知识点36 锐角三角函数2018--1

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一、选择题
1. （2018浙江金华丽水，8，3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）．
A． B． C． D．

【答案】B．
【解析】由锐角三角函数的定义，得AB= ，AB= ，∴AB与AD的长度之比为，故选B．
【知识点】锐角三角函数
2. （2018浙江衢州，第9题，3分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．

第9题图
【答案】C
【解析】本题考查了圆锥的计算、锐角三角函数的定义．因为已知圆锥侧面积，从而可计算出母线长，利用勾股定理得到高线长，结合正弦函数的概念即可得到。∵圆锥侧面积为15π，则母线长L=2×15π÷6π=5，利用勾股定理可得OA=4，故sina∠ABC=
故选C。
【知识点】圆锥的计算、锐角三角函数的定义

3. （2018江苏无锡，9，3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（ ）
A.等于 B.等于 C.等于 D. 随点E位置的变化而变化

【答案】A
【思路分析】利用平行线的性质将∠AFE转化为∠GAF，然后利用相似三角形的对应边成比例确定GF、AG的关系，进而得到tan∠AFE的值.
【解题过程】∵E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，AB=3，BC=4，
∴=tan∠EAH=tan∠ACB==,
∴.
∵正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，
∴FG=EH=HG，EF∥HG，
∴∠AFE=∠GAF，
∴tan∠AFE=tan∠GAF=====.
【知识点】矩形的性质、正方形的性质、平行线的性质、锐角三角函数值的定义

4. （2018年山东省枣庄市，11，3分）如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【思路分析】设EF=a，由平行和点是边的中点得到AF与EF的关系以及BF、DF的关系，利用△BEF与△ABF相似，得到BF、EF、AF的关系，表示出BF，从而表示出DF，求得的值．
【解题过程】设EF=a，在矩形中，AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，又∵点是边的中点，∴，∴AF=2EF=2a，又∵，∴△BEF∽△ABF，∴，∴，∴BF=，∴DF=，=，故选A.
【知识点】矩形；相似三角形；锐角三角函数

5. （2018山东省淄博市，6，4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米，在科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是

=
2ndF
1
.
0
tan
=
5
1
.
0
cos
2ndF
=
2ndF
1
.
0
Sin
=
5
1
.
0
Sin
2ndF

（A）
5
5

（B）

（C）

（D）
【答案】A
【解析】利用计算器的按键要求选取合理选项.
【知识点】利用计算器计算


6.（2018天津市，2，3）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】分析：本题查了特殊角的三角函数值．熟记锐角三角函数值，即可得结果.
解：＝
故选B.
【知识点】特殊角的三角函数值
1. （2018湖北黄冈，2题，3分）下列运算结果正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.原式=6a5，错误；B.原式=4a2,错误;C.原式=1,错误;D.正确.故选D
【知识点】同底数幂的乘法，积的乘方，特殊三角函数值

2. （2018湖南益阳，8，4分）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα B．300cosα C．300tanα D．
300
α

【答案】A
【思路分析】上升的高度为BC，为∠α的对边，AB是斜边，故用正弦求解．
【解析】解：∵，∴BC＝AB sinα＝300sinα，故选择A．
【知识点】锐角三角形函数，解直角三角形的应用

3. （2018湖北宜昌，14，3分）如图，要测量小河两岸相对的两点的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于( )

(第14题图)
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】C
【解析】∵米，，∴在Rt△PAC中，=，故选择C.
【知识点】正弦，正切.


4. （2018山东省日照市，10，3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（ ）
A. B. C.2 D.

【答案】D
【解析】如图，在RtABC中，AB=2，BC=1，∴tan∠BAC==.∵∠BED=∠BAD，∴tan∠BED=.故选D.
【知识点】正方形网格 三角函数

5. （2018广东广州，12，3分）如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tanC＝_______．

【答案】
【解析】根据锐角三角函数的定义可知，在直角三角形中，锐角C的对边与邻边的比叫做∠C的正切，所以tanC＝＝＝．
【知识点】锐角三角函数的定义


6.（2018山东德州，16，4分）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上,则的正弦值是 ．
第16题图

【答案】
【解析】因为，，，所以，所以，所以.
【知识点】网格，直角三角形的边角关系

7. （2018湖北荆州，T10，F3）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点是上的一动点当点到弦的距离最大时，的值是（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
【答案】B
【思路分析】

【解析】如图所示，当点D到弦OB的距离最大时，DE⊥OB.连接AB，由题意可知AB为⊙P的直径，
∵A（8，0），∴OA=8，B（0，6）∴OB=6，∴OE=BE==3，在RtDAOB中，AB==10，∴BP=×10=5，在在RtDPEB中，PE==4，∴DE=EP+DP=4+5=9，
∴tan∠DOB=，故选B
【知识点】圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、垂径定理.

