2023年新教材高考数学一轮复习课时规范练9二次函数与幂函数含解析新人教B版

课时规范练9　二次函数与幂函数

基础巩固组

1.(2021辽宁沈阳高三月考)若幂函数f(x)=(3m2-2m)x3m的图像不经过坐标原点,则实数m的值为(　　)

A. B.- C.-1 D.1

2.二次函数f(x)的图像经过(0,3),(2,3)两点,且f(x)的最大值是5,则该函数的解析式是(　　)

A.f(x)=2x2-8x+11 

B.f(x)=-2x2+8x-1

C.f(x)=2x2-4x+3 

D.f(x)=-2x2+4x+3

3.(2021辽宁锦州高三月考)设a>0,b>0,若a2+2a=b2+3b,则(　　)

A.a<b B.a>b

C.2a=3b D.3a<4b

4.(2021山东临沂高三月考)已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上单调递增.若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是(　　)

A.[0,+∞) 

B.(-∞,0]

C.[0,4] 

D.(-∞,0]∪[4,+∞)

5.(2021浙江湖州高三期中)已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值(　　)

A.恒大于0 B.恒小于0

C.等于0 D.无法判断

6.(2021天津和平高三月考)已知函数f(x)=x4-x2,则下列结论错误的是(　　)

A.f(x)的图像关于y轴对称

B.方程f(x)=0的解的个数为2

C.f(x)在(1,+∞)上单调递增

D.f(x)的最小值为-

7.(多选)(2021福建福州高三月考)若幂函数y=f(x)的图像经过点(27,3),则幂函数f(x)在定义域上是(　　)

A.奇函数 B.偶函数

C.增函数 D.减函数

8.(多选)(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R),下列说法正确的是(　　)

A.若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上单调递增

B.存在a∈R,使得f(x)为偶函数

C.若f(0)=f(2),则f(x)的图像关于x=1对称

D.若a2-b-2>0,则函数h(x)=f(x)-2有2个零点

9.(2021浙江台州高三期末)已知函数f(x)=(x2-2x-3)(x2+ax+b)是偶函数,则f(x)的值域是　　　　　. 

综合提升组

10.(2021天津静海高三一模)已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln 2),c=f(),则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>c>b B.a>b>c

C.b>a>c D.b>c>a

11.(多选)(2021江苏宿迁高三期中)若函数f(x)=(x-1)|x+a|在区间(1,2)上单调递增,则满足条件的实数a的值可能是(　　)

A.0 B.2 C.-2 D.-3

12.(2021河南郑州高三月考)若函数f(x)=mx2+(n-1)x+2(m>0,n>0)的单调递增区间为,+∞,则的最小值为　　　　　. 

13.(2021四川宜宾高三月考)已知函数f(x)=x2+ax+1(a>0).

(1)若f(x)的值域为[0,+∞),求关于x的方程f(x)=4的解;

(2)当a=2时,函数g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在[-2,1]上有三个零点,求实数m的取值范围.

创新应用组

14.(2021浙江丽水高三二模)已知f(x)=x2-2x,对任意的x1,x2∈[0,3],方程|f(x)-f(x1)|+|f(x)-f(x2)|=m在[0,3]上有解,则实数m的取值范围是              (　　)

A.[0,3] B.[0,4]

C.{3} D.{4}

课时规范练9　二次函数与幂函数

1.B　解析:由题意得3m2-2m=1,解得m=1或-,①当m=1时,f(x)=x3,函数图像经过原点,不合题意;②当m=-时,f(x)=x-1,函数图像不经过原点,符合题意,故m=-.

2.D　解析:二次函数f(x)的图像经过(0,3),(2,3)两点,则图像的对称轴为直线x=1.又由函数的最大值是5,可设f(x)=a(x-1)2+5(a≠0).于是3=a+5,解得a=-2.故f(x)=-2(x-1)2+5=-2x2+4x+3,故选D.

3.B　解析:因为a>0,所以a2+3a>a2+2a=b2+3b,所以a2+3a>b2+3b,又因为函数f(x)=x2+3x,在(0,+∞)上单调递增,且a>0,b>0,所以a>b,故选B.

4.C　解析:由题意可知函数f(x)的图像开口向下,对称轴为x=2(如图).若f(a)≥f(0),从图像观察可知0≤a≤4.

5.A　解析:因为函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=-2或m=3.因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以m2-6>0,所以m=3(m=-2舍去),所以f(x)=x3.对任意的a,b∈R,a+b>0,即a>-b,所以f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0,故选A.

