贵州省铜仁市2020-2022中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

这是一份贵州省铜仁市2020-2022中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共35页。试卷主要包含了，C是抛物线与y轴的交点等内容，欢迎下载使用。

贵州省铜仁市2020-2022中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值
1．（2020•铜仁市）（1）计算：2÷﹣（﹣1）2020﹣﹣（﹣）0．
（2）先化简，再求值：（a+）÷（），自选一个a值代入求值．
二．分式方程的应用
2．（2022•铜仁市）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
三．一元一次不等式的应用
3．（2021•铜仁市）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
四．待定系数法求一次函数解析式
4．（2022•铜仁市）在平面直角坐标系内有三点A（﹣1，4）、B（﹣3，2）、C（0，6）．
（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
（2）判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
五．一次函数的应用
5．（2020•铜仁市）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
六．二次函数的应用
6．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
7．（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝　 　；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
七．二次函数综合题
8．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

八．全等三角形的判定
9．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．

10．（2020•铜仁市）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

九．全等三角形的判定与性质
11．（2021•铜仁市）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．
（1）你选的条件为 　 　、　 　，结论为 　 　；
（2）证明你的结论．

一十．三角形综合题
12．（2021•铜仁市）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．点P是CA边上的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等边△CPQ（点B、点Q在AC同侧），设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ重叠部分的面积为S．
（1）当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围）；
（2）当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；
（3）当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示）．

一十一．四边形综合题
13．（2022•铜仁市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．
（1）问题解决：如图①，若AB∥CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE＝OC，过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG＝2GH，若，求值．


一十二．切线的性质
14．（2022•铜仁市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若AB＝18，sinA＝，求EF的长．

一十三．切线的判定与性质
15．（2021•铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．

16．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，＝，求CD的长．

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
17．（2022•铜仁市）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73）
18．（2021•铜仁市）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（≈1.73）

一十五．解直角三角形的应用-方向角问题
19．（2020•铜仁市）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？

一十六．条形统计图
20．（2022•铜仁市）2021年7月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求m，n的值并把条形统计图补充完整；
（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．
21．（2020•铜仁市）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝　 　，n＝　 　；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？

一十七．列表法与树状图法
22．（2021•铜仁市）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：
等级
频数
频率
A
20
0.4
B
15
b
C
10
0.2
D
a
0.1
（1）频数分布表中a＝　 　，b＝　 　，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．


参考答案与试题解析
一．分式的化简求值
1．（2020•铜仁市）（1）计算：2÷﹣（﹣1）2020﹣﹣（﹣）0．
（2）先化简，再求值：（a+）÷（），自选一个a值代入求值．
【解答】解：（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1
＝4﹣1﹣2﹣1
＝0；
（2）原式＝•
＝•
＝﹣，
当a＝0时，原式＝﹣3．
二．分式方程的应用
2．（2022•铜仁市）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
【解答】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万个，
依题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴（1+40%）x＝（1+40%）×40＝56．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万个，更换设备后每天生产口罩56万个．
三．一元一次不等式的应用
3．（2021•铜仁市）某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【解答】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，
，
解得，
∴每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨；
（2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），
100m+80（20﹣m）≥1800．
解得：m≥10．
w＝3m+2（20﹣m）
＝m+40．
∵1＞0，
∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10时，w有最小值，w小＝10+40＝50．
∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元．
四．待定系数法求一次函数解析式
4．（2022•铜仁市）在平面直角坐标系内有三点A（﹣1，4）、B（﹣3，2）、C（0，6）．
（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；
（2）判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
【解答】解：（1）设A（−1，4）、B（−3，2）两点所在直线解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AB的解析式y＝x+5．
（2）当x＝0时，y＝0+5≠6，
∴点C（0，6）不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上．
五．一次函数的应用
5．（2020•铜仁市）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，依题意有
+10＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
90%x＝90%×40＝36．
故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
（2）设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，则
y＝（100﹣40）m+（90﹣36）（100﹣m）＝6m+5400，
依题意有，
解得0＜m≤25且m为整数，
∵k＝6＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝25时，y最大，这时y＝6×25+5400＝5550，
100﹣25＝75（个）．
故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．
六．二次函数的应用
6．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得y＝12﹣2（x﹣4）＝﹣2x+20（4≤x≤5.5），
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式y＝﹣2x+20，
自变量x的取值范围是4≤x≤5.5；
（2）设每天获得的利润为W千元，根据题意得w＝（﹣2x+20）（x﹣2）＝﹣2x2+24x﹣40＝﹣2（x﹣6）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＜6，W随x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为﹣2×（5.5﹣6）2+32＝31.5，
∴将批发价定为5.5元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
7．（2021•铜仁市）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝　x﹣2（x≥4）．　；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可知：y1与x成一次函数关系，
设y1＝kx+b（k≠0），
∵x＝4时，y1＝0，x＝6时，y1＝1，
∴，
解得：，
∴y1＝x﹣2（x≥4）．
故答案为：y1＝x﹣2（x≥4）．
（2）由（1）得：y1＝x﹣2（x≥4），
∴y＝[22﹣（x﹣2）﹣16]x＝x2+8x＝（x﹣8）2+32，
∴x＝8时，ymax＝32，
答：月销售量为8时，最大销售利润为32万元．
七．二次函数综合题
8．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．

