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广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学（集团）2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题（Word版含答案）
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这是一份广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学（集团）2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题（Word版含答案），共17页。试卷主要包含了下列因式分解最后结果正确的是，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
华师附中集团校2021-2022学年第二学期八年级期末考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A．x2－2x－3＝(x－1)(x＋3) B．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
C．x3－x＝x(x2－1) D．6x－9－x2＝(x－3)2
3． 若(a－2)2＋|b－4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
4． 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
5． 下列命题是真命题的是（ ）
A．两边分别相等的两个直角三角形全等
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等
6． 已知不等式ax＋b＜0的解是x＞－2，下列有可能是函数y＝ax＋b的图象的是（ ）
A
B
C
D
7． 若把分式中的x和y都缩小到原来的，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的
C．缩小到原来的 D．不变
8． “六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
9． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3
B．2
C．
D．2
10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF＝，则△AEF的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．△ABC的外角和等于 ．
12．如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b＋ab2的值为 ．
13．已知关于x的分式方程－＝1无解，则k＝ ．
14．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若AB＝5，CE＝3，则BC的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）（1）解方程：＋3＝； （2）解不等式组：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．
18．（6分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，3），B（－3，2），C（－1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 ；
（3）在x轴上找一点P，使PB＋PC最短，则P点坐标为 ．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
20．（8分）某商店进货A、B两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价；
（2）若每件A种纪念品在进价的基础上提高20元销售，每件B种纪念品在进价的基础上提高10元销售，用1万元进货，且A种纪念品不少于100件，则这批货销售完，最高利润是多少？
21．（9分）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x＋1|的图象和性质，并解决问题．
（1）按照下列步骤，画出函数y＝|x＋1|的图象；
①列表；
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
4
…
②描点；
③连线．
（友情提醒：画图结果确定后请用黑色签字笔加黑）
（2）观察图象，填空；
①当x 时，y随x的增大而减小；x 时，y随x的增大而增大；
②此函数有最 值（填“大”或“小”），其值是 ；
（3）根据图象，不等式|x＋1|＞x＋的解集为 ．
22．（10分）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A．x2－2x－3＝（x－1）（x＋3） B．x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）2
C．x3－x＝x（x2－1） D．6x－9－x2＝（x－3）2
【解答】解：x2－2x－3＝（x－3）（x＋1）≠（x－1）（x＋3），故选项A分解不正确；
x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）2，故选项B分解正确；
由于x2－1仍能因式分解，故选项C分解不正确；
6x－9－x2＝－（x－3）2≠（x－3）2，故选项D分解不正确．
故选：B．
3．若（a－2）2＋|b－4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【解答】解：根据题意得，a－2＝0，b－4＝0，
解得a＝2，b＝4，
①a＝4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
∵4、4、2能组成三角形，
∴三角形的周长为10，
②a＝2是腰长时，三角形的三边分别为4、2、2，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD＋CD＝DE＋BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE＋BD＋ED＝（6－4）＋5＝7．
故选：B．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．两边分别相等的两个直角三角形全等
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等
【解答】解：A、两直角边分别相等或一条直角边和斜边分别对应相等的直角三角形全等，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
6．已知不等式ax＋b＜0的解是x＞－2，下列有可能是函数y＝ax＋b的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵不等式ax＋b＜0的解是x＞－2，
∴直线y＝ax＋b与x轴交点为（－2，0）且y随x增大而减小，
故选：C．
7．若把分式中的x和y都缩小到原来的，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的
