安徽省合肥市高新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题(word版含答案)

2021-2022学年安徽省合肥市高新区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列各数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果，那么下列各式中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在数轴上表示实数的点可能是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

6. 下列分解因式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 不等式组所有整数解的和为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，直线分别与直线、相交于点、，平分，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 在新冠肺炎疫情防控期间，某药房第一次用元购进一次性医用口罩若干个，第二次又用元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次的倍，且购进的数量比第一次少个．设第一次购进一次性医用口罩的数量为个，则根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 若，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 的平方根等于______．
12. 因式分解：______．
13. 如图，直线，一副直角三角板按如图所示放置，若，，，则的度数等于______．

14. 关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 计算：
    ；
    ．
16. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
17. 三角形在方格纸上的位置如图所示．
    画出将三角形先向下平移三格，再向右平移格得到的三角形；
    线段与的关系是______；
    若方格纸中的小正方形边长均为，求三角形的面积．

18. 先化简，后求值：，其中的值从，，，中选一个合适的数．
19. 观察下列等式：
    根据上述规律解决下列问题：
    根据以上规律写出第个等式：______；
    写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并说明等式的正确性．
20. 如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．
    观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；
    若，利用中的结论，求的值；
    若，求的值．

21. 知识链接：
    对于任意两个实数，，如果，那么；如果，那么；如果，那么；
    任意实数的平方都是非负数，即．
    知识运用：
    比较大小： ______；
    已知为实数，，，请你比较、的大小；
    已知、均为正数，比较与的大小．
22. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多元．用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等．
    求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
    若今年文学书的单价比去年提高了，故事书的单价比去年提高了，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共本．且购买文学书和故事书的总费用不超过元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
23. 阅读理解：
    
    如图已知：，点是直线、之间的一点，点、分别在直线、上，则可推出．
    小明的思路是：过点作，通过平行线的性质可得结论．
    请根据小明的思路，写出完整的推理过程；
    利用中的结论解决问题：
    如图已知：，点是直线、之间的一点，点、分别在直线、上，是的平分线．是的平分线，，．
    若，求的度数；
    试探究与之间的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义逐项进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：，所以选项不正确，不符合题意；
B.，所以选项不正确，不符合题意；
C.，所以选项不正确，不符合题意；
D.，所以选项正确，符合题意．
故选D．
直接利用幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则、单项式除以单项式运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、两边都减，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都乘，不等号的方向改变，故B符合题意；
C.当时，，故C不符合题意；
D.两边都乘，不等号的方向不变，故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
对应的点是．
故选：．
根据，可以确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：因式分解是将多项式写成几个整式的积．
的右边不全是乘积形式，
不合题意．
中，不是整式，
不合题意．
的右边不是乘积形式，
不合题意．
符合因式分解的定义，
故选：．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查因式分解的定义，掌握因式分解定义是求解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，即整数解为，，，
则所有整数解的和为．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出所有整数解的和即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选：．
根据题意及对顶角相等推出，根据平行线的性质、角平分线的定义、邻补角的定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：第一次购进一次性医用口罩的数量为个，则第二次购买一次性医用口罩个，
由题意得．
故选：．
第一次购进一次性医用口罩的数量为个，则第二次购买一次性医用口罩个，利用单价总价数量，结合第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的倍，即可得出关于的分式方程．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据幂的乘方法则，把，，都写成幂的次方的形式，再比较底数，即可得出答案．
本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的逆运算是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
根据平方根的定义计算即可．
本题主要考查的是平方根的定义和性质，掌握平方根的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可．
本题考查了分解因式，能灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，，
，
，，
，
故答案为：．
根据平行线的性质定理、平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

14.【答案】且． 

【解析】解：去分母得：，
，
，
方程的解为正数，
且，
，
且．
故答案为：且．
先去分母，再求的范围．
本题考查分式方程的解，去分母表示分式方程的解是求解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式
．
原式

． 

【解析】按二次根式，负整数指数幂，零指数幂混合运算的顺序计算即可．
先乘方，再乘法，最后加减．
本题考查实数与整式的混合计算，确定运算顺序是求解本题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
． 

【解析】先求出每个不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
 

17.【答案】， 

【解析】解：如图，即为所求；
线段与的关系是，．
故答案为：，；
三角形的面积．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平移变换的性质判断即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：




，
，，
，
可以或，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从，，，中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

19.【答案】 

【解析】解：由已知的个等式可已看出：等式的左边是减法运算，且被减数、减数的分子保持不变，被减数的分母与等式序号相同，减数的分母是被减数分母的倍减．
第个等式等号左边为：．
已知等式等号右边被减数的分母是等式序号的倍，减数的分母是等式序号的倍与序号倍减的积，
第个等式等号右边为：．
第个等式为：．
故答案为：．
第个等式即这个等式的序号为，根据等式等号左右两边被减数与减数与等式序号的关系可得，
第个等式为：．
等式的左边：，
等式的右边：．
等式的左边等式的右边．
等式成立．
观察已知的个等式，可以看出等号的两边都是减法运算，其中被减数、减数的分子都是且保持不变；找出分母与序号的关系即可．
第个等式，即这个等式的序号为，根据等式两边中被减数、减数的分母与序号的关系，把这些分母用含的代数式表示出来即可．
本题考查了等式中的规律问题，解题的关键是找出等式中变化的量与等式序号之间的关系．
 

20.【答案】解：．
观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，则图中个小长方形面积的和为：；图中个小长方形面积的和为：；由此得出：．
由中的结论可知，，
，
等号两边平方得，，
，
．
，
由中的结论可知，，看作，看作，则 ． 

【解析】通过观察图形找到、、表示的图形面积，从图形面积之间的关系找到．
、分别是中的、，通过观察先求出的平方的值，再开方求得结果．
根据已知条件把变形为，把看作，看作，再应用中的结论，求得结果．
本题是通过观察图形面积间的关系找到代数式之间的等量关系，进而运用找到的等量关系解决计算问题．其中渗透了数形结合思想，将代数式之间的等量关系用图形面积直观地表示出来．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．


，
，
，
，
．
，
，都是正数，
，
，
，
．
先作差，再比较大小．
先作差，再变形判断差的正负，再比较大小．
先作差，判断分子，分母的正负，再判断大小．
本题考查比较代数式的大小，作差后判断差的正负是求解本题的关键．
 

22.【答案】解：设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：去年文学书单价为元，则故事书单价为元．
今年文学书的单价为元，故事书的单价为元，
设这所学校今年购买本文学书，本故事书，
根据题意得：，
解得：，
最小值是；
答：这所中学今年至少要购买本文学书． 

【解析】设去年文学书单价为元，则故事书单价为元，根据用元购买的故事书与用元购买的文学书数量相等，列出分式方程，解方程即可；
设这所学校今年购买本文学书，本故事书，根据购买文学书和故事书的总费用不超过元，列出不等式，求出不等式的解集即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：过点作，
，
，
，，
．
由得：，，
是的平分线．是的平分线，
，，
．
，，
，
，
又，
． 

【解析】利用平行线的性质求解；
利用的结论及角平分线的性质求解；
利用的结论及四边形的内角和求解．
本题考查了平行线的性质定理及四边形的内角和定理，这些知识的有机结合是解题的关键，