江苏省连云港市2022年中考数学试卷解析版

这是一份江苏省连云港市2022年中考数学试卷解析版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省连云港市2022年中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）
1．－3的倒数是（　　）
A．－3 B．3 C．−13 D．13
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：-3的倒数是-13.
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可得出答案.
2．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，逐项进行判断，即可得出答案.
3．2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次.把“14600000”用科学记数法表示为（　　）
A．0.146×108 B．1.46×107 C．14.6×106 D．146×105
【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：14600000=1.46×107.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，n等于原来数的整数位减1，据此即可得出正确答案.
4．在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（　　）
A．38 B．42 C．43 D．45
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：数据45出现的次数最多，
∴这组数据的众数是45.
故答案为：D.
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得出答案.
5．函数 y=x−1 中自变量 x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x-1有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-1≥0，解不等式得出x≥1，即可得出答案.
6．△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 △DEF的周长是（　　）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比=412=13，
∴△ABC的周长△DEF的周长=13，
∴△DEF的周长=3（2+3+4）=27.
故答案为：C.
【分析】先求出△ABC∽△DEF的相似比=13，从而得出△ABC的周长△DEF的周长=13，即可得出△DEF的周长=3（2+3+4）=27.
7．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（　　）
A．23π−32 B．23π−3 C．43π−23 D．43π−3
【答案】B
【知识点】三角形的面积；圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，

由题意得A、B分别为圆的十二等分点，
∴∠AOB=212×360°=60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2，
∴S阴影=S扇OAB-S△AOB=60·π·22360-12×2×3=2π3-3.
故答案为：B.
【分析】如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，由题意得A、B分别为圆的十二等分点，可求得∠AOB=60°，从而推出△AOB为等边三角形，即得AB＝OA＝OB＝2，再分别计算出扇形OAB和三角形AOB的面积，最后由S阴影=S扇OAB-S△AOB代入数据计算即可求解.
8．如图，将矩形 ABCD 沿着 GE 、 EC 、 GF 翻折，使得点 A 、 B 、 D 恰好都落在点 O 处，且点 G 、 O 、 C 在同一条直线上，同时点 E 、 O 、 F 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
①GF∥EC ；②AB=435AD ；③GE=6DF ；④OC=22OF ；⑤△COF∽△CEG .
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，
∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，
∴①符合题意；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△AGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2，即GE2=a2+b2，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2，即CE2=b2+（2a）2，
在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
整理，解得：b＝2a，
∴AB＝2AD，
∴②不符合题意；
设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，
在Rt△COF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，
∴x2+（2a）2＝（2 a-x）2，
解得：x＝22a，
∴OF＝DF＝22a，
∴6DF＝6×22a＝3a，
又∵GE2=a2+b2，
∴GE=3a，
∴GE=6DF，
∴③符合题意；
∵22OF＝22×22a＝2a，
∴OC=22OF，
∴④符合题意；
∵无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，
∴⑤不符合题意；
∴正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定GF∥CE；设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得b＝2a，从而得AB＝2AD；设OF＝DF＝x，则CF＝2b-x＝22a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即x2+（2a）2＝（2 a-x）2，解得x＝22a，从而得OF＝DF＝22a，进而求得GE=6DF；又22OF＝22×22a＝2a，从而可得∴OC=22OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断△COF∽△CEG. 据此逐项分析即可得出正确答案.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
9．计算：2a+3a＝　 　．
【答案】5a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】原式＝（2＋3）a
＝5a.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变。
10．已知 ∠A的补角为 60°，则 ∠A= 　 　 ° .
【答案】120
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠A的补角为60°，
∴∠A=180°-60°=120°，
故答案为：120.
【分析】根据补角的定义，即可得出∠A=180°-60°=120°.
11．写出一个在1到3之间的无理数：　 　.
【答案】2 （答案不唯一）
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵1＜2＜3 ∴ 在1到3之间的无理数是2.
故答案案为：2 （答案不唯一）.
【分析】根据1＜2＜3，即可写出在1到3之间的无理数是2.
12．若关于 x 的一元二次方程 mx2+nx−1=0(m≠0) 的一个解是 x=1 ，则 m+n 的值是　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得：m+n-1=0， ∴m+n=1.