C．缩小到原来的 D．不变
【解答】解：由题意得：
＝，
∴若把分式中的x和y都缩小到原来的，那么分式的值扩大到原来的5倍，
故选：A．
8．“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
【解答】解：设该电商平台可以打x折销售，
由题意可得：900×－600≥600×5%，
解得：x≥7，
∴该电商平台至多可以打七折，
故选：D．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD：BD＝1：2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD＝，BD＝，
由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，
∴DE＝＝，
故选：C．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF＝，则△AEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长AE和BC交于点G，
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECG，∠DAE＝∠G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠G＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∴FE⊥AG，
∵BF＝6，CF＝2，
∴AD＝CG＝BC＝BF＋FC＝6＋2＝8，
∴FG＝FC＋CG＝2＋8＝10，
∵EF＝，
∴AE＝EG＝＝＝2，
∴△AEF的面积＝AE•EF＝2×2＝2．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．△ABC的外角和等于 360° ．
【解答】解：△ABC的外角和等于360°，
故答案为：360°．
12．如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b＋ab2的值为 160 ．
【解答】解：∵边长为a、b的长方形的周长为20，面积为16，
∴a＋b＝10，ab＝16，
∴a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝160，
故答案为：160．
13．已知关于x的分式方程－＝1无解，则k＝ －3 ．
【解答】解：方程得两边都乘以（x－2），得
k＋3＝x－2．
移项，得k＝x－5
当x＝2时，分式方程无解，
k＝x－5＝2－5＝－3，
故答案为：－3．
14．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为 9.6 ．
【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC＋∠BAC＝∠DCA＋∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5－x，
在Rt△AEB中，AB2－BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2－DE2＝AE2，
∴AB2－BE2＝AD2－DE2，即52－x2＝62－（5－x）2，
解得：x＝，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故AC的长为9.6，
故答案为：9.6．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若AB＝5，CE＝3，则BC的长为 4 ．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB＋∠ACB＝120°．
∵等边△ACD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°．
∴∠ACB＋∠DCE＝120°．
∴∠CAB＝∠DCE．
过点C作CP⊥AB于点P，
∴∠APC＝90°．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°．
在△DCE和△CAP中，
∴△DCE≌△CAP（AAS）．
∴CE＝AP＝3．
∵AB＝5，
∴BP＝2．
在Rt△BPC中，∠B＝60°，
∴BC＝2BP＝4．
故答案为4．
三．解答题（共7小题）
16．（1）解方程：＋3＝；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）去分母得：1＋3（x－2）＝x－1，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x－2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解；
（2）解：，
解不等式①，得x＞－1，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为：－1＜x≤4．
17．先化简，再求值：，其中a＝5．
【解答】解：原式＝＝＝，
当a＝5时，原式＝．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，3），B（－3，2），C（－1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 （5，3） ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 （3.5，0） ；
（3）在x轴上找一点P，使PB＋PC最短，则P点坐标为 （－，0） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作，点A1的坐标（5，3）．
故答案为：（5，3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，直线l与x轴的交点D的坐标（3.5，0），
故答案为：（3.5，0）．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，连接PC，点P即为所求作．
∵B（－3，2），C′（－1，－1），
∴直线BC′的解析式为y＝－x－，
∴P（－，0），
故答案为：（－，0）．
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△ADE与△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：在Rt△ADE中，∵AD＝13，DE＝12，
∴AE＝＝＝5，
在Rt△CDE中，∵DE＝12，DC＝20，
∴CE＝＝＝16，
∴AC＝5＋16＝21，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACD＝2×21×12＝252．
20．某商店进货A、B两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价；
（2）若每件A种纪念品在进价的基础上提高20元销售，每件B种纪念品在进价的基础上提高10元销售，用1万元进货，且A种纪念品不少于100件，则这批货销售完，最高利润是多少？
