总销量之和低于华为的销量,故A错误;对于B,每个季度的销量不确定,根据每个季度的百分比无法比较苹果在第二、三季度销量的多少;对于C,第一季度销量最大的是华为,故C错误;对于D,由图知,四个季度华为的销量占比都最大,所以华为的全年销量最大,D正确.
【技法点拨】多项选择题的解题方法多项选择题的解题方法可采用直接选择法、排除法、比较法和逻辑推理法等,但一定要慎用感觉猜测法.总之,要根据对各选项把握的程度合理安排应答策略.
【变式训练】若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P 处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是( )A.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3B.直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln xC.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin xD.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x
【解析】选ACD.A项,因为y′=3x2,当x=0时,y′=0,所以l:y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线.当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;B项,y′= ,当x=1时,y′=1,在P(1,0)处的切线为l:y=x-1.令h(x)=x-1-ln x,则h′(x)=1- (x>0),当x>1时,h′(x)>0;当0
八 双空题的解题 双空题是新高考的一个新题型,即一个题干中涉及两个空,它们可以是并列关系,也可以是递进关系.做这种题型不要求给出解答过程的求解题,其特点是题目小,跨度大,知识覆盖面广,渗透着各种思想与方法,形式灵活,一般用来考查基础知识和基本运算.
【典例8】(1)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,A=2C,则△ABC的周长为________,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为__________.(本题第一空2分,第二空3分.)
【解析】由4sin B=5sin C,得4sin(π-A-C)=5sin C,即4sin(A+C)=5sin C,即4(sin Acs C+cs Asin C)=5sin C.又A=2C,所以4(sin 2Ccs C+cs 2Csin C)=5sin C,即4[2sin Ccs2C+(2cs2C-1)sin C]=5sin C.因为A=2C,所以0
【解析】当n=1时,a1=S1=9,当n≥2时,an=Sn- =10n-n2-[10(n-1)-(n-1)2]=-2n+11,当n=1时也满足,所以an=-2n+11(n∈N*),所以当n≤5时,an>0,bn=an,当n>5时,an<0,bn=-an,所以T4=S4=10×4-42=24,T30=S5-a6-a7-…-a30=2S5-S30=2×(10×5-52)-(10×30-302)=650.答案:24 650
【技法点拨】填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,不设中间分,所以要求所填的是最简最完整的结果.
【变式训练】1.(2020·洮北区校级期中)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x3-ln x,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为____________.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则x0=____________.
【解析】根据题意,设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)3-ln(-x)=-x3-ln(-x),又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),则当x<0时,f′(x)=3x2+ ,则f′(-1)=3-1=2,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为2;抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
因为A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,所以 x0=x0+1,解得x0=4.答案:2 4
2.若实数x,y满足x>y>0,且lg2x+lg2y=1,则 的最小值是________, 最大值为________.(本题第一空2分,第二空3分.)
选择题、填空题是高考必考的题型,共占80分,因此,探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广,且答案就在给出的选项中.而填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题.解答选择题、填空题时,对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.
一 直接法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条件、相关概念、性质、公式、定理、法则等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而得出正确结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,从而确定选项.其基本求解策略是由因导果,直接求解是解题中最常用的方法.
【典例1】(1)(2020·郴州一模)在数列{an}中,满足a1=2, =an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为( )A.126 B.256 C.255 D.254
【解析】选D.在数列{an}中,满足 =an-1an+1(n≥2,n∈N*),则数列{an}为等比数列,设其公比为q,又由a1=2,a6=64,得q5= =32,则q=2,则S7= =28-2=254.
(2)已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点,若线段MN的长是16,MN的中点到y轴的距离是6,O是坐标原点,则( )A.抛物线C的方程是y2=-8xB.抛物线的准线方程是y=2C.直线l的方程是x-y+2=0D.△MON的面积是8
【解析】选A.设M(x1,y1),N(x2,y2),由抛物线的定义可得|MN|=-(x1+x2)+p=16,又因为MN的中点到y轴的距离是6,所以|x1+x2|=12,所以x1+x2=-12,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=-8x,所以A正确,准线方程为x=2,所以B不正确;设直线l的方程为x=my-2,
联立直线与抛物线的方程: 整理可得y2+8my-16=0,y1+y2=-8m,所以x1+x2=m(y1+y2)-4=-8m2-4=-12,解得m=±1,所以l的方程为:x=±y-2,所以C不正确;设抛物线的焦点为F,则S△MON= |OF|·|y1-y2|= ·2 ,所以D不正确.
【技法点拨】直接法适用范围及注意事项(1)涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法.(2)直接法解题一定要注意概念的内涵与外延,再注意运算的准确性.
【变式训练】1.已知复数z= 为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数a=( )A.-3B.3C.- D. 【解析】选A.由题意,复数z= 因为复数z为纯虚数,可得 解得a=-3.
