浙江省舟山市2022年中考数学试卷解析版
展开浙江省舟山市2022年中考数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每题3分,共30分)
1.若收入3元记为+3,则支出2元记为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】D
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解:∵收入3元记为+3,
∴支出2元,记为-2,
故答案为:D.
【分析】根据相反意义的量的关系,收入记为正,则支出记为负,据此即可解答.
2.如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:该几何体的主视图为:.
故答案为:B.
【分析】根据主视图的定义,从正面看该几何体,上层位一个正方形,下层位3个正方形,据此即可得出正确答案.
3.根据有关部门测算,2022年春节假期7天,全国国内旅游出游251000000人次,数据251000000用科学记数法表示为( )
A.2.51×108 B.2.51×107 C.25.1×107 D.0.251×109
【答案】A
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解:251000000=2.51×108.
故答案为:A.
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,n等于原来数的整数位减1,据此即可得出正确答案.
4.用尺规作一个角的角平分线,下列作法中错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】平行线的性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的性质;角平分线的判定;作图-角的平分线
【解析】【解答】解:A、由作图痕迹可知,是作已知角的角平分线方法,A选项不符合题意;
B、由作图痕迹可知,可构造三角形全等,推出角相等,即可作出角的角平分线,B选项不符合题意;
C、由作图痕迹可知,可构造出等腰三角形及平行线推出角相等,进而得出角平分线,C不符合题意;
D、由作图痕迹可知,是作平行四边形,无法得出角的角平分线,D选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据角的角平分线作法步骤,可判断A选项;由图中痕迹可知,构造三角形全等,由全等性质得出角相等,从而得到角的角平分线,可判断B选项;由作图痕迹可知,由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分,进而得出角平分线,可判断C选项;由作图痕迹可知,图中可作出平行四边形ABCD,平行四边形对角线不平分内角,故得不到角的角平分线,可判断D选项. 据此逐项分析判断即可得出正确答案.
5.估计 6 的值在( )
A.4和5之间 B.3和4之间 C.2和3之间 D.1和2之间
【答案】C
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解:∵4<6<9,
∴2<6<3.
故答案为:C.
【分析】利用“夹逼法”,找到离6两端最接近且可以开方的正整数,据此即可得出正确答案.
6.如图,在△ABC中,AB=AC=8.点E、F、G分别在边AB、BC、AC上.EF∥AC、GF∥AB、则四边形AEFG的周长是( )
A.32 B.24 C.16 D.8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC=8,
∴∠B=∠C,
∵EF∥AC,GF∥AB,
∴∠B=∠GFC,∠C=∠EFB,四边形AEFG为平行四边形,
∴AE=GF=GC,AG=EF=EB,
∴平行四边形AEFG的周长=2AE+2EF=2(AE+EF)=2(AE+EB)=2AB=2×8=16.
故答案为:C.
【分析】由等腰三角形可得∠B=∠C,再由平行四边形的判定定理得四边形AEFG为平行四边形,利用等腰三角形性质及平行四边形性质得AE=GF=GC,AG=EF=EB,再根据平行四边形周长=2AE+2EF,通过线段的等量代换可得平行四边形的周长=2AB,代入数据计算即可求解.
7.A、B两名射击运动员进行了相同次数的射击.下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A成绩较好且更稳定的是( )
A.xA > xB 且 SA2 > SB2 B.xA > xB 且 SA2 <SB2
C.xA < xB 且 SA2 > SB2 D.xA < xB 且 SA2 < SB2
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度;分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解:A、∵xA > xB 且 SA2 > SB2,
∴A运动员的平均成绩好于B运动员,但A运动员的方差大于B运动员,即A运动员的成绩不稳定,
∴A选项不符合题意;
B、∵xA > xB 且 SA2 < SB2,
∴A运动员的平均成绩好于B运动员,且A运动员的方差小于B运动员,即A运动员的成绩稳定,
∴B选项符合题意;
C、∵xA < xB 且 SA2 > SB2,
∴A运动员的平均成绩低于B运动员,但A运动员的方差大于B运动员,即A运动员的成绩不稳定,
∴C选项不符合题意;
D、∵xA < xB 且 SA2 < SB2,
∴A运动员的方差小于B运动员,即A运动员的成绩稳定,但A运动员的平均成绩低于B运动员,
∴D选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】根据平均成绩和方差的意义,即平均成绩大且方差小的运动员的成绩更好且更稳定,据此逐项分析即可得出正确答案.