故答案为：1.
【分析】把x=1代入方程得出m+n-1=0，即可得出m+n=1.
13．如图， AB 是 ⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， A 为切点，连接 BC ，与 ⊙O 交于点 D ，连接 OD .若 ∠AOD=82° ，则 ∠C=　 　° .
【答案】49
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，
∴∠A=90°，
∵∠AOD=82°，
∴∠B=41°，
∴∠C=90°-41°=49°.
故答案为：49.
【分析】根据切线的性质得出∠A=90°，根据圆周角定理得出∠B=12∠AOD=41°，即可得出∠C=90°-41°=49°.
14．如图，在 6×6 正方形网格中， △ABC 的顶点 A 、 B 、 C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 sinA=　 　.
【答案】45
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，

∴AD=3，CD=4，
在Rt△ADC中，AC=AD2+CD2=32+42=5，
∴sinA=CDAC=45.
故答案为：45.
【分析】如图，过点C作CD⊥AB，在Rt△ADC中利用勾股定理求得AC=5，再根据正弦的定义，即一个角的正弦等于这个角的对边比上斜边，代入数据即可求解.
15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y=−0.2x2+x+2.25 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是　 　 m .
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，
∴-0.2x2+x+2.25=3.05，
整理，解得：x1=1，x2=4，
∴H（4，0），
∴OH=4m.
故答案为：4.
【分析】由篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，得出-0.2x2+x+2.25=3.05，解得x1=1，x2=4，从而得出点H的坐标为（4，0），即可得出OH=4m.
16．如图，在 ▱ABCD 中， ∠ABC=150° .利用尺规在 BC 、 BA 上分别截取 BE 、 BF ，使 BE=BF ；分别以 E 、 F 为圆心，大于 12EF 的长为半径作弧，两弧在 ∠CBA 内交于点 G ；作射线 BG 交 DC 于点 H .若 AD=3+1 ，则 BH 的长为　 　.
【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CD于点M，

由题意得：BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3+1，AB∥CD，
∴∠CHB=∠ABH=∠CBH，∠C+∠ABC=180°，
∴CH=BC=3+1，∠C=180°-150°=30°，
∴BM=12BC=3+12，
∴CM=BC2-BM2=3+32，
∴HM=3+1-3+32=3-12，
∴BH=HM2+BM2=2.
故答案案为：2.
【分析】过点B作BM⊥CD于点M，由题意得BH平分∠ABC，即得出∠ABH=∠CBH，根据平行四边形的性质得出BC=AD=3+1，AB∥CD，从而得出∠CHB=∠ABH=∠CBH，∠C+∠ABC=180°，进而得出CH=BC=3+1，∠C=30°，再求出BM和HM的长，最后根据勾股定理即可求得BH的长.
三、解答题（本大题共11小题，共102分.）
17．计算 (−10)×(−12)−16+20220 .
【答案】解：原式=5-4+1=2.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】依次计算出有理数的乘法，算术平方根及非零数的零次方，再把所得结果相加减即可求解.
18．解不等式 2x−1>3x−12 ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：去分母，得：2（2x-1）＞3x-1，
去括号，得：4x-2＞3x-1，
移项，合并得：4x-3x＞-1+2，
合并同类项，解得：x＞1，
∴不等式的解集在数轴上表示如下，
.
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤，即去分母、去括号、移项及合并同类项，即可解得不等式的解集，再根据“大于朝右拐，无等号空心点”，讲解集表示在数轴上即可.
19．化简 1x−1+x2−3xx2−1 .
【答案】解：原式 =x+1x2−1+x2−3xx2−1
=x+1+x2−3xx2−1
=x2−2x+1x2−1
=(x−1)2x2−1
=(x−1)2(x+1)(x−1)
=x−1x+1.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】先把异分母进行通分，分子相加进行化简，再把分子分母进行因式分解后约分，化为最简分式即可.
20．为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目： A 乒乓球， B 排球， C 篮球， D 跳绳.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表.
