2022年江西师范大附属中学中考数学对点突破模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是(　　)

A．2    B．1    C．－2    D．－1

2．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（   ）

A． B．

C． D．

3．如图1，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE=48cm2；③14＜t＜22时，y=110﹣1t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤当△BPQ与△BEA相似时，t=14.1．其中正确结论的序号是（　　）

A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤

4．化简的结果是（　　）

A．1 B． C． D．

5．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（  ）

A． B． C． D．

6．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且，则（　　）

A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些

C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些

7．若2＜＜3，则a的值可以是（　　）

A．﹣7 B． C． D．12

8．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）

A．0.7×10﹣8 B．7×10﹣8 C．7×10﹣9 D．7×10﹣10

9．2017年，山西省经济发展由“疲”转“兴”，经济增长步入合理区间，各项社会事业发展取得显著成绩，全面建成小康社会迈出崭新步伐.2018年经济总体保持平稳，第一季度山西省地区生产总值约为3122亿元，比上年增长6.2%．数据3122亿元用科学记数法表示为（　　）

A．3122×10 8元 B．3.122×10 3元

C．3122×10 11 元 D．3.122×10 11 元

10．钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是(   )

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD，则∠B的度数为_____度．

12．化简：=        .

13．如图，中，，，，将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点，则的面积为_________．

14．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　   　．

15．如果x＋y＝5，那么代数式的值是______．

16．因式分解：      ．

17．若一段弧的半径为24，所对圆心角为60°，则这段弧长为____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，求旗杆AB的髙．

19．（5分）如图，在建筑物M的顶端A处测得大楼N顶端B点的仰角α=45°，同时测得大楼底端A点的俯角为β=30°．已知建筑物M的高CD=20米，求楼高AB为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1米）

20．（8分）庐阳春风体育运动品商店从厂家购进甲，乙两种T恤共400件，其每件的售价与进货量（件）之间的关系及成本如下表所示：

（1）当甲种T恤进货250件时，求两种T恤全部售完的利润是多少元；若所有的T恤都能售完，求该商店获得的总利润（元）与乙种T恤的进货量（件）之间的函数关系式；在（2）的条件下，已知两种T恤进货量都不低于100件，且所进的T恤全部售完，该商店如何安排进货才能使获得的利润最大？

21．（10分）（1）计算：（﹣2）﹣2+cos60°﹣（﹣2）0；

（2）化简：（a﹣）÷ ．

22．（10分）如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．

23．（12分）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）求tan∠E的值．

24．（14分）今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．求购进A，B两种树苗的单价；若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

试题分析：∵α、β是一元二次方程的两个根，∴αβ==-1，故选D．

考点：根与系数的关系．

2、D

【解析】
此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．

【详解】

解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，

又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．

故选D．

点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．

3、D

【解析】
根据题意，得到P、Q分别同时到达D、C可判断①②，分段讨论PQ位置后可以判断③，再由等腰三角形的分类讨论方法确定④，根据两个点的相对位置判断点P在DC上时，存在△BPQ与△BEA相似的可能性，分类讨论计算即可．

【详解】

解：由图象可知，点Q到达C时，点P到E则BE=BC=10，ED=4

故①正确

则AE=10﹣4=6

t=10时，△BPQ的面积等于

∴AB=DC=8

故

故②错误

当14＜t＜22时，

故③正确；

分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，将两圆交点连接即为AB垂直平分线

则⊙A、⊙B及AB垂直平分线与点P运行路径的交点是P，满足△ABP是等腰三角形

此时，满足条件的点有4个，故④错误．

∵△BEA为直角三角形

∴只有点P在DC边上时，有△BPQ与△BEA相似

由已知，PQ=22﹣t

∴当或时，△BPQ与△BEA相似

分别将数值代入

或，

解得t=（舍去）或t=14.1

故⑤正确

故选：D．

【点睛】

本题是动点问题的函数图象探究题，考查了三角形相似判定、等腰三角

形判定，应用了分类讨论和数形结合的数学思想．

4、A

【解析】

原式=•（x–1）2+=+==1，故选A．

5、D

【解析】

试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故答案选D．

考点：D.

6、B

【解析】

试题解析：方差越小，波动越小.

数据B的波动小一些.

故选B.

点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

7、C

【解析】
根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项．

【详解】

解：∵2＜＜3，

∴4＜a-2＜9，

∴6＜a＜1．

又a-2≥0，即a≥2．

∴a的取值范围是6＜a＜1．

观察选项，只有选项C符合题意．

故选C．

【点睛】

考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法．

8、C

【解析】
本题根据科学记数法进行计算.

【详解】

因为科学记数法的标准形式为a×(1≤|a|≤10且n为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7×，

故选C.

【点睛】

本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.

9、D

【解析】
可以用排除法求解.

【详解】

第一，根据科学记数法的形式可以排除A选项和C选项，B选项明显不对，所以选D.

【点睛】

牢记科学记数法的规则是解决这一类题的关键.

