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    成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测

    数学(文科)

    卷(选择题,共60分)

    一、选择题:本大题共12小题每小题560在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

    1.设集合,则(   )

    A.         B.       C.       D.

    2.已知复数在复平面内对应的点分别为线段的中点对应的复数为( )

    A.      B.5      C.       D.

    3.在等比数列公比(   )

    A.11    B.10   C.9    D.8

    4.是表示空气质量的指数,指数值越小表明空气质量越好指数值不大于100时称空气质量为优良.如图是某地41日到12指数值的统计数据图中点表示41日的指数值为201,则下列叙述不正确的是(   )

    A.这12天中有6天空气质量为优良        

    B.这12天中空气质量最好的是4月9日      

    C.这12天的指数值的中位数是90        

    D.从4日到9日,空气质量越来越好

    5.已知平面向量,向量垂直,则实数的值为(   )

    A.       B.       C.        D.

    6.已知双曲线直线若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点则双曲线的焦点到渐近线的距离为(   )

    A.1    B.2    C.     D.4

    7.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图,若输入的分别为15名学生的考试成绩,则输出的结果为(   )

    A.6    B.7   C. 8   D.9

    8.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑中,平面则异面直线成角的余弦值为( )

    A.     B.    C.       D.

    9.已知抛物线的焦点为,点.若线段与抛物线相交于点,则 (   )

    A.      B.       C.         D.

    10.已知函数给出下列命题函数的值域为函数的一条对称轴;为奇函数恒成立其中的真命题有(   )

    A.①②     B.③④    C. ②③     D.①④

    11.如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为(   )

    A.     B.     C.      D.

    12.在递减等差数列 中,.若,则数列的前项和的最大值为 (   )

    A.     B.    C.    D.

    卷(非选择题,共90分)

    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

    13.若,则的值为         

    14.若变量满足约束条件的最小值为         

    15.已知函数,其中.若曲线在点处的切线方程为,则         

    16.如图,将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底是半圆的直径上底的端点在半圆上则所得梯形的周长的最大         

    三、解答题 :本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  

    17.的内角的对边分别为已知

    )求角的大小

    )若,求的长.

    18.如图,在多面体底面是边长为2的菱形,四边形是矩形平面平面为线段的中

    )求三棱锥的体积;

    )求证:

    19.几个月前,成都街头开始兴起mobikeofo等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题.然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为私有等.

    为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表:

    年龄

    受访人数

    5

    6

    15

    9

    10

    5

    支持发展

    共享单车人数

    4

    5

    12

    9

    7

    3

    )由以上统计数据填写下面的列联表并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;

     

    年龄低于35

    年龄不低于35

    合计

    支持

     

     

     

    不支持

     

     

     

    合计

     

     

     

    )若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,求恰好这两人都支持发展共享单车的概率.

    参考数据:

    0.50

    0.40

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    0.455

    0.708

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    参考公式:其中

    20.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为

    )求椭圆的标准方程;

    )若直线与椭圆相交于两点,求面积的最大值.

    21.已知函数

    )若关于的不等式上恒成立的取值范围

    )设函数,在()的条件下,试判断上是否存在极值.若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由.

    请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分

    22.选修4-4:坐标系与参数方程

    已知曲线的极坐标方程为在以极点为直角坐标原点极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系直线的参数方程为为参数).

    )写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程

    )在平面直角坐标系中,设曲线经过伸缩变换得到曲线为曲线上任意一点求点到直线的最小距离

    23.选修4-5:不等式选讲

    已知

    )当求不等式的解集

    )若函数的值域为的取值范围

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试卷答案

    一、选择题

    1-5:CABCD       6-10:BDAAD      11、12:CD

    二、填空题

    13.1          14.-3           15.-1           16.10

    三、解答题

    17.解:()由已知及正弦定理,得

    化简,得

    )由余弦定理,得

    已知,即

    解得(不合题意,舍去).

    的长为3

    18.解:()如图,记

    底面是边长为2的菱形,

    ,且

    四边形是矩形,平面平面

    平面

    为线段的中点,

    )由(),可知平面

    则在正方形中,

    ,且平面

    平面

    19.解:()根据所给数据得到如下列联表:

     

    年龄低于35岁

    年龄不低于35岁

    合计

    支持

    30

    10

    40

    不支持

    5

    5

    10

    合计

    35

    15

    50

    根据列联表中的数据,得到的观测值为

    不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系.

    对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车记为事件

    对年龄在5个受访人中,有4人支持,1人不支持发展共享单车,分别记为则从这5人中随机抽取2人的基本事件为:

    10

    其中,恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含6

    对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车的概率是

    20.解:()由已知,设椭圆的方程为

    椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,

    ,得

    椭圆的标准方程为

    )设

    联立消去,得

    此时有

    由一元二次方程根与系数的关系,得

    原点到直线的距离

    ,得.又据基本不等式,得

    当且仅当时,不等式取等号.

    面积的最大值为

    21.解:()由,得

    上恒成立.

    设函数

    时,

    上单调递减.

    时,

    ,即的取值范围是

    ,则

    ,得

    时,;当时,

    上单调递增,在上单调递减.

    据(),可知

    )当,即时,

    上单调递减.

    时,上不存在极值.

    )当,即时,

    则必定,使得,且

    变化时,的变化情况如下表:

    -

    0

    +

    0

    -

    -

    0

    +

    0

    -

    极小值

    极大值

    时,上的极值为,且

    ,其中

    上单调递增,,当且仅当时取等号.

    时,上的极值

    综上所述:当时,上不存在极值;当时,上存在极值,且极值均为正.

    注:也可由,得.令后再研究上的极值问题.

    22.解:()由消去参数,得

    即直线的普通方程为

    即曲线的直角坐标方程为

    )由,得

    代入方程,得

    已知为曲线上任意一点,故可设,其中为参数.

    则点到直线的距离

    ,其中.

    到直线的最小距离为

    23.解:()当时,不等式即为

    时,不等式可化为

    时,不等式可化为

    时,不等式可化为

    综上所述:原不等式的解集为

    函数的值域

    解得

    的取值范围是

     

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