8. （2018湖北省孝感市，4，3分）如图，在中，，，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据勾股定理可得BC===6. 根据三角函数的定义可得sinA===.故选A.
【知识点】勾股定理. 锐角三角函数的定义.

9.（2018四川凉山州，10，4分）无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（ ）
A. B.
C. D.


【答案】A
【解析】设过A作ADBC的直线交CB的延长线于点D， 则Rt△ACD中，∠CAD=50°，AD=h
∴CD= AD tan50° =htan50°． 又∵Rt△ABD中，∠BAD=20°，可得BD= AD tan20° =htan20°
∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-htan20°) .故答案为A.

(第10题答图)
【知识点】余角定义，锐角三角函数——余弦的应用.


10. （2018陕西，6，3分）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．

【答案】C
【解析】∵BE平分∠ABD，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBD=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=90°．
∴DE=BE．
∵∠BAD=90°－60°=30°．
∴∠BAD=∠ABE=30°．
∴AE=BE=2DE
∴AE=AD．
在Rt△ACD中，
sinC=,
AD=ACsinC=．
∴AE=，故选择C．
【知识点】解直角三角形

二、填空题
1. （2018山东滨州，15，5分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝__________．
【答案】
【解析】设BC＝x,则AC＝2x,根据勾股定理可知AB＝x,故sinB＝＝＝．
【知识点】勾股定理和三角函数
2. （2018年山东省枣庄市，14，4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为，的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米.（结果保留两个有效数字）
【参考数据：】

【答案】6.2
【解析】运用锐角三角函数：，即，BC=12×0.515=6.18≈6.2米，故填6.2.
【知识点】解直角三角形

3. （2018年山东省枣庄市，16，4分）如图，在正方形中，，把边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，则三角形的面积为 .

【答案】9－5．
【思路分析】如图，过点P作PF⊥CD于点F，过点P作PG⊥BC于点G．先证明△ABP是等边三角形，再应用特殊角的三角函数值求出PF、CE的长，即可解得△PCE的面积．

【解题过程】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，过点P作PG⊥BC于点G．则BP=，在Rt△BGP中，∵∠PBC＝30°，∴PG＝BP·sin∠PBG＝，BG＝BP·cos∠PBG＝3，∴CG＝BC－CG＝－3，则PF＝－3，∵∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，又∵AB＝BP，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠PAD＝30°，
∴DE＝AD·tan∠PAD＝2，∴CE＝DC－DE＝－2，∴S△PCE＝PF·CE＝×(－3)×(－2)＝9－5．
【知识点】正方形的性质；等边三角形的判定；特殊角三角函数值


4. （2018浙江湖州，13，4）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是 ．
第13题图
A
B
C
D
O

【答案】2
【解析】∵菱形的对角线互相垂直，∴AB⊥CD．∵tan∠BAC＝，∴＝．∵AC＝6，∴AO＝3．∴BO＝1．∴BD＝2BO＝2．故填2.
【知识点】菱形的对角线，正切


5. （2018宁波市，18题，4分） 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点连结MD，ME,若∠EMD=90°，则cosB的值为 ．

【答案】3-12
【解析】解：延长EM，交DA的延长线与点G，连接ED
∵M是AB中点，
∴AM=BM
又∵菱形ABCD
∴GD∥BC
∴∠GAB=∠ABC
∴易证△ACD≌△BCE(SAS)
∴GM=EM；AG=BE
又∵MD⊥GE；GM=EM
∴DG=DE
设BE=x
∴DE=x+2
在RT△ABE中，
AE2=AB2-BE2
在Rt△ADE中，
AE2=DE2-AE2
∴AB2-BE2=DE2-AE2，即22-x2=(x+2)2-22
解得：x=3-1
在Rt△ABE中
cosB=BEAB=3-12
【知识点】勾股定理、锐角时间函数、等腰三角形1. （2018甘肃天水，T12，F4）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=1213，则tanB的值为____.
【答案】512.
【解析】在Rt△ABC中，由sinA=1213，令a=12，c=13，
根据勾股定理，得b=5.
∴tanB=ba=512.
【知识点】锐角三角函数

2. （2018广西玉林，17题，3分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_______

第17题图
【答案】2