当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S＝PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值为．
（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
∴N（0，），
当时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴，
解得a＝，
∴M（，），
此时N（0，）．
如图3，当点M位于点C的下方，

过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或＝2，△CMN与△OBC相似，
解得a＝或a＝3，
∴M（，）或M（3，0），
此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．
综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
八．全等三角形的判定
9．（2022•铜仁市）如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE．

【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，
∴∠BCA＝∠DEC，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
10．（2020•铜仁市）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
九．全等三角形的判定与性质
11．（2021•铜仁市）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．
（1）你选的条件为 　①　、　③　，结论为 　②　；
（2）证明你的结论．

【解答】（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，
故答案为：①，③，②（答案不唯一）；
（2）证明：在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
一十．三角形综合题
12．（2021•铜仁市）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝12cm．点P是CA边上的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等边△CPQ（点B、点Q在AC同侧），设点P运动的时间为x秒，△ABC与△CPQ重叠部分的面积为S．
（1）当点Q落在△ABC内部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示，不要求写x的取值范围）；
（2）当点Q落在AB上时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S的值；
（3）当点Q落在△ABC外部时，求此时△ABC与△CPQ重叠部分的面积S（用含x的代数式表示）．

【解答】解：（1）如图1中，当点Q落在△ABC内部时，S＝×（2x）2＝x2．

（2）如图2中，当点Q落在AB上时，过点Q作QH⊥AC于H．

∵∠QHA＝∠ACB＝90°，
∴QH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝4，
∴CP＝8，CH＝PH＝4，
∴S＝×82＝16．

（3）如图3中，点Q落在△ABC外部时，设CQ交AB于N，PQ交AB于M，过点N作NH⊥AC于H，过点M作MJ⊥AC于J，作NT∥PQ交AC于T．

由（2）可知，CH＝HT＝4，CT＝NT＝8，NH＝4，AT＝4，
∴S△BCN＝×6×4＝12，
∵NT∥PM，
∴△AMP∽△ANT，
∴＝，
∴＝，
∴MJ＝12﹣2x，
∴S＝S△ABC﹣S△BCN﹣S△AMP＝×6×12﹣12﹣×（12﹣2x）×（12﹣2x）＝﹣2x2+24x﹣48（4＜x≤6）．
一十一．四边形综合题
13．（2022•铜仁市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．
（1）问题解决：如图①，若AB∥CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE＝OC，过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG＝2GH，若，求值．


【解答】（1）证明：过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，如图①所示：
∴DE＝OD⋅sin∠DOE，BF＝OB⋅sin∠BOF，
∴S1＝OC•DE＝OC•OD•sin∠DOE，S2＝OA•BF＝OA•OB•sin∠BOF，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴sin∠DOE＝sin∠BOF，
∴＝＝；
（2）解：（1）中的结论成立，理由如下：
过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，如图②所示：
∴DE＝OD⋅sin∠DOE，BF＝OB⋅sin∠BOF，
∴S1＝OC•DE＝OC•OD•sin∠DOE，S2＝OA•BF＝OA•OB•sin∠BOF，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴sin∠DOE＝sin∠BOF；
∴＝＝；
（3）解：过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，如图③所示：
∵EF∥CD，
∴∠ODC＝∠OFE，∠OCD＝∠OEF，
又∵OE＝OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD＝OF，
∵EF∥AM，
∴△OEF∽△OAM，
∴＝＝，
设OE＝OC＝5m，OF＝OD＝5n，则OA＝6m，OM＝6n，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴HN∥AM∥EF，
∴△OGF∽△OHN，
∴＝，
∵OG＝2GH，
∴OG＝OH，
∴＝＝，
∴ON＝OF＝，BN＝MN＝ON﹣OM＝﹣6n＝，
∴OB＝ON+BN＝+＝9n，
由（2）得：＝＝＝．