8.上学期某班的学生都是双人桌,其中 14 男生与女生同桌,这些女生占全班女生的 15 。本学期该班新转入4个男生后,男女生刚好一样多,设上学期该班有男生x人,女生y人.根根据题意可得方程组为( )
A.x+4=yx4=y5 B.x+4=yx5=y4 C.x−4=yx4=y5 D.x−4=yx5=y4
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解:设上学期该班有男生x人,女生y人,
由题意,得:x+4=yx4=y5.
故答案为:A.
【分析】设上学期该班有男生x人,女生y人,由”14男生与女生同桌,这些女生占全班女生的15“和“本学期该班新转入4个男生后,男女生刚好一样多”,可列出方程组x+4=yx4=y5,即可得出正确答案.
9.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为( )
A.14 B.15 C.4 D.17
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,
∴∠F=∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,
∴四边形BGEF为矩形,
∴EG=BF,
由题意得,Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,
∵点A在边DE的中点上,若AB=BC,DB=DE=2,
∴BE=2DE=22,DA=AE=12DE=1,
∴AB=BC=22+12=5,
∵S△AEB=12AE·BD=12AB·EG,
∴1×2=5·EG,
∴EG=255,
∴BF=255,
∴在Rt△EBF中,由勾股定理得EF=BE2-BF2=(22)2-(255)2=655,
∴CF=BF+BC=255+5=755,
∴在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=EF2+CF2=(655)2+(755)2=17.
故答案为:D.
【分析】如图,过点E作EF⊥CB的延长线于点F,过点E作BC的平行线交BA延长线于点G,从而得∠F= ∠ABF=∠EGA=∠GEF=90°,可证得四边形BGEF为矩形,即得EG=BF,易知Rt△ABC和Rt△BDE都为等腰直角三角形,由等腰三角性质求得BE=22,DA=AE=1,AB=BC=5,根据△AEB的面积,可列=12AE·BD=12AB·EG,代入数据求得EG=255,从而得BF=255,再在Rt△EBF中,由勾股定理求得EF=655,从而得CF=755,最后在Rt△EFC中,由勾股定理求得EC的长即可.
10.已知点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k≠0)上,若ab的最大值为9,则c的值为( )
A.52 B.2 C.32 D.1
【答案】B
【知识点】二次函数的最值;一次函数的性质
【解析】【解答】解:∵点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k≠0)上,
∴ak+3=b,4k+3=c,
∴ab=a(ak+3)=a2k+3a=k(a+32k)2-94k,
又∵ab的最大值为9,
∴k<0,且-94k=9,
∴k=-14,
∴4×(-14)+3=c,
∴c=2.
故答案为:B.
【分析】把点A(a,b),B(4,c)分别代入一次函数解析式可得ak+3=b,4k+3=c,再表示出ab的乘积为ab=a(ak+3)=k(a+32k)2-94k,根据ab的最大值为9,可得k<0,且-94k=9,从而求得k-14,再代入4k+3=c中计算,即可求出c值.
二、填空题(本题有6小题,每题4分,共24分)
11.分解因式: m2+m= .
【答案】m(m+1)
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解: m2+m=m(m+1)
故答案为:m(m+1).
【分析】利用提公因式法进行因式分解.
12.正八边形一个内角的度数是 .
【答案】135°
【知识点】正多边形的性质;邻补角
【解析】【解答】解:正八边形的一个外角度数=360÷8=45°,
∴正八边形的一个内角度数=180°-45°=135°.
故答案为:135°.
【分析】先由360°÷8求出正八边形的一个外角度数,再由内角和外角互为邻补角,即可求出其内角度数.
13.不透明的袋子中装有5个球,其中有3个红球和2个黑球,它们除颜色外都相同。从袋子中随机取出1个球,它是黑球的概率是 .
【答案】25
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解:∵不透明的袋子中装有5个球,其中有3个红球和2个黑球,
∴随机取出1个球是黑球的概率=25.
故答案为:25.
【分析】根据概率公式,即随机取出1个球是黑球的概率=黑球个数总球数,代入数据计算即可求解.
14.如图,在直角坐标系中,△ABC的顶点C与原点O重合,点A在反比例函数y= kx (k>0,x>0)的图象上,点B的坐标为(4,3),AB与y轴平行,若AB=BC,则k= .
【答案】32
【知识点】平行线的性质;勾股定理;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵AB∥y轴,B(4,3),点A在反比例函数y=kx (k>0,x>0)的图象上,
∴点A(4,k4),
∵△ABC的顶点C与原点O重合,
∴BC=OB=42+32=5,
∵AB=BC,
∴5=k4-3,
∴k=32.