6.B　解析:因为f(x)=x4-x2的定义域为R,显然关于原点对称,又因为f(-x)=(-x)4-(-x)2=x4-x2=f(x),所以y=f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,故A正确;令f(x)=0,即x2(x+1)(x-1)=0,解得x=0,x=1或x=-1,方程f(x)=0的解的个数为3,故B错误;令t=x2,g(t)=t2-t=t-2-,当x>1时,函数t=x2,g(t)=t2-t都单调递增,故f(x)在(1,+∞)单调递增,故C正确;由当t=时,g(t)取得最小值-,故f(x)的最小值是-,故D正确,故选B.

7.AC　解析:因为y=f(x)是幂函数,设f(x)=xa,因为其图像过点(27,3),即f(27)=27a=3,解得a=,于是得f(x)=,且f(x)的定义域为R,显然f(x)在定义域R上是增函数,C正确;f(-x)=(-x=-=-f(x),则f(x)是奇函数,A正确,故选AC.

8.

AB　解析:对于选项A,若a2-b≤0,则f(x)=|(x-a)2+b-a2|=(x-a)2+b-a2在区间[a,+∞)上单调递增,故A正确;对于选项B,当a=0时,f(x)=|x2+b|显然是偶函数,故B正确;对于选项C,取a=0,b=-2,函数f(x)=|x2-2ax+b|可化为f(x)=|x2-2|,满足f(0)=f(2),但f(x)的图像不关于直线x=1对称,故C错误;对于选项D,如图,a2-b-2>0,即a2-b>2,则h(x)=|(x-a)2+b-a2|-2有4个零点,故D错误.

9.[-16,+∞)　解析:因为f(x)=(x2-2x-3)(x2+ax+b)是偶函数,所以代入得解得所以f(x)=(x2-2x-3)(x2+2x-3)=(x2-3)2-4x2=x4-10x2+9=(x2-5)2-16≥-16,故f(x)的值域为[-16,+∞).

10.C　解析:由2f(2)=f(16)可得2·2α=24α,因为1+α=4α,所以α=,即f(x)=.由此可知函数f(x)在R上单调递增.而log42=,ln2=,因为1<log2e<2,所以,于是log42<ln2,又因为,所以<log42,故a,b,c的大小关系是b>a>c,故选C.

11.ABD　解析:根据题意可知f(x)=对于y=x2+(a-1)x-a及y=-x2-(a-1)x+a,其图像的对称轴均为直线x=.当≥-a,即a≥-1时,作出f(x)的大致图像(为方便说明,略去y轴以及坐标原点,如图1).

图1

图2

由图可知,此时要满足题意,只需使-a≥2或≤1,解得a≤-2或a≥-1,故a≥-1;当<-a,即a<-1时,作出f(x)的大致图像(为方便说明,略去y轴以及坐标原点,如图2).由图可知,此时要满足题意,只需使-a≤1或≥2,解得a≥-1或a≤-3,故a≤-3.综上所述,a≥-1或a≤-3.故选ABD.

12.4　解析:函数f(x)图像的对称轴为直线x=-,故m+n=1,所以=(m+n)=2+≥2+2=4,当且仅当m=n=时等号成立,从而的最小值为4.

13.解(1)因为f(x)的值域为[0,+∞),所以f(x)min=f-=a2-a2+1=0.因为a>0,所以a=2,则f(x)=x2+2x+1.因为f(x)=4,所以x2+2x+1=4,即x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1.

(2)g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在[-2,1]上有三个零点等价于方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0在[-2,1]上有三个不同的根.因为[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0,所以f(x)=m+1或f(x)=m-1.因为a=2,所以f(x)=x2+2x+1.结合f(x)在[-2,1]上的图像(图略)可知,要使方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0在[-2,1]上有三个不同的根,则f(x)=m+1在[-2,1]上有一个实数根,f(x)=m-1在[-2,1]上有两个不等实数根,即解得1<m≤2.故m的取值范围为(1,2].

14.D　解析:因为f(x)=(x-1)2-1,x∈[0,3],则f(x)min=-1,f(x)max=3.要对任意的x1,x2∈[0,3],方程|f(x)-f(x1)|+|f(x)-f(x2)|=m在[0,3]上有解,取f(x1)=-1,f(x2)=3,此时任意的x∈[0,3],都有m=|f(x)-f(x1)|+|f(x)-f(x2)|=4,其他m的取值,方程均无解,则m的取值范围是{4},故选D.