专题09 运用整体思想解二元一次方程组-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题训练（九）运用整体思想解二元一次方程组

数学中所谓“整体”是从问题的性质出发，寻找问题体现的共同特点，突出对问题的整体结构的分析和改造，抓住整体特征，建立并把握它们之间的关系，进行有目的、有意识的整体处理的数学思想。整体思想需要用"集成"的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

1．小明、小丽两位同学在学习过程中遇到这样一个问题；二元一次方程组的解满足，求x、y、k的值．

（1）请你接着完成小明的过程；

（2）请你按照小丽同学的思路完成本题．

【答案】（1）将代入方程组中得，

①+②得：③，

②-①得：④，

③+④得：，解得：，

③-④得：，解得：，

解得：，

∴；                                                                                ．

（2）①②得，③，

∵，

则，

将代入③得，，

将代入③得，，                                                              

将代入①中得，，                                                               

∴．

2．有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x，y满足①，②，求和的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的整体思想．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组，则________，_______；

（2）“战疫情，我们在一起”，爱心公社计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？

（3）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么求的值．

【答案】（1），

由②-①得：，①+②得：，

∴，

答案：，5；                                   

（2）设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元，

由题意得：，                                             

由①+②得：，

∴，

答：购买这批防疫物资共需6700元；                                     

（3）由题意得：，                              

由3×①-2×②可得：，

∴．

3．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组：的不同解法．同学们发现：虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？

小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来消元更简单：

①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．

③×35﹣①得3x＝﹣3．

解得x＝﹣1，从而y＝2．

所以原方程组的解是．

请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：．

【答案】②﹣①得3x+3y＝3，

即x+y＝1③，

③×2018，得：2018x+2018y＝2018④，

④﹣①得2x＝﹣2，

解得x＝﹣1，

将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1，

解得y＝2，

∴原方程组的解为．

4．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．

解：把，看成一个整体，设，，

原方程组可化为，解得，，

∴原方程组的解为，

请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组

【答案】设，，原方程可化为 ，即，

②-①得，，

∴，

把代入②得，，

∴       

∴          

   解得：．

5．阅读下列材料，学习完“代入消元法”和“加减消元法“解二元一次方程组后，善于思考的小铭在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③．

把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1①得x＝4，所以，方程组的解为．

请你解决以下问题：

（1）模仿小铭的“整体代换”法解方程组．

（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值．

【答案】（1）解方程组

把②变形为3x+2（3x﹣2y）＝19，

∵3x﹣2y＝5，

∴3x+10＝19，

∴x＝3，

把x＝3代入3x﹣2y＝5得y＝2，

即方程组的解为；

（2）原方程组变形为

①+②×2得，7（x2+4y2）＝119，

∴x2+4y2＝17，

把x2+4y2＝17代入②得xy＝2

∴x2+4y2﹣xy＝17﹣2＝15

答：x2+4y2﹣xy的值是15．