故答案为:32.
【分析】由AB∥y轴,B(4,3),点A在反比例函数y=kx (k>0,x>0)的图象上,得点A(4,k4),再由勾股定理求得OB的长,结合AB=BC,从而得5=k4-3,解之即可确定k的值.
15.某动物园利用杠杆原理称象;如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不许)分别悬挂在钢梁的点A、B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k(N),若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 (N)(用含n,k的代数式表示)
【答案】kn
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解:设大象的重量为m,
∵移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k(N),
∴k·BP=m·PA,
若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,设此时弹簧秤的度数为k'(N),
∴k'·n·BP=m·PA,
∴k'n·BP=k·BP,
∴k'=kn(N).
故答案为:kn.
【分析】设大象的重量为m,由移动弹簧秤前弹簧秤的度数为k(N),得k·BP=m·PA,若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,设此时弹簧秤的度数为k'(N),则k'·n·BP=m·PA,等量代换即可求出k'的值.
16.如图,在扇形AOB中,点C,D在 AB 上,将 CD 沿弦CD折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F。已知∠AOB=120°,OA=6,则 EF 的度数为 ;折痕CD的长为 。
【答案】60°;46
【知识点】圆的综合题;翻折变换(折叠问题);直角三角形的性质
【解析】【解答】解:如图,分别过点E作AO的垂线,过点F作OB的垂线,交于点G,连接GC、GO交CD于点H,过点F作FQ⊥GO,连接OC,
∴点G为⊙G圆心,GE=GF,
∴∠GEO=∠GFO=90°,
∵∠EOF=∠AOB=120°,
∴∠EGF=180°-∠EOF=60°,
∴EF的度数为60°;
∵将CD沿弦CD折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F,
∴BD垂直平分GO,GC=GF,
∴GH=OH=12GO,GC=CO,DH=HC=12CD,
∵OA=OC=6,
∴GC=GF=6
又∵GO=OG,
∴Rt△GEO≌Rt△GFO(HL),
∴∠GOF=12∠AOB=60°,∠OGF=12∠EGF=30°,
∴在Rt△GQF中,QF=12GF=3,GQ=3QF=33,
在Rt△OQF中,OQ=13QF=3,
∴OG=OQ+GQ=3+33=43,
∴GH=12OG=23,
∴在Rt△GHC中,HC=GC2-GH2=62-(23)2=26,
∴CD=2HC=46.
故答案为:46.
【分析】如图,分别过点E作AO的垂线,过点F作OB的垂线,交于点G,连接GC、GO交CD于点H,过点F作FQ⊥GO,连接OC,即可确定⊙G圆心,GE=GF,从而得∠GEO=∠GFO=90°,再由角的互补关系即可得∠EGF=180°-∠EOF=60°,进而得EF的度数;由CD沿弦CD折叠后恰好与OA,OB相切于点E,F,易得BD垂直平分GO,GC=GF,得GH=OH=12GO,GC=CO,DH=HC=12CD,再由”HL“定理证出Rt△GEO≌Rt△GFO,即得∠GOF=12∠AOB=60°,∠OGF=12∠EGF=30°,利用30°角所对直角边等于斜边一半及直角三角形性质求得QF=3,GQ=33,OQ=3,再由OG=OQ+GQ可得OG=43,从而得GH=23,最后由勾股定理求出HC的长度,即可得到CD的长.
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分
17.
(1)计算: 38−(3−1)0
(2)解不等式:x+8<4x-1
【答案】(1)解:原式=2-1=1.
(2)解:∵x+8<4x-1,
∴3x>9,
x>3.
【知识点】实数的运算;解一元一次不等式
【解析】【分析】(1)依次计算出8的立方根,非零数的零次幂,再把所得结果相减即可求解;
(2)根据解一元一次不等式的步骤,即移项,合并同类项,系数化为1,即可求得不等式的解集.
18.小惠自编一题:“如图在四边形ABCD中对角线AC、BD;交于点O,AC⊥BD,OB=OD。求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流。
小惠:
证明:∵ AC⊥BD,OB= OD,
∴AC垂直平分BD
∴AB= AD,CB=CD
∴四边形ABCD是菱形
小洁:
这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明。
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
【答案】解:赞成小洁的说法,补充的条件为AB=CB(或AD=DC),证明如下:
∵ AC⊥BD,OB= OD,
∴AC垂直平分BD,
∴AB= AD,CB=CD,
∵AB=CB,
∴AB= AD=CB=CD,
∴四边形ABCD为菱形.