问卷情况统计表
运动项目
人数
A 乒乓球
m
B 排球
10
C 篮球
80
D 跳绳
70
（1）本次调查的样本容量是　 　，统计表中 m=　 　；
（2）在扇形统计图中，“ B 排球”对应的圆心角的度数是　 　° ；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“ A 乒乓球”的学生人数.
【答案】（1）200；40
（2）18
（3）解：该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数=40200×2000=400人.
答：估计该校最喜欢“ A 乒乓球”的学生人数约为400人.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；统计表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的样本容量=80÷40%＝200，
A乒乓球人数m=200-10-80-70＝40人.
故答案为：200，40；
（2）“B排球”对应的圆心角的度数=360°×10200＝18°.
故答案为：18；
【分析】（1）利用“C篮球”的学生人数除以其所占的百分比，求出调查的总人数为200人，即可得到本次调查的样本容量；用调查的总人数减去其他各组的人数即可求出A乒乓球人数m的值；
（2）直接用360°乘以“B排球”所占调查人数的百分比，即可求得“B排球”对应的圆心角的度数；
（3）求出最喜欢“A乒乓球”的学生人数占调查人数的百分比，再乘以学校的总人数，即可估计该校最喜欢“ A 乒乓球”的学生人数.
21．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率.
【答案】（1）13
（2）解：画出树状图如图所示：
∴甲、乙两人同时做出手势的情况一共有9种，其中乙不输的情况有6种，
∴P（乙不输）=69=23.
答：乙不输的概率是23.
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率=13.
故答案为：13.
【分析】（1）根据甲作出的手势有3种情况，作出“石头”手势的情况是1种，再用作出“石头”手势的情况数除以甲作出的手势的总数，即可求出甲每次做出“石头”手势的概率；
（2）正确画出树状图后可知甲、乙两人同时做出手势的情况一共有9种，其中乙不输的情况有6种，再用概率计算公式代入数据即可求解.
22．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品.每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱.问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格.
【答案】解：设人数为x人，
由题意，得：8x-3=7x+4，
解得：x=7，
∴人数为7人，物品价格=8×7-3=53钱.
答：有7人，物品价格是53钱.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设人数为x人，由“每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱”可列方程8x-3=7x+4， 整理解得x即可求解.
23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=ax+b(a≠0) 的图像与反比例函数 y=kx(k≠0) 的图像交于 P 、 Q 两点.点 P(−4，3) ，点 Q 的纵坐标为－2.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求 △POQ 的面积.
【答案】（1）解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数=y=kx（k≠0）图象交于P、Q，且P（-4，3） ，
∴k=-4×3=-12，
∴反比例函数表达式为y=−12x，
又∵Q点的纵坐标为-2，
∴Q（6，-2），
把P、Q两点的坐标代入一次函数解析式，
∴−4a+b=36a+b=−2，解得a=−12b=1，
∴一次函数表达式为y=-12x+1.
（2）解：设一次函数的图象与y轴交点为M，如图所示，

∴M（0，1），
又∵P（-4，3） ，Q（6，-2），
∴S△POQ=S△POM+S△QOM=12×1×4+12×1×6=5.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数=y=kx（k≠0）图象交于P、Q，且P（-4，3） ，可得k=-4×3=-12，即可求得反比例函数表达式，再把Q点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出点Q的坐标，再把P、Q两点的坐标代入一次函数解析式，列出方程组求得a、b的值，即可得到一次函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与y轴交点为M，易得M（0，1），又P（-4，3） ，Q（6，-2），利用三角形的面积公式结合S△POQ=S△POM+S△QOM，代入数据计算即可求解.
24．我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点 A 处测得阿育王塔最高点 C 的仰角 ∠CAE=45° ，再沿正对阿育王塔方向前进至 B 处测得最高点 C 的仰角 ∠CBE=53° ， AB=10m ；小亮在点 G 处竖立标杆 FG ，小亮的所在位置点 D 、标杆顶 F 、最高点 C 在一条直线上， FG=1.5m ， GD=2m .
（1）求阿育王塔的高度 CE ；
（2）求小亮与阿育王塔之间的距离 ED .