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2 020)的值为( )A.-1B.0C.1D.2
【解析】选C.因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 所以f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)=-f(x+3)=-[f(x+2)-f(x+1)]=-[f(x+1)-f(x)-f(x+1)]=f(x),所以f(2 020)=f(336×6+4)=f(4)=f(3)-f(2)=f(2)-f(1)-f(2)=-f(1)=-f(0)+f(-1)=-lg21+lg22=1.
二 特值(例)法特值(例)法是根据题设和各选项的具体情况和特点,选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程等,针对各选项进行代入对照、排除,从而得到正确的答案.【典例2】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则 =________.
【解析】取特殊值a=3,b=4,c=5,则cs A= cs C=0,从而 答案:
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=__________. 【解析】方法一(直接法):由9=a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10知原式=lg3(a5a6)5=lg3310=10.方法二(小题巧做):因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列a5=a6=3,q=1,则原式=lg3310=10.答案:10
【技法点拨】特值法应注意的问题用特值法解选择题或填空题时,要注意以下两点:(1)取特值尽可能简单,有利于计算和推理;(2)若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.
【变式训练】已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令 =a, =b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且 =ma, =nb,则 + =( )A.3B.4C.5D.
【解析】选A.由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值.方法一:如图1,令PQ∥BC,则 此时,m=n= 故 =3.
方法二:如图2,直线BE与直线PQ重合,此时 故m=1,n= ,所以 =3.
三 图解法 对于一些含有几何背景的问题,往往可以借助图形的直观性,迅速做出判断,解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.
【典例3】(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A. B. C. D.
【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cs θ= ,又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为 ,故选B.
(2)(2019·天津高考)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=- x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为( )
【解析】选D.如图,当直线y=- x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方,或者直线y=- x+a与曲线y= 相切在第一象限时符合要求. 即1≤- +a≤2,即 ≤a≤ ,或者- =- ,得x=2,y= ,即 =- ×2+a,得a=1,所以a的取值范围是 ∪{1}.
【技法点拨】图解法解题技巧正确把握各种式子中的变量与几何图形之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.
【变式训练】1.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[1,3]时,f(x)=-x2+4x-3,函数g(x)= 则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-3,3]上的零点的个数为( )A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B.因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数.在区间[-3,3]上,函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的根的个数,即函数f(x)和g(x)的图象的交点的个数.
于是,在同一平面直角坐标系内分别画出函数f(x)和g(x)的图象(如图),则由图可知:在区间[-3,3]上两个函数的图象共有4个交点.
2.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)恰有一个零点,则实数a的取值范围为________.
【解析】f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有一个零点等价于函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图象有一个交点,由图象(如图1)可知,当0
而直线y=x+a所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所以实数a的取值范围是0
【典例4】(1)函数f(x)= 的部分图象大致是( )
【解析】选A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项C,D.又f(π)=- <0,则排除B.
(2)如图,半径为1的圆O中,A,B为直径的两个端点,点P在圆上运动,设∠BOP=α,将动点P到A,B两点的距离之和表示为α的函数f(α),则y=f(α)在[0,2π]上的图象大致为( )
【解析】选A.以角度为变量的三角函数图象是弯曲的,排除C,D.当∠BOP= 时,y=f(α)=2 <3,排除B.
【技法点拨】排除法解题策略(1)逻辑排除:通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定.(2)逐一验证:将选项逐一代入条件验证排除.
【变式训练】1.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,判断下列结论不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】选D.从2006年开始,将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较,得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大,A选项正确;2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多,B选项正确;虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些,但自2006年以来,整体呈递减趋势,即C选项正确;自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关,D选项错误.
2.函数f(x)= cs x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
【解析】选D.因为f(x)= cs x,所以f(-x)=-f(x),又定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,排除A,B;当x=π时,f(x)<0,排除C.
五 构造法 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.
关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,首先应观察题目,观察已知(例如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速解题的目的.
【典例5】(1)在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )A. B.- C. D.-
【解析】选A.由题意,可补成正方体,如图,异面直线AC与BD所成角就是ED与BD所成角,而△BDE为等边三角形,所以ED与BD所成角为 ,cs = .故选A.
(2)(2019·天津高考)设x>0,y>0,x+2y=5,则 的最小值为________. 【解析】 当且仅当xy=3时等号成立.故所求的最小值为4 .答案:4
【技法点拨】构造法的解题策略(1)认真阅读题设条件;(2)联想、类比已有知识;(3)构造一个数学模型解决问题.如(1)题巧妙地构造出正方体,而(2)构造基本不等式,问题都很容易地解决了.
【变式训练】1.已知m,n∈(2,e),且 ,则( )A.m>nB.m
【解析】选A.由不等式可得
【解析】因为an+1=2Sn+1,所以Sn+1-Sn=2Sn+1,所以Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+ =3所以数列 是公比为3的等比数列,所以 =3.又S2=4,所以S1=1,所以a1=1,所以S5+ = ×34= ×34=所以S5=121.答案:1 121
六 估算法 估算法就是不需要计算出准确数值,可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围,从而解决相应问题的方法.