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】因为小慧的证明方法中只是证明出四边形ABCD相对的邻边各自相等,无法证出四边形是菱形;因而赞成小洁的说法,补充条件为AB=CB(或AD=DC),在小惠的证明过程基础上,只需要证明出AB= AD=CB=CD,即四边相等,即可得出四边形ABCD为菱形.
19.观察下面的等式: 12=13+16 , 13=14+112 , 14=15+120 ,……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数).
(2)请运用分式的有关知识,推理说明这个结论是正确的。
【答案】(1)解:∵12=13+16=12+1+12×(2+1),
13=14+112=13+1+13×(3+1),
14=15+120=14+1+14×(4+1),
⋮
∴1n=1n+1+1n(n+1).
(2)证明:∵1n+1+1n(n+1)=nn(n+1)+1n(n+1)=n+1n(n+1)=1n,
∴1n=1n+1+1n(n+1),这个结论是正确的.
【知识点】利用分式运算化简求值;探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)先对已知等式中的分母进行拆解,从而得到12=12+1+12×(2+1),13=13+1+13×(3+1),
14=14+1+14×(4+1),即可得出1n=1n+1+1n(n+1);
(2)把(1)中结论的等式右边进行通分,化简可得1n+1+1n(n+1)=1n,即可证明结论是正确的.
20.6月13日,某港口的湖水商度y(cm)和时间x(h)的部分数据及函数图象如下:
x(b)
……
11
12
13
14
15
16
17
18
……
y(cm)
……
189
137
103
80
101
133
202
260
……
(数据来自某海举研究所)
(1)数学活动:
①根据表中数据,通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象.
②观察函数图象,当x=4时,y的值为多少?当y的值最大时,x的值为多少?
(2)数学思考:
请结合函数图象,写出该函数的两条性质或结论.
(3)数学应用:
根据研究,当潮水高度超过260cm时,货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段适合货轮进出此港口?
【答案】(1)解:①依据表中数据,通过描点、连线的方式补全该函数图象如下;
②由①中图象可知,当x=4时,y=200;
当y的值最大时,即图象的最高点,此时对应的x=21.
(2)解:①x=14时,y有最小值为80;
②当14≤x≤21时,y随x的增大而增大.
(3)解:当潮水高度超过260cm时,货轮能够安全进出该港口,如图所示,
∴当5<x<10和18<x<23时,货轮能够安全进出该港口.
【知识点】描点法画函数图象;通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】(1)①将表格中(14,80),(15,101),(16,133),(17,202),(18,260)描在平面直角坐标系中,再用光滑的曲线连线,即可补全该函数图象;②观察函数图象,找到x=4时对应的y值,及图象最高点对应的x值即可解集问题;
(2)从函数增减性和函数最值两方面总结,即①x=14时,y有最小值为80;②当14≤x≤21时,y随x的增大而增大(答案不唯一,符合图象性质即可);
(3)由题意可知,当潮水高度超过260cm时,货轮能够安全进出该港口,在(1)中画出的函数图象,标出潮水高等于260cm的位置,对应找出x的取值范围,即可求出货轮能够安全进出该港口的时段.
21.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形,其示意图如图2,已知AD=BE=10cm,CD=CE=5cm,AD⊥CD,BE⊥CE,∠DCE=40°.
(1)连结DE,求线段DE的长.
(2)求点A、B之间的距离.
(结果精确到0.1cm.参考数据:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36.sin40°≈0.64.cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
【答案】(1)解:如图2,过点C作CF⊥DE于点F,
∵CD=CE=5cm,∠DCE=40°,
∴∠DCF=∠ECF=20°,DF=EF=12DE,
∴在Rt△DFC中,sin20°=DFCD=DF5≈0.34,
∴DF=1.7cm,
∴DE=2DF=3.4cm.
(2)解:如图2,连接AB,过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥AB于点H,
∴∠AGD=90°,
由题意可得:CF垂直平分AB,
∴DG∥CF,
∴∠GDC=∠DCF=20°,
又∵AD⊥CD,
∴∠A+∠ADG=∠GDC+∠ADG=90°,
∴∠A=∠GDC=20°,
∴在Rt△AGD中,AD=10cm,cos20°=AGAD=AG10≈0.94,
∴AG=9.4,
同理可得:HB=9.4,
∴AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm.