（注：结果精确到 0.01m ，参考数据： sin53°≈0.799 ， cos53°≈0.602 ， tan53°≈1.327 ）
【答案】（1）解：在Rt△CAE中，∠CAE=45°，
∴CE=AE，
∵AB=10m，
∴BE=AE-AB=（CE-10）m，
在Rt△CEB中，∠CBE=53°，
∴tan53°=CEBE=CECE−10，即tan53°（CE-10）=CE，
解得：CE≈40.58m.
答：阿育王塔的高度约为40.58m.
（2）解：∵CE⊥ED，FG⊥ED，
∴CE∥FG，
∴Rt△CED∽Rt△FGD，
∴FGCE=GDED，即1.540.58=2ED，
∴ED≈54.11m.
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m.
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由等腰直角三角形性质得CE=AE，继而表示出BE=AE-AB=（CE-10）m，再在在Rt△CEB中，∠CBE=53°，利用角的正弦求得CE的长度，即可得阿育王塔的高度；
（2）由CE⊥ED，FG⊥ED得CE∥FG，即证出Rt△CED∽Rt△FGD，再由相似三角形对应比的比例关系得
1.540.58=2ED，求出ED的长，即可得小亮与阿育王塔之间的距离.
25．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到点 E ，使 DE=AD ，且 BE⊥DC .
（1）求证：四边形 DBCE 为菱形；
（2）若 △DBC 是边长为2的等边三角形，点 P 、 M 、 N 分别在线段 BE 、 BC 、 CE 上运动，求 PM+PN 的最小值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
又∵DE∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形，
∵BE⊥DC，
∴四边形DBCE为菱形.
（2）解：如图，由菱形对称性得点N关于BE的对称点N'在DE上，
∴PM+PN=PM+PN'，
当P、M、N'共线时，PM+PN=PM+PN'=MN'，
过点D作DH⊥BC于点H，
∵DE∥BC，
∴MN' 的最小值即为平行线间的距离DH的长，
∵△DBC是边长为2的等边三角形，
∴在Rt△DBH中，∠DBC =60°，DB=2，
∴ DH=DB·sin60°=2×32=3，
∴PM+PN的最小值为3.
【知识点】平行线之间的距离；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由平行四边形ABCD性质得AD∥BC，AD=BC，又DE=AD，得出DE=BC，且DE∥BC，可证出四边形DBCE为平行四边形，再结合BE⊥DC，进而证得四边形DBCE为菱形；
（2）由菱形对称性得点N关于BE对称点N'在DE上，则PM+PN=PM+PN'，因此当P、M、N'共线时，PM+PN=PM+PN'=MN'， 过点D作DH⊥BC于点H，MN' 的最小值即为平行线间的距离DH的长，再利用等边三角形和直角三角形的性质求得DH的长度，即可求得PM+PN的最小值.
26．已知二次函数 y=x2+(m−2)x+m−4 ，其中 m>2 .
（1）当该函数的图象经过原点 O(0，0) ，求此时函数图象的顶点 A 的坐标；
（2）求证：二次函数 y=x2+(m−2)x+m−4 的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线 y=−x−2 上运动，平移后所得函数的图象与 y 轴的负半轴的交点为 B ，求 △AOB 面积的最大值.
【答案】（1）解：∵二次函数图象过O（0，0），
∴m-4=0，
∴m=4，
∴y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴顶点A坐标为（-1，-1）.
（2）证明：∵抛物线顶点坐标为(2−m2，−m2+8m−204)，m＞2，
∴2−m2＜0，
又∵−m2+8m−204=-14（m-4）2-1 ，
∴−m2+8m−204≤-1＜0
∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限.