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x－30）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x－30＝50－30＝20，
答：A种纪念品每件的进价为50元，B种纪念品每件的进价为20元．
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，
设利润为y元，
则y＝20m＋×10＝－5m＋5000，
即y＝－5m＋5000（m≥100），
∵－5＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝100时，y的最大值＝－5×100＋5000＝4500，
答：最高利润是4500元．
21．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x＋1|的图象和性质，并解决问题．
（1）按照下列步骤，画出函数y＝|x＋1|的图象；
①列表；
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
4
…
②描点；
③连线．
（友情提醒：画图结果确定后请用黑色签字笔加黑）
（2）观察图象，填空；
①当x ＜－1 时，y随x的增大而减小；x ＞－1 时，y随x的增大而增大；
②此函数有最 小 值（填“大”或“小”），其值是 0 ；
（3）根据图象，不等式|x＋1|＞x＋的解集为 x＜－3或x＞5 ．
【解答】解：（1）
按照画图步骤，如图所示即为函数y＝|x＋1|的图象；
（2）①当x＜－1时，y随x的增大而减小；x＞－1时，y随x的增大而增大；
②此函数有最小值（填“大”或“小”），其值是0；
故答案为：＜－1，＞－1，小，0；
（3）根据图象，不等式|x＋1|＞x＋的解集为：x＜－3或x＞5．
故答案为：x＜－3或x＞5．
22．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 HG＝CF＋BD ．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＋∠ACE＝120°，
∵∠AEC＝60°，
∴∠ACE＋∠EAC＝120°，
∴∠BCD＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠BDC＝60°，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD＝CE，
∵∠AEF＝∠AFH＝60°，
∴∠AFE＋∠FAE＝∠AFE＋∠GFH＝60°，
∴∠FAE＝∠GFH，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝EF，
∴CF＝EF＋CE＝HG＋BD；
（3）解：HG＝CF＋BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠DBM＝60°，
∴∠CBM＋∠ABM＝∠ABM＋∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBM，
∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，
∵∠ACE＋∠BCE＝∠ACE＋∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBM（ASA），
∴CE＝BM＝BD，
∵∠AFH＝120°，
∴∠AFC＋∠GFH＝∠AFC＋∠FAE＝60°，
∴∠GFH＝∠FAE，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝FE，
∵EF＝CF＋CE
∴HG＝CF＋BD．
故答案为：HG＝CF＋BD．
华师附中集团校2021-2022学年第二学期八年级期末考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1． 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A．x2－2x－3＝(x－1)(x＋3) B．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2
C．x3－x＝x(x2－1) D．6x－9－x2＝(x－3)2
3． 若(a－2)2＋|b－4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
4． 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
5． 下列命题是真命题的是（ ）
A．两边分别相等的两个直角三角形全等
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等
6． 已知不等式ax＋b＜0的解是x＞－2，下列有可能是函数y＝ax＋b的图象的是（ ）
A
B
C
D
7． 若把分式中的x和y都缩小到原来的，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的
C．缩小到原来的 D．不变
8． “六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
9． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3
B．2
C．
D．2
10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF＝，则△AEF的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．△ABC的外角和等于 ．
12．如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b＋ab2的值为 ．
13．已知关于x的分式方程－＝1无解，则k＝ ．
14．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若AB＝5，CE＝3，则BC的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）（1）解方程：＋3＝； （2）解不等式组：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝5．
18．（6分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，3），B（－3，2），C（－1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 ；
（3）在x轴上找一点P，使PB＋PC最短，则P点坐标为 ．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
20．（8分）某商店进货A、B两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价；
（2）若每件A种纪念品在进价的基础上提高20元销售，每件B种纪念品在进价的基础上提高10元销售，用1万元进货，且A种纪念品不少于100件，则这批货销售完，最高利润是多少？
21．（9分）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x＋1|的图象和性质，并解决问题．
（1）按照下列步骤，画出函数y＝|x＋1|的图象；
①列表；
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
