2022年广西河池市中考数学试卷（含解析）

2022年广西河池市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 如果将“收入元”记作“元”，那么“支出元”记作(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

2. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，平行线，被直线所截，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占若小强的三项成绩百分制依次是，，则小强这学期的体育成绩是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 多项式因式分解的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用表示注水时间，表示水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，下列结论中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如果点在第三象限内，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 某厂家今年一月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为则所列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到在此旋转过程中所扫过的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13. 的相反数是______．
14. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
15. 如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则该反比例函数的解析式为______．

16. 如图，把边长为：的矩形沿长边，的中点，对折，得到四边形，点，分别在，上，且，与交于点，为的中点，连接，作交于点，连接，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
    画出与关于轴对称的；
    以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为：，并写出点的坐标．

20. 如图，点，，，在同一直线上，，，．
    求证：；
    连接，，直接判断四边形的形状．

21. 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼的高度进行测量，从小敏家阳台测得点的仰角为，测得点的俯角为，已知观测点到地面的高度，求居民楼的高度结果保留整数．参考数据：，，．

22. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
    
    请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
    补全条形统计图；
    已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
    若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．
23. 为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多元，购买棵桂花树和棵芒果树共需元．
    桂花树和芒果树的单价各是多少元？
    若该村一次性购买这两种树共棵，且桂花树不少于棵．设购买桂花树的棵数为，总费用为元，求关于的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
24. 如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点且．
    求证：为的切线；
    若，，求的半径及的长．

25. 在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于两点，，与轴交于点．
    求抛物线的函数解析式，并直接写出顶点的坐标；
    如图，连接，若点在线段上运动不与，重合，过点作轴于点，设，问：当为何值时，与的面积之和最小；
    若将抛物线绕点旋转得抛物线，其中，两点的对称点分别记作，问：在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：收入元，记作“元”．
且收入跟支出意义互为相反．
支出元，记作“元”．
故选：．
根据正数与负数时表示具有相反意义的量直接得出答案．
本题考查了正数和负数的实际意义，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，三棱柱的三视图既有三角形又有长方形，故不符合题意；
，圆柱的三视图既有圆又有长方形，故不符合题意；
，圆锥的三视图既有三角形又有圆，故不符合题意；
，球的三视图都是圆，故符合题意；
故选：．
根据三视图的概念做出判断即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握基本集合体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
因为，平行，所以．
本题考查平行线的性质，解题关键是熟知平行线的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分．
答：小强这学期的体育成绩是分．
故选：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示与的对应关系的是选项C．
故选：．
根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
故A、、D正确，无法得出，
故选：．
根据菱形的性质即可一一判断．
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
解得．
则不等式组的解集是．
故选：．
根据点在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得的范围．
本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
是的切线，
，
，
，
故选：．
由圆周角定理可求得的度数，由切线的性质可知，则可中求得．
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理可切线的性质分别求得和的度数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，
由题意得，．
故选：．
若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，某厂家今年一月份的口罩产量是万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是万个，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所扫过的面积，
故选：．
根据勾股定理得到，然后根据扇形的面积和三角形的公式即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的相反数是：．
故答案为：．
直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据负数没有平方根确定出的范围即可．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点在双曲线的图象上，轴，
，，．
，
．
．
，
．
该反比例函数的解析式为．
故答案为：．
利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是矩形，
由题意知，，
，
矩形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
∽，
，
点是的中点，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
先判断出四边形是正方形，进而判断出≌，得出，进而求出，再判断出∽，求出，，再判断出∽，求出，即可求出答案．
此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．
本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】把除化为乘，分解因式约分，化简后将代入即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式化简．
 

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为；
 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
把、、的坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称变换．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，四边形是平行四边形，理由如下：
由可知，，
，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，再由全等三角形的性质即可得出结论；
由可知，，则，再由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得，，，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
答：居民楼的高度约为． 

【解析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出、即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

22.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设桂花树的单价是元，则芒果树的单价是元，
根据题意得：，
解得，
，
答：桂花树的单价是元，芒果树的单价是元；
根据题意得：，
关于的函数关系式为，
，
随的增大而增大，
桂花树不少于棵，
，
时，取最小值，最小值为元，
此时棵，
答：关于的函数关系式为，购买桂花树棵，购买芒果树棵时，费用最低，最低费用为元． 

【解析】设桂花树的单价是元，可得：，解得桂花树的单价是元，芒果树的单价是元；
根据题意得，由一次函数性质得购买桂花树棵，购买芒果树棵时，费用最低，最低费用为元．
本题考查一元一次方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

24.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；

解：连接，设，
，
，
，
，
，
，
由可知，，
，
，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
． 

【解析】欲证明是的切线，只要证明即可；
设，证明，可得，推出，利用平行线分线段成比例定理求出，即可．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：经过，，
，
，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点；

如图中，连接，过点作于点设抛物线的对称轴交轴于点．

，，，
，，，
，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，，
与的面积之和，
，
有最小值，最小值为，此时，
时，与的面积之和有最小值．

存在．
理由：如图中，由题意抛物线的对称轴，．

设，
当时，，
，
，，
当时，，
解得，，
，
当时，，
解得，，
，，
综上所述，满足条件的点的坐标为，，，， 

【解析】利用待定系数法求出，的值即可；
如图中，连接，过点作于点设抛物线的对称轴交轴于点首先证明，利用面积法求出，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
如图中，由题意抛物线的对称轴，设，分三种情形：当时，当时，当时，分别构建方程求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．