2022届湖南省株洲市炎陵县中考数学全真模拟试题含解析

这是一份2022届湖南省株洲市炎陵县中考数学全真模拟试题含解析，共20页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若分式有意义，则x的取值范围是，太原市出租车的收费标准是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件是确定事件的是（　　）
A．阴天一定会下雨
B．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播
D．在五个抽屉中任意放入6本书，则至少有一个抽屉里有两本书
2．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）

A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）

A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
4．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
5．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）

A．200米 B．200米 C．220米 D．100米
6．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收1.6元（不足1km按1km计），某人从甲地到乙地经过的路程是xkm，出租车费为16元，那么x的最大值是（　　）
A．11 B．8 C．7 D．5
8．已知正比例函数的图象经过点，则此正比例函数的关系式为（ ）．
A． B． C． D．
9．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，动点E、F分别从点C，D出发，以相同速度分别沿CB，DC运动（点E到达C时，两点同时停止运动）.连接AE，BF交于点P，过点P分别作PM∥CD，PN∥BC，则线段MN的长度的最小值为（ ）

A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设=，=，用，表示，那么=___．

12．计算：（）•=__．
13．关于x的方程x2－3x＋2＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＋x1x2的值为______．
14．如图所示的网格是正方形网格，点P到射线OA的距离为m，点P到射线OB的距离为n，则m __________ n．（填“>”，“=”或“<”）

15．如图，ABCDE是正五边形，已知AG=1，则FG+JH+CD=_____．

16．已知方程的一个根为1，则的值为__________.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．求出y与x之间的函数关系式；写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

18．（8分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单位：升）

（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数；
（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比；
（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按30天计算）的节约用水量．
19．（8分）如图，点D为△ABC边上一点，请用尺规过点D，作△ADE，使点E在AC上，且△ADE与△ABC相似.（保留作图痕迹，不写作法，只作出符合条件的一个即可）

20．（8分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．
21．（8分）正方形ABCD的边长是10，点E是AB的中点，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．
（1）如图1，连接AB′．
①若△AEB′为等边三角形，则∠BEF等于多少度．
②在运动过程中，线段AB′与EF有何位置关系？请证明你的结论．
（2）如图2，连接CB′，求△CB′F周长的最小值．
（3）如图3，连接并延长BB′，交AC于点P，当BB′＝6时，求PB′的长度．

22．（10分）如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从D点测得A点的仰角为30°，B点的俯角为10°，求建筑物AB的高度（结果保留小数点后一位）．
参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，取1.1．

23．（12分）已知抛物线过点，，求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标.
24．某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B型号足球进价每只60元．
（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；
（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？



参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
试题分析：找到一定发生或一定不发生的事件即可．
A、阴天一定会下雨，是随机事件；
B、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件；
C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件；
D、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件．
故选D．
考点：随机事件．
2、B
【解析】
从图形可知空白部分的面积为S2是中间边长为（a﹣b）的正方形面积与上下两个直角边为（a+b）和b的直角三角形的面积，再与左右两个直角边为a和b的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为S1是大正方形面积与空白部分面积之差，再由S2＝2S1，便可得解．
【详解】
由图形可知，
S2=（a-b）2+b（a+b）+ab=a2+2b2，
S1=（a+b）2-S2=2ab-b2，
∵S2＝2S1，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了求阴影部分面积和因式分解，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积和正确进行因式分解．
3、B
【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
4、C
【解析】
试题分析：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．
考点：分式有意义的条件．
5、D
【解析】
在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．
【详解】
∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选D．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
6、B
【解析】
考点：概率公式．
专题：计算题．
分析：根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，
故概率为2/ 6 ="1/" 3 ．
故选B．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）="m" /n ．
7、B
【解析】
根据等量关系，即（经过的路程﹣3）×1.6+起步价2元≤1．列出不等式求解．
【详解】
可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm，
根据题意可知：（x﹣3）×1.6+2≤1，
解得：x≤2．
即此人从甲地到乙地经过的路程最多为2km．
故选B．
【点睛】
考查了一元一次方程的应用．关键是掌握正确理解题意，找出题目中的数量关系．
8、A
【解析】
根据待定系数法即可求得．
【详解】
解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，﹣3），
∴﹣3=k，即k=﹣3，
∴该正比例函数的解析式为：y=﹣3x．
故选A．
【点睛】
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
9、B
【解析】
根据简单概率的计算公式即可得解.
【详解】
一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.
故选B.
考点：简单概率计算.
10、B
【解析】
分析：由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
详解： 由于点P在运动中保持∠APD=90°， ∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=， ∴CP=QC－QP=，故选B．
点睛：本题主要考查的是圆的相关知识和勾股定理，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键是根据圆的知识得出点P的运动轨迹．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、
【解析】
连接AG，延长AG交BC于F．首先证明DG=GE，再利用三角形法则求出即可解决问题．
【详解】
连接AG，延长AG交BC于F．