4
…
②描点；
③连线．
（友情提醒：画图结果确定后请用黑色签字笔加黑）
（2）观察图象，填空；
①当x 时，y随x的增大而减小；x 时，y随x的增大而增大；
②此函数有最 值（填“大”或“小”），其值是 ；
（3）根据图象，不等式|x＋1|＞x＋的解集为 ．
22．（10分）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A．x2－2x－3＝（x－1）（x＋3） B．x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）2
C．x3－x＝x（x2－1） D．6x－9－x2＝（x－3）2
【解答】解：x2－2x－3＝（x－3）（x＋1）≠（x－1）（x＋3），故选项A分解不正确；
x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）2，故选项B分解正确；
由于x2－1仍能因式分解，故选项C分解不正确；
6x－9－x2＝－（x－3）2≠（x－3）2，故选项D分解不正确．
故选：B．
3．若（a－2）2＋|b－4|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．8或10
【解答】解：根据题意得，a－2＝0，b－4＝0，
解得a＝2，b＝4，
①a＝4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
∵4、4、2能组成三角形，
∴三角形的周长为10，
②a＝2是腰长时，三角形的三边分别为4、2、2，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD＋CD＝DE＋BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE＋BD＋ED＝（6－4）＋5＝7．
故选：B．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．两边分别相等的两个直角三角形全等
B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等
【解答】解：A、两直角边分别相等或一条直角边和斜边分别对应相等的直角三角形全等，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
6．已知不等式ax＋b＜0的解是x＞－2，下列有可能是函数y＝ax＋b的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵不等式ax＋b＜0的解是x＞－2，
∴直线y＝ax＋b与x轴交点为（－2，0）且y随x增大而减小，
故选：C．
7．若把分式中的x和y都缩小到原来的，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的5倍 B．缩小到原来的
C．缩小到原来的 D．不变
【解答】解：由题意得：
＝，
∴若把分式中的x和y都缩小到原来的，那么分式的值扩大到原来的5倍，
故选：A．
8．“六一八”购物狂欢节来临之际，某电商平台为了扩大销量，决定打折促销，已知某款音响的进价为600元，标价为900元，要保持获利不低于5%，则该电商平台至多可以打（ ）销售．
A．九五折 B．八折 C．七五折 D．七折
【解答】解：设该电商平台可以打x折销售，
由题意可得：900×－600≥600×5%，
解得：x≥7，
∴该电商平台至多可以打七折，
故选：D．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD：BD＝1：2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD＝，BD＝，
由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，
∴DE＝＝，
故选：C．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝6，CF＝2，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，EF＝，则△AEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，延长AE和BC交于点G，
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECG，∠DAE＝∠G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△GCE中，，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠G＝∠FAE，
∴FA＝FG，
∴FE⊥AG，
∵BF＝6，CF＝2，
∴AD＝CG＝BC＝BF＋FC＝6＋2＝8，
∴FG＝FC＋CG＝2＋8＝10，
∵EF＝，
∴AE＝EG＝＝＝2，
∴△AEF的面积＝AE•EF＝2×2＝2．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．△ABC的外角和等于 360° ．
【解答】解：△ABC的外角和等于360°，
故答案为：360°．
12．如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b＋ab2的值为 160 ．
【解答】解：∵边长为a、b的长方形的周长为20，面积为16，
∴a＋b＝10，ab＝16，
∴a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝160，
故答案为：160．
13．已知关于x的分式方程－＝1无解，则k＝ －3 ．
【解答】解：方程得两边都乘以（x－2），得
k＋3＝x－2．
移项，得k＝x－5
当x＝2时，分式方程无解，
k＝x－5＝2－5＝－3，
故答案为：－3．
14．如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为 9.6 ．
【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC＋∠BAC＝∠DCA＋∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5－x，
在Rt△AEB中，AB2－BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2－DE2＝AE2，
∴AB2－BE2＝AD2－DE2，即52－x2＝62－（5－x）2，
解得：x＝，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故AC的长为9.6，
故答案为：9.6．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若AB＝5，CE＝3，则BC的长为 4 ．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB＋∠ACB＝120°．
∵等边△ACD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°．
∴∠ACB＋∠DCE＝120°．
∴∠CAB＝∠DCE．
过点C作CP⊥AB于点P，
∴∠APC＝90°．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°．