答:点A、B之间的距离为22.2cm.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】(1)如图2,过点C作CF⊥DE于点F,由等腰三角形性质可得∠DCF=∠ECF=20°,DF=EF=12DE,再根据锐角三角函数定义,即在Rt△DFC中,sin20°=DFCD=DF5≈0.34,求得DF的长,进而求得DE的长;
(2)如图2,连接AB,过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥AB于点H,∠AGD=90°,由题意得CF垂直平分AB,从而得DG∥CF,进而得∠GDC=∠DCF=20°,通过角互余等量代换得∠A=∠GDC=20°,
由cos20°=AGAD=AG10≈0.94,求得AG=9.4,同理得HB=9.4,最后由AB=AG+GH+HB代入数据计算即可求解.
22.某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况,随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查,并将调查向卷(部分)和结果描述如下:
中小学生每周参加家庭劳动时间x(h)分为5组:第一组(0≤x<0.5),第二组(0.5≤x<1),第三组(1≤x<1.5),第四组(1.5≤x<2),第五组(x≥2)。
根据以上倌息,解答下列问题:
(1)本大调查中,中小学生每周参加家庭动时间的中位数落在哪一组?
(2)在本次被调查的中小学生中,选择“不喜欢”的人数为多少?
(3)该教育部门倡仪本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h.请结合上述统计图,对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价,并提出两条合理化建议.
【答案】(1)解:∵总数据个数为1200,
∴最中间的两个数据是第600和第601个数据,
由统计表可知:前两组的数据个数之和=308+295=603,
∴600和第601个数据均在第二组,
∴中小学生每周参加家庭动时间的中位数落在第二组.
(2)解:∵每周参加家庭劳动时间大于等于2小时的人数有200人,
∴每周参加家庭劳动时间不足2小时,选择“不喜欢”的人数=(1200-200)×(1-43.2%-30.6%-8.7%)=175人.
(3)解:该地区中小学生大部分学生参加家庭劳动时间少于2小时,主要原因为没有时间及家长不舍得;
建议:
①每天完成作业后,家长要求学生合理参加家庭劳动,并进行指导;
②学校可开展各种劳动技能社团或课程,鼓励学生积极参加.
【知识点】用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图;中位数;分析数据的集中趋势
【解析】【分析】(1)由题意可知总数据个数为1200,则最中间的两个数据是第600和第601个数据,再由条形统计图可得前两组的数据个数之和=308+295=603,即最中间的数据落在第二组,即可判断出中小学生每周参加家庭动时间的中位数落在第二组;
(2)先求出每周参加家庭劳动时间不足2小时的人数,再乘以选择不喜欢的人数所占百分比,即可求出选择“不喜欢”的人数;
(3)由条形统计图和扇形统计图可知,该地区大部分学生参加家庭劳动时间少于2小时,主要原因为没有时间,家长不舍得及不喜欢;建议:从从鼓励和引导学生积极参加劳动,学校和家长共同配合,培养学生热爱劳动方面建议,合理即可,如:①每天完成作业后,家长要求学生合理参加家庭劳动,并进行指导;②学校可开展各种劳动技能社团或课程,鼓励学生积极参加.
23.已知抛物纸L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0)。
(1)求抛物线L1的函数表达式。
(2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2,若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值.
(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3,已知点P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L3上,若当t>6时,都有s>r,求n的取值范围.
【答案】(1)解:∵ y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0),
∴0=a·22-4,
∴a=1,
∴y=(x+1)2-4.
(2)解:∵将L1的图象向上平移了m个单位得到L2,
∴设L2的解析式为y=(x+1)2-4+m,
∴顶点坐标为(-1,m-4),
∵L2的顶点关于原点O的对称点在L1的图象上,
∴(1,4-m)在L1的图象上,
∴4-m=(1+1)2-4,
∴m=4.
(3)解:∵将抛物线L1的图象向右平移了n个单位得到L3,
∴设L3的解析式为y=(x+1-n)2-4,
∴抛物线开口向上,对称轴为x=n-1,
∵P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L3上,当t>6时,都有s>r,
∴P点在Q点左侧,且s>r,
①当对称轴在P、Q之间时,
∴(8-t+t-4)÷2<n-1,
∴n>3;
②当对称轴在点Q右侧时,
∵y随x的增大而减小,
∴n-1>t-4,
∴n>t-3,
∵t>6,
∴n>3;
③当对称轴在P点的左侧时,
∵y随x的增大而增大,
∴此时s<r,不满足题意,
总数所述,当t>6时,都有s>r,n>3.
