知识点29 等腰三角形与等边三角形2018--2

这是一份知识点29 等腰三角形与等边三角形2018--2，共15页。试卷主要包含了5° B， 我们规定等内容，欢迎下载使用。
一、选择题1. （2018山西省，8题，3分）  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°， AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为(    ) A．12  B．6  C．  D．【答案】D【解析】解：连接B'B∵ 将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,          ∴ CA=CA’又∵ ∠A=60°∴ △AA'C为等边三角形∴ ∠ACA’ =60°，即旋转角为60°∴ ∠BCB’ =∠ACA’ =60°∴ △BB'C为等边三角形∴ BB’=BC又∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°, AC=6,∴ BB’=BC=【知识点】锐角三角函数、旋转、等边三角形 2. （2018内蒙古包头，8，3分）如图3，在△ABC中，AB＝AC， △ADE的顶点D、E分别在BC、AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为(   )A.17.5°           B.12.5°            C.12°              D.10° 【答案】D【思路分析】由∠C+∠BAC＝145°得知∠B＝35°；由AB＝AC得知∠B＝∠C＝35°；由等腰直角三角形的性质可得∠AED＝45°，又∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠EDC＝45°－35°＝10°.【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形内角和；三角形外角的性质 3. （2018云南省昆明市，11，4分）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（   ） A． 90°          B． 95°        C． 100°       D．120°【答案】B．【解析】由量角器的摆放可知，∠BOA＝70°，∠COA＝130°，又∵OC＝OA，∴∠A＝∠C＝（180°－130°）＝25°，∵∠BOA＝70°，∠COA＝130°，∴∠COD＝∠COA－∠BOA＝130°－70°＝60°，∴∠CDO＝180°－∠COD－∠C＝180°－60°－25°＝95°，故选B．【知识点】三角形的外角；等腰三角形的性质 二、填空题1. （2018广西省桂林市，16，3分）如图，在△ABC中，∠ A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是         ．【答案】3．【解题过程】∵∠ A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴△BCD是等腰三角形，又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴∴△ABD是等腰三角形，故有3个等腰三角形．【知识点】等腰三角形的性质和判定；三角形的内角和定理 2. （2018黑龙江绥化，18，3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为          .【答案】50°或80°.【解析】解：当等腰三角形顶角的外角为130°时，顶角为180°-130°=50°；当等腰三角形底角的外角为130°时，顶角为180°-2(180°-130°)=80°.故答案为50°或80°.【知识点】等腰三角形的性质 3. （2018湖南娄底，16，3）如图，中，，于点，于点，于点，，则          .      【答案】6【解析】过点D作，对用等面积法，得到DF=DE+DH，再三线合一得到AD是角平分线，进一步得到DE=DH，故答案为6【知识点】等腰三角形三线合一、等面积法  4. （2018吉林长春，12，3分）如图，在ΔABC中，AB=AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD.若∠A=32°，则∠CDB的大小为        度.  (第12题) 【答案】37【解析】∵AB=AC，∠A=32° ∴∠ACB=(180°－32°)÷2=74°由尺规作图知，CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CBD+∠CDB=∠ACB∴∠CDB =∠ACB=37°【知识点】等腰三角形，三角形内角和，尺规作图，外角5. （2018吉林省，14, 2分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为　 　度．【答案】36【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．设顶角为α，则其底角为，由k=，可得=2α，解出α=36°。【知识点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质． 6.（2018青海，6，2分）如图2，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠BAD=        .          图2  【答案】70°【解析】∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∠CDE=∠BAC=25°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45°+25°=70°．【知识点】等腰直角三角形，旋转 7. (2018辽宁葫芦岛，18，3分)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1，过过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以B2A2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2，过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以B3A3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3…，按此规律进行下去，则△AnAn+1Cn的面积为__________(用含正整数n的代数式表示)．  【答案】，【解析】根据题意，得△的序号边长高S△△A1A2C11△A2A3C2△A3A4C3 ＝△A4A5C4＝△AnAn+1Cn   8. (2018湖南邵阳，17，3分)如图(十)所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝，则BC的长是_________．图(十)【答案】：，【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠BCD＝72°．∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，∴根据折叠原理可得△AED≌△CED．∴AE＝CE，∠A＝∠ECD＝36°．∴∠BCE＝∠BCD－∠ECD ＝72°－36°＝36°．∴∠BEC＝180°－∠B－∠BCE ＝180°－72°－36°＝72°．∴∠BEC＝∠B．∴BC＝CE．∵AE＝，∴BC＝CE＝AE＝． 9.（2018年浙江省义乌市，14，5）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为____________．【答案】30°或110°【解析】根据题目意思作出图形（如图），当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案为30°或110°．【知识点】全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质 三、解答题1. （2018浙江嘉兴，19，6） 已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 【思路分析】通过证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A＝∠C，从而得到AB＝BC，从而AB＝AC＝BC．证明：∵AB＝AC．∴∠B＝∠C．∵ DE⊥AB，DF⊥BC．∴∠DEA＝∠DFC＝Rt∠．∵D为AC的中点．∴DA＝DC．又∵DE＝DF．∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠A＝∠C．∴∠A＝∠B＝∠C．∴△ABC是等边三角形．（其他方法如：连接BD，运用角平分线性质，或等积法均可．） 2. （2018青海，27，11分）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题.（1）探究1：如图17-1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为.（提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）                                                             图17-1 （2）探究2：如图17-2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.请用含a式子表示△BCD的面积，并说明理由.                                           图17-2 （3）探究3：如图17-3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC= a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.试探究用含a式子表示△BCD的面积，要有探究过程.                                                            图17-3 【思路分析】（1）过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论；（2）过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积；（3）过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．【解题过程】（1）过点D作DE⊥CB延长线∵△ABC是等腰三角形∴∠ABC=45°又∵∠ABD=90°∴∠DBE=45°‘∴BE=DE∵∠A=∠EDB∴AB=DB∴∠ABC=∠DBE∴△ABC≌△BDE（ASA）∴DE=a=BC∴S△BCD= BC×DE×= （2）证明：如图，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°．∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°．∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC=DE=a．∵S△BCD=BC•DE∴S△BCD=；（3）如图，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=a．∵S△BCD=BC•DE，∴S△BCD=•a•a=a2．∴△BCD的面积为．【知识点】等腰直角三角形，等腰三角形，全等三角形，旋转，三角形的面积 3. （2018江苏常州，27，10）(本小题满分10分)(1)如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证:∠AFE=∠CFD;(2)如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹，不要求写作法）．②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗?为什么?【解答过程】（1）∵EK垂直平分BC，点F在EK上，∴FC=FB，且∠CFD=∠BFD         ∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠CFD（2） 如图所示，点Q为所求作的点.（3）Q是GN的中点。Q是GN的中点。∵∠G=60°，∠M=90°，∴∠GNM=30°由①作图可知，PN=HN，∠HNG=∠GNP=30°，可得ΔHPN为等边三角形。又∵P为MN的中点，∴HP=PN=PM，∴∠QMN=30°=∠QNM，∴MQ=QN又可得∠GMQ=60°，则ΔGMQ为等边三角形，因而MQ=GQ∴GQ=QN，即Q为GN的中点。 4. （2018江苏镇江，22，6分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝________°．【思路分析】（1）利用SAS证明；（2）由（1）知△ABE≌△ACF，所以∠CAF＝∠BAE＝30°，又因为AD＝AC，所以∠ADC＝∠ACD＝＝75°．【解答过程】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF．（2）75． 5. （2018年浙江省义乌市，22，12）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【思路分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解题过程】解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B=（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．【知识点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理