在△DCE和△CAP中，
∴△DCE≌△CAP（AAS）．
∴CE＝AP＝3．
∵AB＝5，
∴BP＝2．
在Rt△BPC中，∠B＝60°，
∴BC＝2BP＝4．
故答案为4．
三．解答题（共7小题）
16．（1）解方程：＋3＝；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）去分母得：1＋3（x－2）＝x－1，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x－2＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解；
（2）解：，
解不等式①，得x＞－1，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为：－1＜x≤4．
17．先化简，再求值：，其中a＝5．
【解答】解：原式＝＝＝，
当a＝5时，原式＝．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，3），B（－3，2），C（－1，1）．
（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 （5，3） ；
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，观察可知△A1B1C1与△A2B2C2关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点D的坐标 （3.5，0） ；
（3）在x轴上找一点P，使PB＋PC最短，则P点坐标为 （－，0） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求作，点A1的坐标（5，3）．
故答案为：（5，3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，直线l与x轴的交点D的坐标（3.5，0），
故答案为：（3.5，0）．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，连接PC，点P即为所求作．
∵B（－3，2），C′（－1，－1），
∴直线BC′的解析式为y＝－x－，
∴P（－，0），
故答案为：（－，0）．
19．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△ADE与△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：在Rt△ADE中，∵AD＝13，DE＝12，
∴AE＝＝＝5，
在Rt△CDE中，∵DE＝12，DC＝20，
∴CE＝＝＝16，
∴AC＝5＋16＝21，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACD＝2×21×12＝252．
20．某商店进货A、B两种冬奥会纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元，用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价；
（2）若每件A种纪念品在进价的基础上提高20元销售，每件B种纪念品在进价的基础上提高10元销售，用1万元进货，且A种纪念品不少于100件，则这批货销售完，最高利润是多少？
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x－30）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x－30＝50－30＝20，
答：A种纪念品每件的进价为50元，B种纪念品每件的进价为20元．
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件，
设利润为y元，
则y＝20m＋×10＝－5m＋5000，
即y＝－5m＋5000（m≥100），
∵－5＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝100时，y的最大值＝－5×100＋5000＝4500，
答：最高利润是4500元．
21．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x＋1|的图象和性质，并解决问题．
（1）按照下列步骤，画出函数y＝|x＋1|的图象；
①列表；
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
4
…
②描点；
③连线．
（友情提醒：画图结果确定后请用黑色签字笔加黑）
（2）观察图象，填空；
①当x ＜－1 时，y随x的增大而减小；x ＞－1 时，y随x的增大而增大；
②此函数有最 小 值（填“大”或“小”），其值是 0 ；
（3）根据图象，不等式|x＋1|＞x＋的解集为 x＜－3或x＞5 ．
【解答】解：（1）
按照画图步骤，如图所示即为函数y＝|x＋1|的图象；
（2）①当x＜－1时，y随x的增大而减小；x＞－1时，y随x的增大而增大；
②此函数有最小值（填“大”或“小”），其值是0；
故答案为：＜－1，＞－1，小，0；
（3）根据图象，不等式|x＋1|＞x＋的解集为：x＜－3或x＞5．
故答案为：x＜－3或x＞5．
22．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG＋BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 HG＝CF＋BD ．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＋∠ACE＝120°，
∵∠AEC＝60°，
∴∠ACE＋∠EAC＝120°，
∴∠BCD＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠BDC＝60°，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，
由（1）知：△AEC≌△CDB，
∴BD＝CE，
∵∠AEF＝∠AFH＝60°，
∴∠AFE＋∠FAE＝∠AFE＋∠GFH＝60°，
∴∠FAE＝∠GFH，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝EF，
∴CF＝EF＋CE＝HG＋BD；
（3）解：HG＝CF＋BD，理由是：
如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠DBM＝60°，
∴∠CBM＋∠ABM＝∠ABM＋∠ABD，
∴∠ABD＝∠CBM，
∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，
∵∠ACE＋∠BCE＝∠ACE＋∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBM（ASA），
∴CE＝BM＝BD，
∵∠AFH＝120°，
∴∠AFC＋∠GFH＝∠AFC＋∠FAE＝60°，
∴∠GFH＝∠FAE，
∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，
∴△HGF≌△FEA（AAS），
∴GH＝FE，
∵EF＝CF＋CE
∴HG＝CF＋BD．
故答案为：HG＝CF＋BD．
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