∵G是△ABC的重心，DE∥BC，
∴BF=CF，
，
∵，，
∴，
∵BF=CF，
∴DG=GE，
∵，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12、1
【解析】
试题分析：首先进行通分，然后再进行因式分解，从而进行约分得出答案．原式=．
13、5
【解析】
试题分析：利用根与系数的关系进行求解即可.
解：∵x1，x2是方程x2－3x＋2＝0的两根，
∴x1+ x2＝，x1x2＝，
∴x1＋x2＋x1x2＝3+2＝5.
故答案为：5.
14、>
【解析】
由图像可知在射线上有一个特殊点,点到射线的距离，点到射线的距离，于是可知 ,利用锐角三角函数 ,即可判断出
【详解】
由题意可知：找到特殊点，如图所示：

设点到射线的距离 ，点到射线的距离
由图可知，
,
,


【点睛】
本题考查了点到线的距离，熟知在直角三角形中利用三角函数来解角和边的关系是解题关键.
15、+1
【解析】
根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，
∴四边形JHBG是平行四边形，
∴JH=BG，
同理可证：四边形CDFB是平行四边形，
∴CD=FB，
∴FG+JH+CD=FG+BG+FB=2BF，
设FG=x，
∵∠AFG=∠AFB，∠FAG=∠ABF=36°，
∴△AFG∽△BFA，
∴AF2=FG•BF，
∵AF=AG=BG=1，
∴x（x+1）=1，
∴x=（负根已经舍弃），
∴BF=+1=，
∴FG+JH+CD=+1．
故答案为+1．
16、1
【解析】
欲求m，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值．
【详解】
设方程的另一根为x1，又∵x=1，
∴，
解得m=1．
故答案为1．
【点睛】
本题的考点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，主要考查利用韦达定理解题．此题也可将x=1直接代入方程3x2-9x+m=0中求出m的值．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【解析】
（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+170；
（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．
∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W有最大值2．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．
18、（1）平均数为800升，中位数为800升；（2）12.5%；（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，一个月估计可以节约用水3000升．
【解析】
试题分析：（1）根据平均数和中位数的定义求解可得；
（2）用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；
（3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所．
试题解析：解：（1）这7天内小申家每天用水量的平均数为（815+780+800+785+790+825+805）÷7=800（升），
将这7天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825，
∴用水量的中位数为800升；
（2）×100%=12.5%．
答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；
（3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估计可以节约用水100×30=3000升．
19、见解析
【解析】
以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AC的交点即为所求作的点．
【详解】
解：如图，点E即为所求作的点．

【点睛】
本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．
20、（1）见解析；（2）；（1）DE的长分别为或1．
【解析】
（1）由比例中项知，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；
（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知，据此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知，求得AM＝，由求得MN＝；
（1）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．
【详解】
解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AME∽△AEN，

∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE＋∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM＋∠DEC＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠DCE；
（2）∵AC与NE互相垂直，
∴∠EAC＋∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ANE＋∠AEN＝90°，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，
∴，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，
∴DE＝，
∴AE＝8﹣＝，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴，
∴AM＝，
∵，
∴AN＝，
∴MN＝；
（1）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，
又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠NME，
当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
①∠ENM＝∠EAC，如图2，

