2018成都二诊

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数学（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（   ）

A．            B．         C．        D．

2.已知向量，，.若，则实数的值为（   ）

A．                B．            C．           D．

3.若复数满足，则等于（   ）

A．              B．             C．          D．

4.设等差数列的前项和为.若，，则（   ）

A．               B．             C．           D．

5.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（   ）

A．若，则                   B．若，，则

C．若，，则           D．若，，则

6.在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（   ）

A．                            B．

C．                            D．

7.已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（   ）

A．                B．

C．                     D．

8.若为实数，则“”是“”成立的（   ）

A．充分不必要条件                     B．必要不充分条件

C．充要条件                           D．既不充分也不必要条件

9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ）

A．             B．        C．       D．

10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（   ）

A．             B．          C．       D．

11.已知数列满足：当且时，有.则数列的前项的和为（   ）

A．                B．            C．          D．

12.已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（   ）

A．                        B．

C．                               D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知，，则          ．

14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为          ．

15.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为          ．

16.已知函数，则不等式的解集为          ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.

18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：

（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？

（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率.

参考数据：

参考公式：，其中.

19.如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.

（1）若点是线段的中点，证明：平面；

（2）求六面体的体积.

20.已知椭圆：的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线：与椭圆相交于不同的两点，，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.

21.已知函数，.

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.

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数学（文科）参考答案

一、选择题

1-5: DBADC      6-10: BDBCD     11、12：AA

二、填空题

13.          14.           15.           16.

三、解答题

17.解：（1）.

由，，

得，.

∴函数的单调递减区间为，.

（2）∵，，∴.

∵，∴由正弦定理，得.

又由余弦定理，，

得.

解得.

18.解：（1）由列联表的数据，有

.

因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.

（2）把张一元券分别记作，，其余张券分别记作，，.

则从张骑行券中随机选取张的所有情况为：，，，，，，，，，.共种.

记“选取的张中至少有张是一元券”为事件，则事件包含的基本事件个数为.

∴.

所以从张骑行券中随机选取张转赠给好友，选取的张中至少有张是一元券的概率为.

19.解：（1）连接，.

∵四边形为菱形，且，

∴为等边三角形.

∵为的中点，

∴.

∵，，又是的中点，

∴.

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

又平面，∴.

由，，，

∴平面.

（2）.

已证平面，

则.

∴.

20.解：（1）由已知，有.

又，∴.

∵，

∴.

∴椭圆的方程为.

（2）①当时，点即为坐标原点，点即为点，则，.

∴.

②当时，直线的方程为.

则直线的方程为，即.

设，.

联立方程，消去，得.

此时.

∴，.

∴.

∵即点到直线的距离，

∴.

又即点到直线的距离，∴.

∴.

令，则.

∴.

即时，有.

综上，可知的取值范围为.

21.解：（1）由，得.

整理，得恒成立，即.

令.则.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数的最小值为.

∴，即.

∴的取值范围是.

（2）由（1），当时，有，即.

要证，可证，，

即证，.

构造函数.

则.

∵当时，.∴在上单调递增.

∴在上成立，即，证得.

∴当时，成立.

构造函数.

则.

∵当时，，∴在上单调递减.

∴，即.

∴当时，成立.

综上，当时，有.

22.解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.

由，，可得直线的直角坐标方程为.

将曲线的参数方程消去参数，

得曲线的普通方程为.

（2）设.

点的极坐标化为直角坐标为.

则.

∴点到直线的距离.

当，即时，等号成立.

∴点到直线的距离的最大值为.

23.解：（1）.

∴等价于或或.

解得或.

∴原不等式的解集为.

（2）由（1），可知当时，取最小值，即.

∴.

由柯西不等式，有.

∴.

当且仅当，即，，时，等号成立.

∴的最小值为.