10、A

【解析】

根据轴对称图形的概念求解．

解：根据轴对称图形的概念可知：B，C，D是轴对称图形，A不是轴对称图形，

故选A．

“点睛”本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1

【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝CD，等边对等角可得∠DAC＝∠C，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB＝∠C＋∠DAC，再次根据等边对等角可得可得∠ADB＝∠BAD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

【详解】

∵DM垂直平分AC，

∴AD＝CD，

∴∠DAC＝∠C＝28°，

∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝28°＋28°＝56°，

∵AB＝BD，

∴∠ADB＝∠BAD＝56°，

在△ABD中，∠B＝180°−∠BAD−∠ADB＝180°−56°−56°＝1°．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．

12、２

【解析】
根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.

【详解】

∵22=4，∴=2.

【点睛】

本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.

13、

【解析】
首先证明△CAA′是等边三角形，再证明△A′DC是直角三角形，在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三边的关系求出CD、A′D即可解决问题．

【详解】

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCA′=∠ACB -∠ACA′=90°-60°=30°，
∴∠A′DC=180°-∠CA′B′-∠BCA′=90°，
在Rt△A′DC中，∵∠A′CD=30°，

∴A′D=CA′=1，CD=A′D=，

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查了含30度的直角三角形三边的关系，等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，掌握旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等”是解题的关键．

14、1．

【解析】

∵ABCD的周长为33，∴2（BC+CD）=33，则BC+CD=2．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=3．

又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．∴OE=BC．

∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=3+9=1，即△DOE的周长为1．

15、1

【解析】
先将分式化简,然后将x+y=1代入即可求出答案

【详解】

当x＋y＝1时，

原式

＝x＋y＝1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查分式的化简求值,解题的关键是利用运用分式的运算法则求解代数式.

16、；

【解析】
根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．

【详解】

x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．

故答案为（x﹣4）（x+3）．

17、8π

【解析】

试题分析：∵弧的半径为24，所对圆心角为60°，

∴弧长为l==8π．

故答案为8π． 

【考点】弧长的计算．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、 (8+8)m．

【解析】
利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，由AB=AE+BE可得答案．

【详解】

在Rt△EBC中，有BE=EC×tan45°=8m，

在Rt△AEC中，有AE=EC×tan30°=8m，

∴AB=8+8（m）．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．

19、楼高AB为54.6米．

【解析】
过点C作CE⊥AB于E，解直角三角形求出CE和CE的长，进而求出AB的长．

【详解】

解：

如图，过点C作CE⊥AB于E，

则AE=CD=20，

∵CE====20，

BE=CEtanα=20×tan45°=20×1=20，

∴AB=AE+EB=20+20≈20×2.732≈54.6（米），

答：楼高AB为54.6米．

【点睛】

此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数关系得出是解题关键．

20、（1）10750；（2）；（3）最大利润为10750元.

【解析】
（1）根据“利润=销售总额-总成本”结合两种T恤的销售数量代入相关代数式进行求解即可；

（2）根据题意，分两种情况进行讨论：①0<m<200；②200≤m≤400时，根据“利润=销售总额-总成本”即可求得各相关函数关系式；

（3）求出（2）中各函数最大值，进行比较即可得到结论.

【详解】

（1）∵甲种T恤进货250件

∴乙种T恤进货量为：400-250=150件

故由题意得，；

（2）①

②；

故.

（3）由题意，，①，，

②，

综上，最大利润为10750元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，找出题中的等量关系以及根据题意确定二次函数的解析式是解题的关键．

21、（1）；（2）；

【解析】
（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂可以解答本题；

（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．

【详解】

解：（1）原式

（2）原式

【点睛】

本题考查分式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

22、证明见解析.

【解析】

【分析】利用AAS先证明∆ABH≌∆DCG，根据全等三角形的性质可得AH=DG，再根据AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH即可证得AG＝HD.

【详解】∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，

∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC，

在∆ABH和∆DCG中，

，

∴∆ABH≌∆DCG(AAS)，∴AH＝DG，

∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

23、（1）证明见解析；（2）tan∠CBG=．

【解析】
（1）连接OD，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；
（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．

【详解】

解：（1）证明：连接OD，CD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位线

∴OD∥AC，

∵DF为⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴DF⊥AC；

（2）解：如图，连接BG，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BGC=90°，

∵∠EFC=90°=∠BGC，

∴EF∥BG，

∴∠CBG=∠E，

Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，

∴CD=4，

∵S△ABC=，即6×4=5BG，

∴BG=，

由勾股定理得：CG=，

∴tan∠CBG=tan∠E=.

【点睛】

本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；把所求角的正切进行转移是基本思路，利用面积法求BG的长是解决本题的难点．

24、（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵

【解析】

试题分析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；

（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树苗的棵数关系列出不等式解答即可．

试题解析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元，

可得：，

解得：，

答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.

（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，

可得：200a+300（30﹣a）≤8000，

解得：a≥10，

答：A种树苗至少需购进10棵．

考点：1．一元一次不等式的应用；2．二元一次方程组的应用