∴∠ANE＝∠EAC，
由（2）得：DE＝；
②∠ENM＝∠ECA，
如图1，

过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠ECA＝∠DCE，
∴HE＝DE，
又tan∠HAE＝，
设DE＝1x，则HE＝1x，AH＝4x，AE＝5x，
又AE＋DE＝AD，
∴5x＋1x＝8，
解得x＝1，
∴DE＝1x＝1，
综上所述，DE的长分别为或1．
【点睛】
本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．
21、（1）①∠BEF＝60°；②A B'∥EF，证明见解析；（2）△CB′F周长的最小值5+5；（3）PB′＝．
【解析】
（1）①当△AEB′为等边三角形时，∠AE B′＝60°，由折叠可得，∠BEF＝ ∠BE B′＝ ×120°＝60°；②依据AE＝B′E，可得∠EA B′＝∠E B′A，再根据∠BEF＝∠B′EF，即可得到∠BEF＝∠BA B′，进而得出EF∥A B′；
（2）由折叠可得，CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，依据B′E+ B′C≥CE，可得B′C≥CE﹣B′E＝5﹣5，进而得到B′C最小值为5﹣5，故△CB′F周长的最小值＝10+5﹣5＝5+5；
（3）将△ABB′和△APB′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q，由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形，设PB′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．依据∠BQP＝90°，可得方程22+（8﹣x）2＝（6+x）2，即可得出PB′的长度．
【详解】
（1）①当△AE B′为等边三角形时，∠AE B′＝60°，
由折叠可得，∠BEF＝∠BE B′＝×120°＝60°，
故答案为60；
②A B′∥EF，
证明：∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
由折叠可得BE＝B′E，
∴AE＝B′E，
∴∠EA B′＝∠E B′A，
又∵∠BEF＝∠B′EF，
∴∠BEF＝∠BA B′，
∴EF∥A B′；
（2）如图，点B′的轨迹为半圆，由折叠可得，BF＝B′F，
∴CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，
∵B′E+ B′C≥CE，
∴B′C≥CE﹣B′E＝5﹣5，
∴B′C最小值为5﹣5，
∴△CB′F周长的最小值＝10+5﹣5＝5+5；
（3）如图，连接A B′，易得∠A B′B＝90°，
将△AB B′和△AP B′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q，
由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形，
由AB＝10，B B′＝6，可得A B′＝8，
∴QM＝QN＝A B′＝8，
设P B′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．
∵∠BQP＝90°，
∴22+（8﹣x）2＝（6+x）2，
解得：x＝，
∴P B′＝x＝．



【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，正方形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
22、建筑物AB的高度约为30.3m．
【解析】
分析：过点D作DE⊥AB，利用解直角三角形的计算解答即可．
详解：如图，根据题意，BC=2，∠DCB=90°，∠ABC=90°．
过点D作DE⊥AB，垂足为E，则∠DEB=90°，∠ADE=30°，∠BDE=10°，可得四边形DCBE为矩形，∴DE=BC=2．
在Rt△ADE中，tan∠ADE=，
∴AE=DE•tan30°=．
在Rt△DEB中，tan∠BDE=，
∴BE=DE•tan10°=2×0.18=7.2，
∴AB=AE+BE=23.09+7.2=30.29≈30.3．
答：建筑物AB的高度约为30.3m．

点睛：考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
23、y=+2x；（－1，－1）.
【解析】
试题分析：首先将两点代入解析式列出关于b和c的二元一次方程组，然后求出b和c的值，然后将抛物线配方成顶点式，求出顶点坐标.
试题解析：将点（0,0）和（1,3）代入解析式得：解得：
∴抛物线的解析式为y=+2x ∴y=+2x=－1 ∴顶点坐标为（－1，－1）.
考点：待定系数法求函数解析式.
24、（1）A型足球进了40个，B型足球进了60个；（2）当x=60时，y最小=4800元.
【解析】
（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可；
（2）设进货款为y元，根据题意列出函数关系式，根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可.
【详解】
解：（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,
∴ 40x +60（100-x）=5200 ,
解得：x=40 ,
∴100-x=100-40=60个,
答：A型足球进了40个，B型足球进了60个．
（2）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,
100-x≥ ,
解得：x≤60 ,
设进货款为y元，则y=40x+60(100-x)=-20x+6000 ,
∵k=-20，∴y随x的增大而减小,
∴当x=60时，y最小=4800元.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，仔细审题，找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.