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2017成都三诊
展开成都市2014级高中毕业班第三次诊断性检测
数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数.若在复平面内对应的点分别为,线段的中点对应的复数为,则( )
A. B.5 C. D.
3.在等比数列中,,公比.若,则( )
A.11 B.10 C.9 D.8
4.是表示空气质量的指数,指数值越小,表明空气质量越好,当指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据,图中点表示4月1日的指数值为201,则下列叙述不正确的是( )
A.这12天中有6天空气质量为“优良”
B.这12天中空气质量最好的是4月9日
C.这12天的指数值的中位数是90
D.从4日到9日,空气质量越来越好
5.已知平面向量,,向量与垂直,则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线,直线.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点,则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.4
7.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图,若输入的分别为这15名学生的考试成绩,则输出的结果为( )
A.6 B.7 C. 8 D.9
8.在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑中,平面,且,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线的焦点为,点.若线段与抛物线相交于点,则 ( )
A. B. C. D.
10.已知函数.给出下列命题:①函数的值域为;②为函数的一条对称轴;③为奇函数;④,对恒成立.其中的真命题有( )
A.①② B.③④ C. ②③ D.①④
11.如图,某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
12.在递减等差数列 中,.若,则数列的前项和的最大值为 ( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若,则的值为 .
14.若变量满足约束条件,则的最小值为 .
15.已知函数,其中.若曲线在点处的切线方程为,则 .
16.如图,将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状,下底是半圆的直径,上底的端点在半圆上,则所得梯形的周长的最大值为 .
三、解答题 :本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.的内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的长.
18.如图,在多面体中,底面是边长为2的菱形,,四边形是矩形,平面平面,,为线段的中点.
(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)求证:.
19.几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题.然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等.
为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表:
年龄 | ||||||
受访人数 | 5 | 6 | 15 | 9 | 10 | 5 |
支持发展 共享单车人数 | 4 | 5 | 12 | 9 | 7 | 3 |
(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;
| 年龄低于35岁 | 年龄不低于35岁 | 合计 |
支持 |
|
|
|
不支持 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
(Ⅱ)若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,求恰好这两人都支持发展共享单车的概率.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中.
20.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于两点,求面积的最大值.
21.已知函数.
(Ⅰ)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围;
(Ⅱ)设函数,在(Ⅰ)的条件下,试判断在上是否存在极值.若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,在以极点为直角坐标原点,极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)在平面直角坐标系中,设曲线经过伸缩变换得到曲线,若为曲线上任意一点,求点到直线的最小距离.
23.选修4-5:不等式选讲
已知.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若函数的值域为,且,求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:CABCD 6-10:BDAAD 11、12:CD
二、填空题
13.1 14.-3 15.-1 16.10
三、解答题
17.解:(Ⅰ)由已知及正弦定理,得.
∵,∴.
化简,得.
∵,∴.
∵,∴.
(Ⅱ)由余弦定理,得.
已知,∴,即.
解得或(不合题意,舍去).
∴的长为3.
18.解:(Ⅰ)如图,记.
∵底面是边长为2的菱形,,
∴,且,.
∵四边形是矩形,平面平面,
∴平面.
∵,为线段的中点,
∴.
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ),可知平面.
∴.
则在正方形中,,.
∴.
∴.
∵,且平面,
∴平面.
19.解:(Ⅰ)根据所给数据得到如下列联表:
| 年龄低于35岁 | 年龄不低于35岁 | 合计 |
支持 | 30 | 10 | 40 |
不支持 | 5 | 5 | 10 |
合计 | 35 | 15 | 50 |
根据列联表中的数据,得到的观测值为
.
∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系.
(Ⅱ)“对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车”记为事件,
对年龄在的5个受访人中,有4人支持,1人不支持发展共享单车,分别记为.则从这5人中随机抽取2人的基本事件为:
,
,
,
.共10个.
其中,恰好抽取的两人都支持发展共享单车的基本事件包含.共6个.
∴.
∴对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持发展共享单车的概率是.
20.解:(Ⅰ)由已知,设椭圆的方程为.
∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,
∴.
又,∴.
由,得.
∴椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)设.
联立消去,得.
此时有.
由一元二次方程根与系数的关系,得
,.
∴.
∵原点到直线的距离,
∴.
由,得.又,∴据基本不等式,得
.
当且仅当时,不等式取等号.
∴面积的最大值为.
21.解:(Ⅰ)由,得.
即在上恒成立.
设函数,.
则.
∵,∴.
∴当时,.
∴在上单调递减.
∴当时,.
∴,即的取值范围是.
(Ⅱ),.
∴.
设,则.
由,得.
当时,;当时,.
∴在上单调递增,在上单调递减.
且,,.
据(Ⅰ),可知.
(ⅰ)当,即时,即.
∴在上单调递减.
∴当时,在上不存在极值.
(ⅱ)当,即时,
则必定,使得,且.
当变化时,,,的变化情况如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
∴当时,在上的极值为,且.
∵.
设,其中,.
∵,∴在上单调递增,,当且仅当时取等号.
∵,∴.
∴当时,在上的极值.
综上所述:当时,在上不存在极值;当时,在上存在极值,且极值均为正.
注:也可由,得.令后再研究在上的极值问题.
22.解:(Ⅰ)由消去参数,得.
即直线的普通方程为.
∵,,
∴.
即曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由,得.
代入方程,得.
已知为曲线上任意一点,故可设,其中为参数.
则点到直线的距离
,其中.
∴点到直线的最小距离为.
23.解:(Ⅰ)当时,不等式即为.
当时,不等式可化为,∴;
当时,不等式可化为,∴;
当时,不等式可化为,∴.
综上所述:原不等式的解集为.
(Ⅱ)∵ ,
∴ .
∴函数的值域.
∵,∴.
解得或.
∴的取值范围是.
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