（3）解：设平移后的二次函数表达式为y=x2+bx+c，
∴顶点坐标为(−b2，4c−b24)，
当x=0时，B（0，c）
把(−b2，4c−b24)代入y=-x-2中，得c=b2+2b−84，
∵B点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴OB=-c=-b2+2b−84 ，
如图，过点A作AH⊥OB于点H，

由（1）可知：A（-1，-1）
∴AH=1，
∴S△AOB=12OB⋅AH=12×(−b2+2b−84)×1=−18b2−14b+1=−18(b+1)2+98，
∵-18＜0，
∴当b=-1时，此时c＜0，△AOB的面积最大，最大值为98.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由图象过原点可知，二次函数解析式的常数项为0，即m-4=0，解得m值即可求得二次函数的表达式，即可得出顶点A的坐标；
（2）由顶点坐标公式求得抛物线的顶点为(2−m2，−m2+8m−204)，又m＞2，推出2−m2＜0，再由−m2+8m−204=-14（m-4）2-1 ，可得−m2+8m−204＜0，确定二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）设平移后的二次函数表达式为y=x2+bx+c，则顶点坐标为(−b2，4c−b24)，易得B（0，c），再把顶点坐标代入y=-x-2中得c=b2+2b−84，进而表示OB=-b2+2b−84 ，如图，过点A作AH⊥OB于点H，由（1）可知A（-1，-1） ，则AH=1，再由三角形的面积公式代入数据计算得三角形AOB的面积=−18b2−14b+1=−18(b+1)2+98，再由二次函数的性质可得b=-1时，此时c＜0，△AOB的面积最大，最大值为98.
27．如图
【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中 ∠ACB=∠DEB=90° ， ∠B=30° ， BE=AC=3 .
【问题探究】
小昕同学将三角板 DEB 绕点 B 按顺时针方向旋转.
（1）如图2，当点 E 落在边 AB 上时，延长 DE 交 BC 于点 F ，求 BF 的长.
（2）若点 C 、 E 、 D 在同一条直线上，求点 D 到直线 BC 的距离.
（3）连接 DC ，取 DC 的中点 G ，三角板 DEB 由初始位置（图1），旋转到点 C 、 B 、 D 首次在同一条直线上（如图3），求点 G 所经过的路径长.
（4）如图4， G 为 DC 的中点，则在旋转过程中，点 G 到直线 AB 的距离的最大值是　 　.
【答案】（1）解：由题意得，∠BEF=∠BED=90°，
∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cos∠ABC=BEBF，
∴BF=BEcos∠ABC=3cos30°=23.
（2）解：①当点E在BC上方时，
如图一，过点D作DH⊥BC于点H，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，
∴tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC=3tan30°=33，
在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，BE=3，tan∠DBE=DEBE，
∴DE=BE⋅tan30°=3，
∵点C、E、D在同一直线上，且∠DEB=90°，
∴∠CEB=180°−∠DEB=90°，
在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3，
∴CE=BC2−BE2=32，
∴CD=CE+DE=32+3，
∵S△BCD=12CD⋅BE=12BC⋅DH，
∴DH=CD⋅BEBC=6+1；
②当点E在BC下方时，
如图二，过点D作DM⊥BC于点M，

∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33，
∴CE=BC2−BE2=32，
∴CD=CE−DE=32−3，
∵S△BDC=12BC⋅DM=12CD⋅BE，
∴DM=6−1，
综上，点D到直线BC的距离为6+1或6-1.
（3）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3，
∴点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，
点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，
∴点G所经过的路径长=150360×2π×3=536π.
（4）734
【知识点】三角形的面积；勾股定理；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，

∵点O为BC中点，BC=33，
∴OB=12BC=332，
在Rt△OKB中，∠KBO=30°，
∴OK=332×12=334，
由（3）可知：点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
∴点G到直线AB的距离最大值=3+334=734.
故答案为：734.
【分析】（1）在Rt△BEF中，有∠ABC=30°，BE=3，根据30°角的余弦即可求得BF的长；
（2）分两种情况：①当点E在BC上方，如图一过点D作DH⊥BC于点H，解直角三角形得BC=33，DE=BE⋅tan30°=3，由勾股定理求得CE=32，从而得CD=32+3，再由三角形BCD的面积得DH=CD⋅BEBC，代入数据计算即可；②当点E在BC下方时，如图二，过点D作DM⊥BC于点M，由勾股定理求得CE=32，则CD=32-3，同理由三角形BCD的面积得DH=CD⋅BEBC，代入数据计算即可；
（3）如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3，则点G在以O为圆心，3为半径的圆上，当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，最后由弧长计算公式代入数据即可求解；
（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，由点O为BC中点，BC=33，求得OB=12BC=332，解直角三角形可求得OK=334，由（3）可知：点G在以O为圆心，3为半径的圆上，即得点G到直线AB的距离最大值.