一十二．切线的性质
14．（2022•铜仁市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若AB＝18，sinA＝，求EF的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC；
（2）解：连接BD，则∠ADB＝90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA＝＝，AB＝18，
∴BD＝6．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF＝＝，
∴BF＝2．
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴＝．即：＝．
解得：BE＝．
∴EF＝．


一十三．切线的判定与性质
15．（2021•铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．

【解答】（1）证明：连接OE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，
∴OF＝x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴⊙O的半径为15；

∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝，
设BE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即a2+（2a）2＝302，
解得：a＝6，
∴AE＝2a＝12，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC∥EF，
∴，即，
∴AD＝9．
16．（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，＝，求CD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∵AD＝8，
∴CD＝4．

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
17．（2022•铜仁市）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73）
【解答】解：延长DC交AB于点E，

则DE⊥AB，
设CE＝x米，
在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，
∴AE＝EC•tan60°＝（米），
在Rt△BEC中，∠BCE＝40°，
∴BE＝EC•tan40°＝0.84x（米），
在Rt△AED中，∠D＝30°，
∴DE＝＝＝3x（米），
∵CD＝80米
∴DE﹣CE＝CD，
∴3x﹣x＝80，
∴x＝40，
∴AB＝AE+BE≈40×（1.73+0.84）＝102.8≈103米，
∴桥墩AB的高度为103米．

18．（2021•铜仁市）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（≈1.73）

【解答】解：根据题意可知：
四边形ABDM是矩形，
∴AB＝MD＝120m，
在Rt△AME中，ME＝AMtan45°＝AM，
在Rt△AMF中，MF＝AMtan60°＝AM，
∵EF＝MF﹣ME＝40m，
∴AM﹣AM＝40，
∴AM≈54.8（m），
∴MF≈54.8×1.73≈94.80（m），
∴DF＝120﹣94.80＝25.2（m），
25.2÷3≈8.4，
∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
一十五．解直角三角形的应用-方向角问题
19．（2020•铜仁市）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？

【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，
∴BC＝AB＝60km，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，
∴sin60°＝，
∴CD＝60×sin60°＝60×＝30（km）＞47km，
∴这艘船继续向东航行安全．

一十六．条形统计图
20．（2022•铜仁市）2021年7月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求m，n的值并把条形统计图补充完整；
（2）若该校有2000名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？
（3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．
【解答】解：根据乒乓球所占的比例和人数可得，
抽取的人数为（人），
∴参加篮球的人数有：100﹣40﹣10﹣25﹣5＝20（人），
补全条形统计图如图所示：

∵参加摄影的人数为10人，
∴，
∴m＝10；
根据扇形图可得：1﹣40%﹣5%﹣25%﹣10%＝20%
∴n＝20；
（2）根据统计图可知“书法”所占25%，
∴2000×25%＝500（人），
∴若该校有2000名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有500人；
（3）根据条形统计图和扇形统计图可知，参加乒乓球的学生人数是最多的，其次是书法、篮球，参加摄影的学生人数相对来说是较少，最少的是参加足球的学生人数，所以可以适当的增加乒乓球这项课后服务活动项目的开设，减少足球课后服务活动项目的开设，以满足大部分同学的需求．
21．（2020•铜仁市）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝　36　，n＝　16　；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？

【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），
选择篮球的学生有：100×28%＝28（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）m%＝×100%＝36%，
n%＝×100%＝16%，
故答案为：36，16；
（3）2000×16%＝320（人），
答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．

一十七．列表法与树状图法
22．（2021•铜仁市）某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：
等级
频数
频率
A
20
0.4
B
15
b
C
10
0.2
D
a
0.1
（1）频数分布表中a＝　5　，b＝　0.3　，将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？
（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．

【解答】解：（1）20÷0.4＝50（人），
a＝50×0.1＝5（人），
b＝15÷50＝0.3，
故答案为：5，0.3；

（2）1000×（0.4+0.3）＝700（人），
答：该校1000学生中“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生大约有700人；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有20种等可能出现的结果情况，其中两人中至少有一名女生的有14种，
所以两个学生中至少有一个女生的概率为＝．
答：两个学生中至少有一个女生的概率为．