【典例6】(1)(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ( ≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ) A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm
【解析】选B.如图所示,设a,b,c,d分别为头顶到肚脐、肚脐到足底、头顶到咽喉、咽喉到肚脐的长度. 由条件①c≤26,而 ≈0.618,所以d≤ ≈42.所以c+d<68.即a<68.而 ≈0.618,所以b< ≈110,所以a+b<178.
由条件②b≥105,因为 ≈0.618,所以a≥105×0.618,即a≥64.9.所以a+b≥169.9.综上,169.9≤a+b<178.故选B.
(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF= ,EF到平面AC的距离为2,则该多面体的体积为( ) A. B.5C.6D.
【解析】选D.该多面体体积直接求比较困难,可连接BE,CE,原体积转化为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF的体积之和,而VE-ABCD=6,故由局部估算出整体,原多面体体积大于6,只有D符合.
【技法点拨】估算法的应用技巧对于数值计算,常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等;对于几何体问题,常进行分割、拼凑、位置估算.
【变式训练】若0<α<β< ,sin α+cs α=a,sin β+cs β=b,则( )A.a
【解析】选A.若α→0,则sin α+cs α=a→1.若β→ ,则sin β+cs β=b→ ,从而b>a.对f(x)=sin x+cs x= sin(x+ ),0
【典例7】如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如:第三季度华为销量约占50%,三星销量约占30%,苹果销量约占20%),根据该图,以下结论中不正确的是( )
A.四个季度中,每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B.苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C.第一季度销量最大的为三星,销量最小的为苹果D.华为的全年销量最大
【解析】选ABC.对于A,第四季度中,华为销量大于50%,三星和苹果总销量之和低于华为的销量,故A错误;对于B,每个季度的销量不确定,根据每个季度的百分比无法比较苹果在第二、三季度销量的多少;对于C,第一季度销量最大的是华为,故C错误;对于D,由图知,四个季度华为的销量占比都最大,所以华为的全年销量最大,D正确.
【技法点拨】多项选择题的解题方法多项选择题的解题方法可采用直接选择法、排除法、比较法和逻辑推理法等,但一定要慎用感觉猜测法.总之,要根据对各选项把握的程度合理安排应答策略.
【变式训练】若直线l与曲线C满足下列两个条件:①直线l在点P 处与曲线C相切;②曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是( )A.直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3B.直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln xC.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin xD.直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x
【解析】选ACD.A项,因为y′=3x2,当x=0时,y′=0,所以l:y=0是曲线C:y=x3在点P(0,0)处的切线.当x<0时,y<0;当x>0时,y>0,所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确;B项,y′= ,当x=1时,y′=1,在P(1,0)处的切线为l:y=x-1.令h(x)=x-1-ln x,则h′(x)=1- (x>0),当x>1时,h′(x)>0;当0
八 双空题的解题 双空题是新高考的一个新题型,即一个题干中涉及两个空,它们可以是并列关系,也可以是递进关系.做这种题型不要求给出解答过程的求解题,其特点是题目小,跨度大,知识覆盖面广,渗透着各种思想与方法,形式灵活,一般用来考查基础知识和基本运算.
【典例8】(1)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,A=2C,则△ABC的周长为________,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为__________.(本题第一空2分,第二空3分.)
【解析】由4sin B=5sin C,得4sin(π-A-C)=5sin C,即4sin(A+C)=5sin C,即4(sin Acs C+cs Asin C)=5sin C.又A=2C,所以4(sin 2Ccs C+cs 2Csin C)=5sin C,即4[2sin Ccs2C+(2cs2C-1)sin C]=5sin C.因为A=2C,所以0
【解析】当n=1时,a1=S1=9,当n≥2时,an=Sn- =10n-n2-[10(n-1)-(n-1)2]=-2n+11,当n=1时也满足,所以an=-2n+11(n∈N*),所以当n≤5时,an>0,bn=an,当n>5时,an<0,bn=-an,所以T4=S4=10×4-42=24,T30=S5-a6-a7-…-a30=2S5-S30=2×(10×5-52)-(10×30-302)=650.答案:24 650
【技法点拨】填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,不设中间分,所以要求所填的是最简最完整的结果.
【变式训练】1.(2020·洮北区校级期中)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x3-ln x,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为____________.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则x0=____________.
【解析】根据题意,设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)3-ln(-x)=-x3-ln(-x),又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),则当x<0时,f′(x)=3x2+ ,则f′(-1)=3-1=2,则曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为2;抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
因为A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,所以 x0=x0+1,解得x0=4.答案:2 4
2.若实数x,y满足x>y>0,且lg2x+lg2y=1,则 的最小值是________, 最大值为________.(本题第一空2分,第二空3分.)
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