【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数与不等式(组)的综合应用
【解析】【分析】(1)将A(1,0)代入抛物线L1的解析式得0=a·22-4,求出a,即可得到抛物线L1的解析式;
(2)根据函数图象平移性质,设出平移后L2的解析式为y=(x+1)2-4+m,再根据关于原点O的对称点特征得(1,4-m)在L1的图象上,代入到L1的解析式,即可求出m的值;
(3)根据函数图象平移性质,设出平移后L3的解析式为y=(x+1-n)2-4,由P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L3上,当t>6时,都有s>r,可得P点在Q点左侧,且s>r,分三种情况:①当对称轴在P、Q之间时,P、Q两点的中点坐标在对称轴左侧,即8-t+t-4)÷2<n-1,解不等式解得n的范围;②当对称轴在点Q右侧时,根据函数增减性可得n-1>t-4,结合t>6,解得n的范围;③当对称轴在P点的左侧时,根据函数增减性可得s<r,不满足题意. 据此即可确定当t>6时,都有s>r,n的取值范围.
24.如图1,在正方形ABCD中,点F,H分别在边AD,AB上,连结AC,FH交于点E,已知CF=CH.
(1)线段AC与FH垂直吗?请说明理由.
(2)如图2,过点A,H,F的圆交CF于点P,连结PH交AC于点K.求证: KHCH=AKAC
(3)如图3,在(2)的条件下,当点K是线段AC的中点时,求 CPPF 的值.
【答案】(1)解:线段AC与FH垂直,理由如下:
∵正方形ABCD,
∴∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,
∵CF=CH,
∴Rt△CBH≌Rt△CDF(HL),
∴∠BCH=∠DCF,
∴∠HCA=∠FCA,
∴AC⊥FH.
(2)解:如图2,过点K作KM⊥AB于点M,
∴∠AMK=∠KMH=90°=∠B,
∴MK∥BC,
∴△AMK∽△ABC,
∴AK:AC=MK:BC①,
∵四边形AFPH为圆内接四边形,
∴∠PHA=∠DFC,
又∵∠DFC=∠BHC,
∴∠PHA=∠BHC,即∠KHM=∠BHC,
∴△HMK∽△HBC,
∴KH:CH=KM:CB②,
由①和②得:KH:CH=AK:AC,
即KHCH=AKAC.
(3)解:如图3,
由(2)结论可得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,
∵k为AC中点,
∴KHCH=AKAC=12,
∴MH:BH=1:2,
设MH=m,则BH=2m,
∵KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,
∴KM=AM=MB=3m,AH=4m,
∴BC=AB=6m,FH=42m,
∴CH=CF=(2m)2+(6m)2=210m,EH=12AH=22m,
∵∠FAH=90°,
∴∠FPH=90°,
又∵∠PFH=∠EHC,
∴△PFH∽△EHC,
∴PF:EH=FH:HC,即PF:22m=42m:210m,
∴PF=4510m,
∴CP=CF-PF=210m-4510m=6510m,
∴CPPF=6510m4510m=32.
【知识点】直角三角形全等的判定(HL);勾股定理;正方形的性质;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)线段AC与FH垂直. 由正方形性质可得∠B=∠D=90°,CB=CD,∠BCA=∠DCA=45°,又
CF=CH,利用“HL”定理证出Rt△CBH≌Rt△CDF,即得∠BCH=∠DCF,从而得∠HCA=∠FCA,由等腰三角形性质,即可得出AC⊥FH;
(2)如图2,过点K作KM⊥AB于点M,易得MK∥BC,可证△AMK∽△ABC,即得AK:AC=MK:BC,再由圆内接四边形性质及角的等量代换可得∠KHM=∠BHC,可证△HMK∽△HBC,即得KH:CH=KM:CB,从而推出KH:CH=AK:AC,即可证明结论;
(3)由(2)结论得:KHCH=AKAC,△HMK∽△HBC,由k为AC中点,得MH:BH=1:2,设MH=m,BH=2m,由三角形中位线及正方形性质得KM=12BC=12AB,AM=MB=12AB,KM=AM=MB=3m ,AH=4m,从而得BC=AB=6m,FH=42m,再由勾股定理求得CH=CF=210m,且EH=12AH=22m;再证出△PFH∽△EHC,由相似性质得PF:EH=FH:HC,可表示出PF=4510m,从而得CP=CF-PF=6510m,进而列式计算即可求出CPPF比值.
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